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Schulmathematik » Integralrechnung » Integral mit Funktionen als Limits
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Universität/Hochschule Integral mit Funktionen als Limits
bloebb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-10-24 11:43


Hallo

Ich würde gerne sicherheitshalber etwas nachfragen.

Ich kenne z. B. folgendes:

<math>\int_a^b cos(t) dt = sin(t) |_a^b = sin(b) - sin(a) </math>

a und b sind Konstanten, b muss >= a sein, z. B. 1 und 5.

Das folgende ist mir auch nicht unbekannt:

<math>\int_{\frac{\Pi}{2}}^x cos(t) dt = sin(t) |_{\frac{\Pi}{2}}^x = sin(x) - sin(\frac{\Pi}{2}) = sin(x) - 1</math>

x ist eine Variable. x muss >= <math>\frac{\Pi}{2}</math> sein.

Jetzt aber ein Integral mit Funktionen in den Grenzen:

<math>\int_{sin(x)}^{cos(x)} \, t \, dt = (\frac{t^2}{2})|_{sin(x)}^{cos(x)}
= \frac{cos^2(x)}{2} - \frac{sin^2(x)}{2} </math>

Ist das richtig, dass das bedeutet, dass dieses Integral nun nur für den Bereich <math>\frac{5}{4} \Pi</math> bis <math>\frac{9}{4} \Pi</math> gilt, wobei sich dieser Bereich alle <math>2 * \Pi</math> wiederholt?



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bloebb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-24 12:01


Eine ähnliche Formel sehe ich nämlich auf en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule Example 2.

Allerdings liefert mir wolframalpha etwas ganz seltsames. Siehe www.wolframalpha.com/input/?i=int+cosh(t%5E2)+dt+,+t%3Dsin(x)..cos(x)

In der Legende steht, erf würde für eine error function stehen. Woran liegt das? Die Grenzen sollten doch ok sein. Ein <math>t^2</math> dieser Grenzen ist erlaubt. Und der Definitionsbereich von cosh geht von -unendlich bis +unendlich.



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MarcoL
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-10-25 18:12


Hallo bloebb, zuerst zum Integral deines ersten Posts.  Bei Integralen kann auch die untere Grenze a größer sein als die obere Grenze b.  Es gilt Int_a^b f(x) dx = - Int_b^a f(x) dx.  Wenn man die Grenzen vertauscht, ändert sich das Vorzeichen des Ergebnisses.

Jetzt zum Integral deines zweiten Posts.  Das, was WolframAlpha herausbekommt, deckt sich mit Maple.  Aber mit erf und erfi kenne ich mich nicht aus.  Da hast du dir gleich einen dicken Brocken zum Integrieren vorgenommen!

Die Integrale in deinem Post sind korrekt gelöst.



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wladimir_1989
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Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 803
Aus: Freiburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-10-27 17:14


Hallo bloebb und MarcoL,

Die Fehlerfunktion erf(x) hat nichts mit Fehlern im Sinne einer fehlerhaften Eingabe oder unerlaubter Grenzen, sondern mit der Gaussschen Glockenfunktion <math>e^{-x^2}</math>, die leicht modifiziert die Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung angibt und zur Fehlerrechnung, also der Berechnung statistischer Schwankungen von Messergebnissen (daher der Name) zu tun. Konkret ist die Errorfunktion definiert als <math>erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^xe^{-t^2}\text{d}t</math>. Leider existiert für dieses Integral keine elementare Stammfunktion, also eine, die man mit Hilfe von "bekannten" Funktionen, wie rationale Funktionen, trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktionen o.Ä. darstellen könnte. Dass die Errorfunktion in deinem Beispiel auftritt, ist nicht verwunderlich, da <math>\cosh(x)=\frac{1}{2}(e^x}+e^{-x})</math> gilt.

lg Wladimir



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bloebb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-28 12:05


OK, vielen Dank für eure Einträge.

"Die Integrale in deinem Post sind korrekt gelöst."

<math>\int_{sin(x)}^{cos(x)} \, t \, dt = (\frac{t^2}{2})|_{sin(x)}^{cos(x)}= \frac{cos^2(x)}{2} - \frac{sin^2(x)}{2} </math>

Ist das richtig, dass das bedeutet, dass dieses Integral nun nur für den Bereich <math>\frac{5}{4} \Pi</math> bis <math>\frac{9}{4} \Pi</math> gilt, wobei sich dieser Bereich alle <math>2 * \Pi</math> wiederholt?

Aber das stimmt dann nicht, oder? Wenn die untere Grenze größer sein darf als die obere Grenze, dann gibt es diese Bereichseingrenzung nicht.

Wie muss man sich diese spezielle Formel eigentlich vorstellen? Ich kann mir das grafisch nicht vorstellen, wenn die Grenzen Funktionen sind.



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lula
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Mitteilungen: 10565
Aus: Sankt Augustin NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-11-01 17:50


Hallo
 Das Integral ist für alle x definiert, wie sin(x) und cos(x)
 wie kommst du denn auf den eigenartigen Bereich.
sin(x) ist doch für alle x definiert, und es ist 2\pi periodisch, das hat nichts mit dem Def. Gebiet zu tun bis dann, lula


-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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