Die Mathe-Redaktion - 24.11.2017 10:24 - Registrieren/Login
Auswahl
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden oder den Newsletter bestellen.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 786 Gäste und 16 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von matroid
Mathematik » Numerik & Optimierung » Berechnung einer "Ideallinie"
Thema eröffnet 2017-10-29 18:06 von Boo85
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Seite 2   [1 2]   2 Seiten
Autor
Kein bestimmter Bereich Berechnung einer "Ideallinie"
haribo
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 1392
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.40, eingetragen 2017-11-10 17:08


ich hatte heute beruflich mit ner archimedischen spirale zu tun gehabt, die endet innen nicht in der mitte, sondern dort wo ihr krümmungs radius null wird, das wusste ich nicht bisher...

gibt es eine log. spirale mit einer bestimmten steigung welche zu der beschleunigung "10 m/s²" derart passt dass man sie entlangbeschleunigen kann und dabei immer das gleiche verhältniss von quer zu lateralbeschleunigung behält? fals ja, ist dabei das verhältniss quer zu lateral bestimmt?

haribo




  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1011
Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.41, eingetragen 2017-11-11 00:30


Hallo zusammen,
@Boo85: während ich noch an der Exceltabelle bastele, hier schon einmal eine kleine Rätselaufgabe für Dich:

In diesem Bild sind neben der grünen Streckenbegrenzung auch eine Spirale und eine Ellipse zu sehen. Die Ellipse ist so bemessen, dass ihre Halbachsen den Außenmaßen der Spirale entsprechen. Welches ist die Spirale, und welches die Ellipse?  razz

Was die allgemeine Ideallinie angeht, habe ich mir folgendes überlegt:

In Anlehnung an den symbolischen Beschleunigungsanzeiger aus Deinem Video habe ich die bisherigen Lösungen dargestellt. In den ersten Lösungen (linkes Bild), in denen Geraden mit Halbkreisen kombiniert wurden, ist zuerst reine Verzögerung (Punkt 1), dann reine Querbeschleunigung im Halbkreis (Punkt 2), dann reine Beschleunigung (Punkt 3). Bei der besseren Lösung mit der logarithmischen Spirale (mittleres Bild) herrscht auch zuerst reine Verzögerung, dann konstante Querbeschleunigung kombiniert mit konstanter Längsverzögerung (Punkt 2) bis zum Kurvenscheitelpunkt, dann springt die Längsbeschleunigung von Minus ins Plus beim Rausbeschleunigen auf der zweiten Spirale (Punkt 3), und am Ende wieder reine Längsbeschleunigung (Punkt 4). Der rote Punkt als Beschleunigungsanzeiger könnte also bei der absoluten Ideallinie am linken Rand des Kammschen Reibkreises entlangwandern, statt an zwei festen Punkten zu verharren.

Was das numerische Berechnen der Ellipse angeht: das ist nicht mal so eben erklärt. Das braucht sicher auch einen längeren Beitrag. Ich brauche jetzt erst einmal ein bisschen Zeit für die Excel-Datei. Meine Zeitressourcen sind ja auch nicht unbegrenzt.

@Haribo #40: ähm, genau darum ging es doch die ganze Zeit bei der Spirale, die ich berechnet habe. Ich dachte, das wäre deutlich geworden. Der Winkel <math>\alpha</math> ist doch genau der Winkel zwischen Beschleunigungsvektor und Fahrtrichtungsvektor, und der ist während der ganzen Spirale konstant. Oder habe ich Dich jetzt falsch verstanden?

Ciao,

Thomas



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
haribo
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 1392
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.42, eingetragen 2017-11-11 01:14


woher wissen wir wer wen wie versteht?

ist ein kreis eine spezielle form einer spirale? ne log. spirale kanns ja eigendlich nicht sein da sie nach endlicher länge im mittelpunkt ankommen soll, ne archimedische wohl schon?

dagegen eine gerade könnte ne extrem steile (unendlich steil) log. spirale sein?

deine beste bahn wechselt also von einer log spirale mit definierter steigung schlagartig bei 4 in eine weitere log.spirale mit unendlicher steigung? wiso ist es nicht besser diesen übergang fliessend darzustellen, wäre das eine log.log.spirale?

also ich verstehe nur langsam was ne spirale ausmacht, das schöne ist ja die berufliche spirale ist längst mit 1/>10mm genauigkeit CNC produziert und auf dem weg in eine galerie... und ich hab sie gezeichnet und weiss jetzt noch nichtmal wie sie im inneren enden müsste, möge in tausend jahren ein archäologe sie vermessen und meinen geometrie fehler beschreiben

deine rätselaufgabe gefällt mir, aber irgendwie müsste doch die schmale schwarze linie an beiden enden der breiten roten gleichseitig (mittig?) ankommen, ich werde etwas drüber nachdenken

haribo



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Boo85
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 20.11.2015
Mitteilungen: 19
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.43, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-11 08:15


Hey Monty

Ich mag Rätsel sehr. Was ich nicht mag sind herablassende Kommentare  razz
Dass man verschiedene Kurvenformen in gewissen Intervallen durch Parameteranpassung annähernd deckungsgleich gestalten kann, ist nichts Neues für mich, auch wenn du mir das vielleicht nicht zutraust. Man würde wohl auch ein Polynom 4. Grades da durchlegen können, sodass man es von Auge kaum unterscheiden kann...
Wenn du so an deiner Spirale hängst, dann leg sie doch mal so, dass sie nicht am Kurveninnenradius startet, sondern vielleicht mittig der Streckenbreite und dann etwas später den Kurveninnenradius berührt. Der Punkt, wo du deine Randbedingung "Start am Kurveninnenradius" einsetzt, ist ja eher spät in der ganzen Rechnung, müsste also eigentlich klappen. Ich bin überzeugt, dass du deine Bestzeit damit toppen kannst. Ich habe ja auch nie behauptet, dass die mathematische Ideallinie exakt Ellipsenförmig ist. Nur, dass mir die von Haribo gezeichnete gelbe Linie mit Abstand am besten gefällt. Nur der Wendepunkt ist etwas weit aussen, ansonsten würd ich die Kurve in etwa so fahren.

Die Überlegungen zum Beschleunigungssensor sind völlig korrekt, genau das hatte ich ja schon nach deinem ersten Post bereits im Kopf und ich bin eben der Meinung, dass die Variante rechts nicht nur eher dem real Machberen entspricht, sondern auch mathematisch schneller ist als die in der Mitte. Deine Annahme konstanter Quer- und Längsbeschleunigung erfüllt ja die Bedingung des Kammschen Kreises, sie ist einfach ein (verständlicherweise) einschränkender Spezialfall um die Berechnung zu vereinfachen. Und warum soll dieser Spezialfall genau das Optimum darstellen?

Dass die numerische Berechnung nicht mit einem Zweizeiler erledigt ist, beruhigt mich wiederum etwas, sonst hätte ich definitiv an mir selber gezweifelt ^^

Lass dir gerne soviel Zeit wie du willst, es ist keine Schulaufgabe, die ich abgeben muss wink . Ich habe ja auch selber (neben mangelnden mathematischen Fähigkeiten) momentan nur wenig Zeit selber aktiv an dem Problem zu arbeiten.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1011
Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.44, eingetragen 2017-11-11 10:19


Hallo Boo85,
das war nicht herablassend gemeint - ich hoffe, Du hast den Smiley bemerkt. Mir ist schon klar, dass Du kein mathematischer Anfänger bist.
Die Ellipse ist schwarz, die log-Spirale rot. Ich wollte ja auch nur illustrieren, dass man sich nicht von Begriffen wie "Spirale" oder "Ellipse" blenden lassen sollte, sondern dass bei entsprechender Parametrierung die Kurven fast beliebig ähnlich werden können, und sich auf der realen Strecke nur um cm unterscheiden. Ich kann auch die Spirale die Innenkante VOR dem Scheitelpunkt berühren lassen, wie Du und haribo vorschlagen. Es wird nur etwas schwieriger, weil man dann noch ausrechnen muss, wie weit man die Spirale nach "unten" schieben muss, damit sie vollständig um den inneren Kurvenradius herumführt und die Linie nicht die Strecke nach innen verlässt. Mein mathematisches Gefühl sagt mir jedoch, dass eine Linie, die den Innenradius vor und nach dem Scheitelpunkt berührt, nicht ideal sein kann, denn
1. wird der Weg länger als er müsste,
2. wird der Kurvenradius am Umkehrpunkt kleiner als er müsste.
Wir haben schon eine sehr ähnliche Sicht auf die Dinge. Wo wir uns unterscheiden, ist lediglich die Meinung darüber, ob es noch eine schnellere Linie gibt als die logarithmische Spirale oder nicht. Du bist Dir sicher, während ich sage, es könnte, aber es muss nicht. Deine Meinung ist eingefärbt durch Deine praktische Erfahrung, und ich versuche hartnäckig, Dir diese Scheuklappen abzunehmen. Ich fange jetzt nicht noch einmal von Massepunkt und realem Motorrad an, lass mich nur noch dazu sagen, ohne öffentlich ins Detail gehen zu wollen, dass ich in "schnell fahren" auch nicht unbeleckt bin. Lass uns sehen, was wir noch herausbekommen.

Ciao,

Thomas



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Boo85
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 20.11.2015
Mitteilungen: 19
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.45, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-11 11:07


2017-11-11 10:19 - MontyPythagoras in Beitrag No. 44 schreibt:
Mein mathematisches Gefühl sagt mir jedoch, dass eine Linie, die den Innenradius vor und nach dem Scheitelpunkt berührt, nicht ideal sein kann, denn
1. wird der Weg länger als er müsste,
2. wird der Kurvenradius am Umkehrpunkt kleiner als er müsste.

Erinnerst du dich an eines meiner anfänglichen Postings, wo ich die grüne Linie gezeichnet und ganz grob aber konservativ berechnet habe? Daraus müsste doch eigentlich klar werden, warum einen Umweg und einen zeitweilig sehr engen Radius zu fahren je nach Länge der darauffolgenden Geraden durchaus Sinn machen kann. Rein mathematisch kann man ja die Gerade beliebig lang machen, und dann muss man nur auf die Kurvenausfahrtsgeschwindigkeit achten und nicht auf den Weg oder die Geschwindigkeit innerhalb der Kurve, einverstanden?

Oder wieder aus der Praxis: Die Zeit holt man vor und nach der Kurve. Weil, um es provokativ zu sagen, "Schräg fahren kann jeder..." ;-)

Ich kann also meine Sturheit zumindest auch mit einfachen mathematischen/physikalischen Argumenten begründen.

Ob die Linie sich nun exakt als Ellipse oder Spirale oder Polynom beschreiben lässt, ist ja letztendlich wurscht. Mir ist nur wichtig, wie sie qualitativ im Bereich der Kurve ausschaut und wie sie grundsätzlich mathematisch beschreibbar ist.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1011
Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.46, eingetragen 2017-11-11 13:13


Hallo Boo85,
ja, man kann die Gerade beliebig lang machen, aber darum geht es hier nicht. Wir sind immer noch bei unserem Beispiel bei 200m Gerade und nicht unendlich lang. Warum Du unter realen Bedingungen die grüne Linie fahren würdest, ist mir klar, würde es aber eher als fahrtaktisches Manöver sehen, zum Beispiel um Dich in eine günstige Überholposition zu bringen, und nicht, um nach 200m Gerade als erster über die Ziellinie zu fahren. Die Linien, die ein Rennfahrer fährt, um den vor ihm liegenden Fahrer zu überholen, sind ganz andere und praktisch nie auf der Ideallinie. Man kann immer wieder beobachten, und Du weißt das sicher auch aus eigener Erfahrung, dass Zweikampf Zeit kostet. Wer die Strecke in Rekordzeit fahren will, muss alleine fahren. Ich sehe mir jetzt nicht pausenlos Motorradrennen im Fernsehen an, aber mir wäre noch nie aufgefallen, dass ein Profi, der eine Qualifying-Runde fährt, freiwillig Deine "grüne" Linie wählt, es sei denn, dass die weitere Streckenführung das sinnvoll macht, zum Beispiel eine gleich anschließende, schnelle Kurve in die andere Richtung.
Aber wir driften ab in den Stammtisch-Talk, lass uns bei der Mathematik bleiben.

Ciao,

Thomas



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1011
Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.47, eingetragen 2017-11-12 19:48


Soooo...
Also ich habe die Ellipse erst einmal noch nicht gerechnet, sondern habe mich darauf konzentriert, die logarithmische Spirale so zu gestalten, dass sie auch theoretisch am Scheitelpunkt der Kurve vorbei führen kann wie die gelbe Linie in Beitrag #11 von Haribo. Also so:


Das war nicht so einfach, denn da ich eine allgemeine Ideallinie auch für andere Kurven als nur die 180°-Kehre berechnen wollte, musste ich die Spirale so bestimmen, dass sie einerseits den Innenkreis der Kurve berührt (aber eben nicht unbedingt im Ursprung), und gleichzeitig immer noch die Außenbahn der Geraden tangiert. Das war etwas komplizierter als die Herleitung in den letzten Beiträgen. Außerdem sind etliche Spezialfälle zu beachten, wenn man nicht möchte, dass die automatisierte Berechnung irgendwo wegen Überlauf-Fehlern oder Division durch null fehlschlägt. Die elliptische Bahn steht noch auf dem Programm, aber ich wollte erst einmal die Excel-Datei fertigstellen. Sie kann in meinem Notizbuch heruntergeladen werden: hier klicken. Dadurch, dass einige automatisierte Suchen mit Näherungsverfahren umgesetzt werden mussten, ist es notwendig, diese Datei mit Makros zu versehen.
Die oben dargestellte Grafik ist dann die bildliche Darstellung, zwecks Kontrolle. Die Bedienung ist äußerst simpel. Auf dem ersten Blatt werden die Parameter eingeben, also Streckendaten und maximale Beschleunigung:


Mehr muss man nicht machen, das Tabellenblatt bestimmt automatisch die schnellstmögliche Linie. Auf dem zweiten Blatt werden die Ergebnisse dann ausgegeben:



Und zu meiner Überraschung stellte sich heraus, dass bei der 180°-Kehre tatsächlich die Linie, die am Kurvenscheitelpunkt vorbeiführt, die etwas schnellere Linie ist. Also Boo85: Dein Gefühl hat Dich nicht getäuscht! Und ich leiste hiermit Abbitte. Aber ich lerne ja gern dazu, daher freut mich dieses Ergebnis. Die Messlatte liegt nun bei 14,33 Sekunden! Das ist mehr als 0,4s schneller als bisher, und wenn man bedenkt, dass der Startpunkt bei Koordinate (40, 230) liegt, dann an (0,0) vorbeiführt und bei (-40, 230) endet, ist das schon erstaunlich schnell, denn das (real nicht fahrbare) geradlinige Optimum über die Wiese liegt bei 13,67 Sekunden.
Es gibt noch zwei ausgeblendete Tabellenblätter, eines für die Koordinaten der Streckenbegrenzung und eines mit den berechneten Momentanwerten für die Spirale.
Im nächsten Beitrag umreiße ich noch kurz, wie die numerische Berechnung funktioniert, falls jemand die Ellipse oder noch eine andere Linie selbst probieren möchte.

Ciao,

Thomas



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1011
Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.48, eingetragen 2017-11-12 20:07


@Haribo,
2017-11-11 01:14 - haribo in Beitrag No. 42 schreibt:
woher wissen wir wer wen wie versteht?
Sehr schöner Satz! Den musste ich dreimal lesen, bis ich ihn verstanden habe. biggrin Und die Frage ist tatsächlich gut.

ist ein kreis eine spezielle form einer spirale?
So würde ich das nicht sagen. Die logarithmische Spirale wird bei geeigneten Parametern annähernd zum Kreis, oder annähernd zur Gerade. Deswegen eignet sie sich so gut. Ich habe sie mir ja nicht "ausgesucht" so wie ihr die Ellipse, sondern sie ergab sich eben aus der Annahme konstanter Beschleunigungen, aber die Eigenschaften sind schon überraschend.

deine beste bahn wechselt also von einer log spirale mit definierter steigung schlagartig bei 4 in eine weitere log.spirale mit unendlicher steigung?
Nein, in eine Gerade, aber die Spirale tangiert diese Gerade, das ist physikalisch zulässig. Es findet zwar ein Sprung in der Bahnkrümmung statt, es muss also einmal kurz am Lenkrad/Lenker geruckt werden, aber von Radius 153m auf geradeaus klingt nicht dramatisch. Auch bei einer Ellipse wäre das so. Um das zu vermeiden, bräuchte man eine Funktion, die mit Krümmung null startet.

Ciao,

Thomas



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
haribo
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 1392
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.49, eingetragen 2017-11-12 22:40


ich hab noch nen schall-stich als fahrweg konstruiert und komme damit nach 13,586 sec wieder auf die, um mehrere kilometer verlängerte(verbreiterte), start-ziel-linie

fliegender start mit schallgeschwindigkeit 343m/s und dem dazugehörigen R=11764,9m 2314,9m seitlich der berührstelle

und weil ichs nicht verstehe noch ne frage: bedeutet die angesetzte zentripetalbeschleunigung von 10 m/s² dass ich dabei mit ungefähr 45,6° schräglage fahre?

monty, fährt dein mopped also auch mit konstanter schräglage die log.spirale? (mein ur-olles excel versteht leider die macros nicht...)

haribo



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Boo85
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 20.11.2015
Mitteilungen: 19
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.50, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-13 13:21


Vielen Dank Monty für diese tolle Arbeit!

So wie du die Spirale beschreibst, wird sich wohl bei geeigneter Parameterwahl in der Tat eine beliebig gute Näherung an die absolute Ideallinie hinbiegen lassen, auch wenn der allgemeine Kammsche Kreis berücksichtigt wird (was wohl oder übel nur noch viel komplizierter  berechenbar ist)

Ich werde sehr gerne mit der Exceldatei etwas rumspielen. Denn ich habe noch ein paar Vermutungen, die wieder nur aus meinem Gefühl kommen und daher will ich sie mir zuerst bestätigen lassen, das sollte ich glaub hinkriegen und werde dann berichten.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1011
Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.51, eingetragen 2017-11-13 13:52


Hallo zusammen,
@Haribo: Deine Lösung ist jetzt aber nicht unbedingt im Sinne der Aufgabenstellung...
Aber sie eröffnet trotzdem eine neue Denkweise. Bisher haben wir immer aus der Fahrerperspektive betrachtet, wie sich Längs- und Querbeschleunigung verhalten. Ich könnte natürlich statt eines Kreisbogens auch eine Parabel hineinlegen, die um den Innenkreis herumführt. Ich hätte dann eine gleichförmige Bewegung in x-Richtung und eine konstante Beschleunigung in y-Richtung. Simpler geht es nicht. Bei jeder anderen Kurve als der 180°-Kehre könnte das sogar die tatsächlich beste Lösung sein, das werde ich noch einmal vergleichen. Für die 180°-Kehre geht die Parabel nicht, weil sie ja nun einmal (in Normallage <math>y=ax^2</math>) nirgendwo eine senkrechte Steigung aufweist, um tangential an die Außenbegrenzung heranzuführen.
@Boo85: Danke sehr. Viel Spaß damit. Sobald ich dazu komme, erweitere ich die Datei noch um die Ellipse oder Parabel.
Nachfolgend wie schon ein paar mal angekündigt noch ein paar Gedanken zur numerischen Berechnung der DGL mit einer allgemeinen Kurve. Die DGL lautet ja

<math>\displaystyle \dot v^2=a^2-v^4\kappa(s)^2</math>

Dabei ist die zu fahrende Strecke gegeben durch die Koordinaten <math>x</math> und <math>y</math>. Ein einfacher Zusammenhang <math>y(x)</math> oder <math>x(y)</math> ist denkbar, aber nicht unbedingt immer möglich. Daher brauchen wir eine Parameterdarstellung <math>x(p)</math> und <math>y(p)</math>. Der Parameter <math>p</math> könnte natürlich zum Beispiel die Zeit <math>t</math> sein, aber wenn man die Koordinaten in Abhängigkeit von <math>t</math> schon wüsste, müsste man die DGL nicht mehr lösen. Also ist <math>p</math> irgendein geometrischer Parameter. Die Ellipse zum Beispiel könnte man in Parameterdarstellung sehr einfach beschreiben:

<math>\displaystyle x(p)=A\cos p\qquad y(p)=B\sin p</math>

Nehmen wir also an, die Kurve sei in Parameterdarstellung <math>(x(p), y(p))</math> gegeben. Nachfolgend sei der Strich die Ableitung nach dem Parameter <math>p</math>, und wir müssen den Zusammenhang <math>t(p)</math> herleiten, wobei <math>t</math> ja implizit in der DGL versteckt ist. Klingt kompliziert, ist es auch ein bisschen. Der pavlovsche Reflex bei DGLs für Bewegungsgleichungen ist, nach <math>t</math> integrieren zu wollen, z.B. mit Runge-Kutta oder ähnlichen Verfahren. Schon falsch. Nach <math>t</math> zu integrieren ist blöd, weil ich gar nicht weiß, wie ich die Schrittweite wählen soll und wie viele Schritte es dann am Ende werden, weil ich ja nicht unbedingt weiß, bei welchem <math>t</math> ich ende, und bei jeder Änderung der Kurvenparameter oder Änderung der Beschleunigung <math>a</math> kann das stark schwanken. Da muss man sich dann mühsam jedes mal ran tasten. Ich möchte aber entlang der Ellipse oder beliebigen Kurve integrieren, diese in 1000 Schritte zerteilen, und wenn ich 1000 Schritte gemacht habe, bin ich fertig, Ende, Aus. Für das Beispiel der Ellipse läuft der Parameter <math>p</math> von <math>0</math> bis <math>\frac{\pi}2</math>. Lasse ich <math>p</math> in Schritten von <math>\frac{\pi}{2000}</math> laufen, bin ich nach 1000 Schritten durch. Aber wie komme ich dann auf <math>t</math>, <math>s</math>, <math>v</math>, <math>x</math> und <math>y</math>, bzw. wie bekomme ich die Zeit aus der DGL eliminiert?
Nochmal zur Erinnerung: <math>x(p)</math> und <math>y(p)</math> sind gegeben und beschreiben die Kurve geometrisch. Dann ist auch <math>\kappa</math> bekannt:

<math>\displaystyle \kappa^{2}=\frac{\left(x'y''-x''y'\right)^{2}}{\left(x'^{2}+y'^{2}\right)^{3}}</math>

und <math>s'</math>:

<math>\displaystyle s'^2=x'^2+y'^2</math>

Im Grunde ist <math>t</math> schon indirekt bestimmt. Wenn ich <math>v(p)</math> bestimmen kann, und <math>s(p)</math> auch, dann daraus auch <math>t</math>:

<math>\displaystyle t'=\frac{\text{d}t}{\text{d}p}=\frac{\text{d}t}{\text{d}s}\cdot\frac{\text{d}s}{\text{d}p}=\frac1v\cdot s'</math>

<math>\displaystyle t=\int\frac{s'}v\text dp</math>

Auch <math>\dot v</math> können wir durch eine rein geometrische Beschreibung ersetzen:

<math>\displaystyle \dot{v}=\frac{\text{d}v}{\text{d}t}=\frac{\text{d}v}{\text{d}p}\cdot\frac{\text{d}p}{\text{d}s}\cdot\frac{\text{d}s}{\text{d}t}=v'\cdot\frac1{s'}\cdot v</math>

Und damit lautet die DGL:

<math>\displaystyle \frac{vv'}{s'}=\sqrt{a^2-v^4\kappa^2}</math>

<math>\displaystyle v'=s'\sqrt{\frac{a^2}{v^2}-v^2\kappa^2}</math>

Damit haben wir eine nichtlineare DGL 1. Ordnung für <math>v</math>. Sobald ich <math>v(p)</math> als Tabelle vorliegen habe, bestimme ich <math>t</math> dann aus dem Integral oben.
Ganz konkret würde ich das Taylor-Verfahren anwenden, um die DGL über den Parameter <math>p</math> zu lösen. Es ist ja

<math>\displaystyle v'(p)=f\left(p, v(p)\right)</math>

Daraus kann man rekursiv alle höheren Ableitungen berechnen (was rein praktisch allerdings schnell mühselig wird):

<math>\displaystyle v''(p)=\frac{\partial f\left(p, v(p)\right)}{\partial p}+\frac{\partial f\left(p, v(p)\right)}{\partial v}v'</math>

Dann kann man <math>v</math> schrittweise berechnen:

<math>\displaystyle v(p+\Delta p)=v(p)+v'(p)\Delta p+\frac12v''(p)\left(\Delta p\right)^2+\frac16v'''(p)\left(\Delta p\right)^3</math>

Für <math>t</math> dann sinngemäß das gleiche, also:

<math>\displaystyle t(p+\Delta p)=t(p)+t'(p)\Delta p+\frac12t''(p)\left(\Delta p\right)^2+\frac16t'''(p)\left(\Delta p\right)^3</math>

wobei

<math>\displaystyle t'=\frac{s'}{v}\qquad t''=\frac{s''v-s'v'}{v^2}\qquad t'''=\frac{s'''v^2-2s''vv'-s'vv''+2s'v'^2}{v^3}</math>

Praktisch würde ich bis <math>v'''</math> gehen. Das ist noch vertretbarer Aufwand an Ableiterei, und wenn ich 1000 Schritte mache, liege ich in der Genauigkeit am Ende der Kette bei etwa 8 bis 9 signifikanten Stellen.

Ciao,

Thomas



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
haribo
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 1392
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.52, eingetragen 2017-11-13 14:45


2017-11-13 13:52 - MontyPythagoras in Beitrag No. 51 schreibt:
Hallo zusammen,
@Haribo: Deine Lösung ist jetzt aber nicht unbedingt im Sinne der Aufgabenstellung...
Aber sie eröffnet trotzdem eine neue Denkweise. Bisher haben wir immer aus der Fahrerperspektive betrachtet, wie sich Längs- und Querbeschleunigung verhalten.

ansich nur ne logische fortsetzung der kurvenschaar aus #17,
nachdem du in #38 darauf hingewiesen hattest das man ja mit R=0 auch in unendlich kurzer zeit das bike drehen könnte, gilt ja dann für alle anderen dort benutzen bögen mit R>0 :"je grösser der radius desto schneller komm ich nach süden"
die wahl der schallgeschwindigkeit als v war aber klar willkürlich.... lichtgeschwindigkeit muss noch näher an deinen postulierten absolut kleinsten wert <math>T=2\sqrt{2\frac{230\text m}{10\text{m/s}^2}}=13,565\text s</math> herankommen,

keine frage, dieser unterer grenzwert kann mit a<=10m/s² nicht unterboten werden

jedenfals solange die rennbahn waagerecht liegt und/oder sich nicht selber bewegt... heutzutage gibt es ja auch rennbahnen auf kreuzfahrtschiffen "norwegian joy..."

haribo



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
haribo
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 1392
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.53, eingetragen 2017-11-14 21:56



rekord: t ges.=14,24sec

aZ 7,58m/s²
aL 6,52m/s²
vO 9,98m/s
vB 37,33m/s
v end 66,6m/s
tB 4,19s
tG 2,93s
L 500,42m (gesamtweg)

monty, wenn du mir irgendwo einzeichnest wo der beschleunigungswinkel "alpha" abmessbar ist, gebe ich ihn auch noch an, dann kannst du versuchen diese spirale direkt in deine datei einzutragen

kannst du die streckenteil-länge der spirale ermitteln? ich bin da unsicher in der geometrie, habe entgegen der angabe in meiner zeichnung mit 99,2m weitergerechnet

ansich habe ich versucht einfach eine noch steilere spirale zu zeichnen und zeichnerisch auf die bahn skaliert, insofern könnten auch noch weitere ungenauigkeiten im möglich sein

es spricht nichts dagegen dass es lohnend sein könnte noch enger zu wenden...

haribo



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1011
Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.54, eingetragen 2017-11-14 22:12


Hallo zusammen,
ich habe jetzt mal die Parabel mit in die Datei aufgenommen. Nachdem ich eine Weile darüber gegrübelt habe, kann ich mir nicht vorstellen, dass es eine schnellere Lösung als die Parabel geben kann - vorausgesetzt, dass die Parabel auch in die Strecke passt. Wenn die Strecke V-förmig ist, kann das klappen. Nachfolgend ein Beispiel mit 70° (halber) Kurvenwinkel:

Bei 30° Kurvenwinkel unterscheiden sich die beiden Kurven kaum, die Parabel ist aber 0,06s schneller. Bei dem hier dargestellten, ziemlich großen Winkel ist bei ansonsten gleichen Kurvenparametern (Innen- und Außenradius, Länge der Geraden) die Parabel ca. 0,3s schneller als die Spirale. Aber schon bei 78,25° führt die Parabel an die äußere Streckenbegrenzung - obgleich sie dann immer noch knapp 0,17s schneller ist. Bei 80,71° Kurvenwinkel sind Parabel und Spirale gleich schnell, auch wenn die Parabel dabei die Strecke schon um über 7m verlassen hat. Von diesem Winkel an bis zur 180°-Kehre ist die Spirale schneller, was natürlich nicht zuletzt darauf zurückzuführen ist, dass es keine Parabel in Normallage gibt, deren Tangente senkrecht nach oben zeigt.
Bei der Parabel ist somit die Geschwindigkeit in x-Richtung konstant, die Beschleunigung <math>a</math> kann voll darauf verwendet werden, die gewünschte Geschwindigkeitsänderung (vektoriell betrachtet) herbeizuführen. Aber wenn der Winkel zu groß wird in Richtung 90°, dann muss ich in x-Richtung beschleunigen und am anderen Ende der Kurve wieder "abbremsen". Durch die notwendige Beschleunigung in x-Richtung geht uns ja über den Kammschen Reibkreis in y-Richtung Beschleunigung verloren. Offenbar muss das Optimum für die 180°-Kehre so aussehen, dass die Beschleunigung in x-Richtung minimiert wird. Ob die Ellipse das tut, ist fraglich.
@Boo85, ich habe die Excel-Datei noch einmal aktualisiert, um die Parabel mit aufzunehmen. Die Parabel dürfte Dir auch im Hinblick auf die Schräglage besser gefallen, weil sie mit einer geringen Schräglage anfängt, die dann bis zum Wendepunkt immer größer wird.
@Haribo, welche Excel-Version hast Du? Ich könnte die Datei ja auch in einem älteren Format speichern, falls Du Interesse hast.

Ciao,

Thomas

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.52 begonnen.]



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
haribo
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 1392
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.55, eingetragen 2017-11-14 22:28


kann man nicht bei der parabel in der mitte einen kreisbogen einfügen bis sie sich hindreht?

exel irgendwas mit noch .xls als endung



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1011
Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.56, eingetragen 2017-11-15 11:18


Hallo haribo,
unter diesem Link habe ich Dir die Datei noch einmal in xls-Format bereitgestellt.
Der "Beschleunigungswinkel" ist der Winkel zwischen momentaner Fahrtrichtung und momentan wirkender Beschleunigung. Längsbeschleunigung heißt <math>\alpha=0</math>, reine Querbeschleunigung heißt <math>\alpha=90°</math>. Bei der logarithmischen Spirale ist dieser Winkel konstant, bei jeder anderen Kurve nicht.
Wenn Du also eine andere als eine logarithmische Spirale verwendest, ist der Beschleunigungswinkel ein veränderlicher Wert. Und wenn Du eine logarithmische Spirale verwendest, dann müsste Deine Berechnung die gleiche sein wie meine, und dann müsste Dein Wert falsch sein, denn ich berechne ja direkt die bestmögliche logarithmische Spirale.
Aus Deiner Skizze werde ich daher nicht so richtig schlau. Was für eine Spirale hast Du denn genau, eine archimedische? Oder sind es mehrere zusammengesetzte Kreisbögen?

Ciao,

Thomas



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
haribo
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 1392
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.57, eingetragen 2017-11-15 13:58


es soll sich auch um eine log.spirale handeln, den mittelpunkt habe ich eingezeichnet, ob man sie aus den abmessungen math.exakt beschreiben kann weiss ich nicht, wie lautet denn die spiralgleichung in deinem beispiel

mein beschleunigungswinkel ist also arctan(aZ/aL)=arctan(7,58/6,52)=49,3°

reicht der beschleunigungswinkel um die spirale zu definieren?

fals ich einen fehler drin habe dann möglicherweise bei der bestimmung der radien bei "B" 183,8m und "O"13,13
sollte da ein fehler drin sein stimmt natürlich die ermittelte zeit nicht

ansonsten dürfte die zeichnung als spirale ganz gut sein
haribo



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1011
Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.58, eingetragen 2017-11-15 15:40


Hallo haribo,
wenn Du in meiner Excel-Datei in dem Blatt "Daten" in Zelle C3 ("gewünschter Beschleunigungswinkel") die dortige Formel überschreibst und Deinen Winkel (in Bogenmass) direkt eingibst, dann werden die Werte dementsprechend angepasst. Allerdings komme ich da beim großen Radius nur auf 179,23m und beim inneren auf 11,99m. Die Zeit wird ausgerechnet mit 14,344s, nicht 14,24s. Also ist Deine Spirale schon ganz gut, aber nicht die beste.  wink

Ciao,

Thomas



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
haribo
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 1392
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.59, eingetragen 2017-11-15 18:32


für die zeichnerische ermittlung des krümmungsmittelpunktes, und damit R der krümmung, hab ich eine bestätigung meiner zeichnung gefunden

www2.iazd.uni-hannover.de/~erne/Mathematik3/dateien/maple/MB_10_3.pdf
seite 9

für die genaue länge des teil-spiralbogens noch nicht... aber das wird auch noch werden
haribo



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
haribo
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 1392
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.60, eingetragen 2017-11-16 17:22



nun, nach stetigem vergleichen der gezeichneten längen mit den von monty gerechneten werten gelingt also eine exakte zeichnerische konstruktion

hier dargestellt mit alpha=0,82904[rad]

interessant sind dabei die beiden orthogonal aufeinander liegenden schwarzen geraden, welche als schnittpunkt den mittelpunkt der log.spirale haben und sowohl durch beide schmiegkreis mittelpunkte und anfang und endpunkte des gefahrenen spiralstrecken-abschnittes verlaufen,

auch die abwicklungslänge des spiralstrecken-abschnittes (hier 100,1m)lässt sich, wie in #53 angenommen, leicht zeichnerisch ermitteln wenn man den inneren schmiegekreis radius in der dargestellten art und weise an die schwarze linie anträgt

die differenz der darstellung in #53 zur berechnung von monty lag in der (un-)genauigkeit der konstruktion der spirale... jetzt stimmen unsere ermittelten fahrtzeiten (14,3576 sec) sehhr gut überein (monty is mit 14,3569 noch 0,0007sec schneller...)

die mühe hat sich also gelohnt, das oben gewählte alpha is eher zufällig gewählt, wie monty widerholt darlegte ist dies nicht die schnellste variante...

haribo




  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1011
Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.61, eingetragen 2017-11-19 22:40


Hallo zusammen,
nachdem mir neulich der Gedanke gekommen war, das Problem nicht aus der Fahrerperspektive zu betrachten, sondern absolut, ging mir auf, dass für die 180°-Kehre das Optimum erreicht wird, wenn insgesamt die Beschleunigung in x-Richtung minimal gehalten wird. Dann steht möglichst viel Beschleunigung in y-Richtung, also zur Richtungsumkehr, zur Verfügung. Bei der logarithmischen Spirale findet in x-Richtung betrachtet zunächst eine Beschleunigung, dann eine Verzögerung bis zum Wendepunkt statt, danach wieder eine Beschleunigung und wieder eine Verzögerung. Das kann nicht optimal sein.
Daher habe ich folgende Kurve entworfen:

<math>\displaystyle s_{x}=v_{0}t-\frac{1}{3}kt^{3}</math>

<math>\displaystyle v_{x}=v_{0}-kt^{2}</math>

<math>\displaystyle a_{x}=-2kt</math>

<math>\displaystyle s_{y}=\frac{1}{12}\left(\frac{a^{2}}{k^{2}}+2t^{2}\right)\sqrt{a^{2}-4k^{2}t^{2}}-\frac{a^{3}}{12k^{2}}+\frac{a^{2}t}{4k}\arcsin\frac{2kt}{a}</math>

<math>\displaystyle v_{y}=\frac{t}{2}\sqrt{a^{2}-4k^{2}t^{2}}+\frac{a^{2}}{4k}\arcsin\frac{2kt}{a}</math>

<math>\displaystyle a_{y}=\sqrt{a^{2}-4k^{2}t^{2}}</math>

mit

<math>\displaystyle k=\frac{4v_{0}^{3}}{9r_{a}^{2}}</math>

Und so sieht die Kurve aus:



Die grüne Linie ist die neue Kurve, die rote die logarithmische Spirale.
Mit <math>v_0=13,63059\text{m/s}</math> führt das zu einer Bestzeit von 14,0624s, was noch einmal fast drei Zehntel schneller ist als die beste logarithmische Spirale.

Ciao,

Thomas



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
haribo
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 1392
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.62, eingetragen 2017-11-20 17:39


monty, diesmal eine kleine rätselaufgabe für dich:
wie weit liegt die ellipse 173/80 welche um 5,86 verschoben ist, maximal von deiner grünen kurve entfernt? (die werte 173 und 5,86 sind nur optisch eingepasst, also nicht unbedingt ultimativ optimal)

scherz beiseite, ist eine ellipse nicht die harmonischste beschleunigungsumlenkung aller kurven?

leider kann ich ihre fahrtzeit unter einhaltung von 10 m/s² nachwievor nicht ausrechnen...
gruss haribo






  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1011
Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.63, eingetragen 2017-11-20 17:57


Hallo Haribo,
ja, wie auch Boo85 schon so richtig bemerkte, man kann Kurven bei geeigneter Parameterwahl oft beliebig ähnlich machen. Ich würde nicht mehr ausschließen, dass sich mit einer Ellipse eine vorläufig schnellste Zeit erzielen lässt. Im Moment denke ich aber noch darüber nach, die Parabel, die für beliebige Kurven das Optimum darstellt, außen zu den Geraden hin durch Kreisbögen zu ergänzen. Das ist aber auch nicht ganz einfach.
Bei der Ellipse führt an numerischer Integration kein Weg vorbei. Wie das geht, habe ich ja schon skizziert, aber man muss dann immer noch ein paar Parameter wählen und optimieren, was ich im Moment maximal durch Trial-and-Error hinbekäme, bzw. eleganter formuliert, manuell-iterativ.  smile

Ciao,

Thomas



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
haribo
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 1392
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.64, eingetragen 2017-11-20 20:03


schnitzel hat in #10 ja auf das alte spiel "racetrack" "vektor-race" hingewiesen, ich versuche mal morgen ob ich die beschleunigungsrichtungen alle sec für die bisherigen kurse eingezeichnet bekomme, evtl kann man das verfeinern und dann eine schrittweise lösung anpeilen?
haribo



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1011
Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.65, eingetragen 2017-11-21 10:42


Hallo haribo,
das ist ja genau das, was ich gemacht habe. Bei der logarithmischen Spirale zeigt die Beschleunigung in x-Richtung während eines kompletten Durchlaufs, wenn das U von links nach rechts durchfahren wird, erst nach rechts, dann nach links bis zum Wendepunkt, dann wieder nach rechts und dann wieder nach links. Das kann nicht optimal sein.
Stand gestern Abend ist die Ellipse ein paar Hundertstel langsamer als die von mir zuletzt entworfene Kurve, ich bin aber noch nicht ganz durch.

Ciao,

Thomas



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
haribo
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 1392
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.66, eingetragen 2017-11-21 18:24


2017-11-21 10:42 - MontyPythagoras in Beitrag No. 65 schreibt:
Stand gestern Abend ist die Ellipse ein paar Hundertstel langsamer als die von mir zuletzt entworfene Kurve, ich bin aber noch nicht ganz durch.
Ciao,
Thomas

paar hundertstel is natürlich ein unglückliches ergebniss, da es ja ne ganze menge von ellipsen gibt die den innenradius tangieren


alles in allem aber wirklich erstaunlich dass offenbar niemand den besten ansatz kennt...
haribo

nachtrag:
berechnest du die 173/80 iger ellipse oder suchst du die absolut schnellste?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1011
Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.67, eingetragen 2017-11-21 19:04


Hallo Haribo,
ich suche natürlich die absolut schnellste. Das Minimum scheint bei der Ellipse bei etwa 14,11 Sekunden zu liegen, aber das ist noch nicht 100%ig sicher.

Ciao,

Thomas



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1011
Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.68, eingetragen 2017-11-21 22:28


Hallo Haribo,
2017-11-21 18:24 - haribo in Beitrag No. 66 schreibt:
alles in allem aber wirklich erstaunlich dass offenbar niemand den besten ansatz kennt...

Ich glaube, Du unterschätzt die Komplexität. Es gibt nicht DEN besten Ansatz für eine analytische Lösung. Man kann das Problem ja schon grundsätzlich formulieren, aber die Randbedingungen sind zu komplex.
Nachfolgend die optimale Ellipse:



Die Daten der "schnellsten" Ellipse sind:
große Halbachse 91,147m
Geschwindigkeit am Wendepunkt 13,2492m/s
nach unten verschoben um 6,974m

Zeit: 14,106s

... und damit gut 4  Hundertstel langsamer als die gebastelte Kurve. Was mich darin bestärkt, dass das Geheimnis darin liegt, die Beschleunigung in x-Richtung zu minimieren. Die Parabel mit anschließenden Kreisbögen im Übergang in die Geraden könnte annähernd die Bestlösung darstellen.

Ciao,

Thomas




  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
haribo
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 1392
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.69, eingetragen 2017-11-22 12:35


nach 66 beiträgen unterschätzt niemand mehr die komplexidität, es erstaunt mich trotzdem das wir mit den ansätzen noch so hinundher springen...

wäre denn folgende aussage zwingend logisch richtig: "wenn der streckenverlauf insgesamt einer geometrischen form folgen würde also z.B. log.spirale dann wäre auch die dazugehörige optimale kurve gegeben?"


zur ellipse 182,29/80:
du hast offensichtlich für die wendestelle die maximale geschwindigkeit des kleinen schmiegkreises angesetzt 13,2492m/s R=17,55m passen ja zusammen für 10m/s², und dies R ist der kleine schmiegkreis

wie hast du in der ellipsenberechnung unser altes dilemma gelöst, welche beschleunigungs anteil benutzt man bei grösser werdendem radius am besten, oder anders gefragt, wie gross ist die geschwindigkeit am ende der ellipse (maximal wären dort 45,57 wegen R=207,7m)

ich bin mir beim nachdenken nicht sicher ob es nicht im falle der ellipse evtl. günstiger sein könnte etwas langsamer zu starten an der wendestelle, und dann mehr beschleunigungspotential zu haben...
haribo



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1011
Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.70, eingetragen 2017-11-22 20:09


Hallo Haribo,
2017-11-22 12:35 - haribo in Beitrag No. 69 schreibt:
wäre denn folgende aussage zwingend logisch richtig: "wenn der streckenverlauf insgesamt einer geometrischen form folgen würde also z.B. log.spirale dann wäre auch die dazugehörige optimale kurve gegeben?"

Ja, auf jeden Fall. Gib irgendeine Kurve vor, z.B. Ellipse, Parabel, Spirale etc., dann ist bei der Ideallinie immer das Bestreben, unter Ausnutzung des Kammschen Reibkreises das maximale an Beschleunigung rauszuholen - spät auf die Bremse, früh auf's Gas. Fährst Du eine Kurve mit einer Geschwindigkeit unter der Rutschgrenze der Fliehkraft, hast Du Reserve für Längsbeschleunigung, mit dem Ergebnis, dass Du schneller wirst und Dich dem Maximum an Fliehkraft näherst. Das ist das Schöne an der DGL, sie reguliert Deine Geschwindigkeit automatisch. Deswegen beginnt die Berechnung auch am Wendepunkt und nicht auf der Geraden. Es ist wie im richtigen Leben: wenn Du schon mit zu hoher Geschwindigkeit in die Kurve rauscht, führt die DGL zwangsläufig dazu, dass Du virtuell rausrutscht. smile
Das einzige, was Du beeinflussen kannst, ist die Parameterwahl, also die genaue Form. Dann liegt das Ergebnis fest, und es gibt genau eine schnellste Parabel, schnellste Ellipse usw..
Wie gesagt, für die allgemeine V-förmige Kurve ist meines Erachtens die Parabel die bestmögliche Kurve. Betrachte dazu mal nachfolgendes Bild:



Wir wollen von "Nord-West" in die Kurve einfahren, bis runter zum Wendepunkt und dann nach "Nord-Ost" verlassen. V-förmig eben. Wir kommen an mit der Startgeschwindigkeit $\vec v_{Start}$, und verlassen die Kurve mit der Endgeschwindigkeit $\vec v_{End}$. Die Beschleunigung $\vec a$, die dazu notwendig ist, zeigt in y-Richtung. Also ist die Ideallinie zwangsläufig die, die auf direktem Weg ohne den Hauch einer Beschleunigung in x-Richtung die Geschwindigkeit von $\vec v_{Start}$ in $\vec v_{End}$ verändert. Bei gleichzeitig konstanter Geschwindigkeit in x-Richtung ist das die Parabel. So weit, so gut.
Bei der 180°-Kehre ist das anders:



Auch hier führt natürlich der direkte Weg über eine Beschleunigung, die ausschließlich in y-Richtung wirkt. Das funktioniert, wenn $r_i=0$ ist. Wir hatten das Beispiel schon; es bedeutet, an einer Wand der Dicke null herunterrauschen, zum Stillstand kommen, und zurückbeschleunigen. Geschwindigkeit und Beschleunigung in x-Richtung ist null. Bei der 180°-Kehre mit 60 Meter Wiese dazwischen geht das nicht, denn meine Geschwindigkeit in x-Richtung ist zwar am Anfang und am Ende null, dazwischen muss ich aber mindestens die Strecke $2r_i$ und maximal $2r_a$ zurücklegen:



Somit ist es zwingend notwendig, dass am Eingang in die Kurve erst in x-Richtung beschleunigt wird, und am Ende wieder verzögert wird, also eine entgegengesetzte Beschleunigung wirkt. Aufgrund des Kammschen Reibkreises geht Beschleunigung in x-Richtung sofort zu Lasten der Beschleunigung in y-Richtung, und das kostet Zeit.
Daher ist mein Ansatz, möglichst ökonomisch mit der Beschleunigung in x-Richtung umzugehen. Die logarithmische Spirale hat aufgrund des konstanten Beschleunigungswinkels >>permanent<< eine Beschleunigung in x-Richtung, in der Nähe des Wendepunktes sogar kontraproduktiv. Daher konnte sie gar nicht optimal sein. Und das ist auch das Gegenargument zu Deinem Vorschlag, mit geringerer Geschwindigkeit im Wendepunkt zu fahren. Ich habe es probiert, es verschlechtert das Ergebnis.
Die von mir entworfene Kurve hat im Wendepunkt eine Beschleunigung in x-Richtung von null, der Verlauf ist zeitlich gesehen linear. Aber das Optimum für die V-Kurve ist nun einmal die Parabel. Daher denke ich darüber nach, die 180°-Kehre in einen Parabelteil (wo die Geschwindigkeit in x-Richtung konstant ist) und daran anschließende Kreisbögen (konstante Zentrifugalkraft, null Längsbeschleunigung) aufzuteilen. Es wird aber schon ein bisschen tricky werden, die Parabel und die Kreisbögen optimal abzustimmen. Das klingt auf jeden Fall unschön und nicht "harmonisch", wie Du es formuliert hattest, aber die Welt ist manchmal leider etwas unharmonisch.  razz
Ich poste später mal den Verlauf der Beschleunigung in x-Richtung für die bisher berechneten Fälle, über die Zeit und über x.

Ciao,

Thomas



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Seite 2Gehe zur Seite: 1 | 2  
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2017 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]