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Strukturen und Algebra » Gruppen » Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen
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Universität/Hochschule Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen
okashi
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 09.06.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-02 17:48


Ich habe einige Fragen zum Beweise des Satzes
" Sei p eine Primzahl und G eine endlich abelsche p-Gruppe. Dann gibt  ein <math>k\in\mathbb{Z}$ mit $ord(G)=p^k</math> und eindeutig bestimmte natürliche Zahlen <math>1\leq n_1\leq...\leq n_s\leq k</math>, sodass

<math>
G\cong\mathbb{Z}/p^{n_1}\mathbb{Z}\oplus...\oplus\mathbb{Z}/p^{n_s}\mathbb{Z}
</math>

gilt"

Den Beweis dazu (der etwa über 3 Seiten lang dauert)


Sei <math>a\in G</math> mit maximaler Ordnung, d.h. <math>ord(a)=p^m</math>. Dann ist <math>p^mG=0</math>. Wir betrachten nun genauer in G die wiederholte Multiplikation mit p und ihre Wirkung auf einen direkten Summanden <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math> in G:
 
 <math>G\qquad \;\rightarrow \quad pG\qquad \rightarrow\quad...\quad\rightarrow\quad p^{n-1}G\quad\rightarrow\quad p^nG\quad \rightarrow\quad...\quad\rightarrow\quad p^mG=0$\par
\cup\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$\cup$\par
$\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\rightarrow\;\mathbb{Z}/p^{n-1}\mathbb{Z}\;\rightarrow\quad...\quad\rightarrow\quad\underset{\ne 0}{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\quad\rightarrow\quad \underset{=0}{\mathbb{Z}/p^0\mathbb{Z}}</math>
 
 
 Daran sieht man, dass sich ein Summand <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math> in <math>p^n G </math> verschwindet. Bezeichnen wir mit <math>s_i</math> die Anzahl  der direkten Summanden in <math>p^iG</math>, so ist
 
 <math>s_0=s\quad \text{und}\quad s_i=dim_{\mathbb{F}_p}(p^iG/p^{i+1}G) \quad \text{f\"ur}\quad i=0,...,m-1 </math>
 nach Lemma 0.1 Daraus folgt, dass f\"ur jedes n mit <math>1\leq n\leq m</math> die Anzahl der Summanden <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math> in G gleich <math>s_{l-1}-s_l</math> ist; das ist genau die Abnahme der Zahl der Summanden beim \"Ubergang von <math>p^{n-1}G</math> nach <math>p^nG</math>. Da die Zahlen <math>s_i</math> allein durch G und p bestimmt sind, folgt die Eindeutigkeit der Zerlegung <math>\oplus</math>
 
 Nun zur Existenz der Zerlegung $\oplus$, die wir durch Induktion \"uber m, wobei <math>p^mG=0</math> beweisen werden. F\"ur m=0 ist die Behauptung war. F\"ur m=1, ist pG=0, also
 <math>
G\cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\oplus...\oplus\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}
</math>
 
 mit <math>dim_{\mathbb{F}_p}(G)=:s </math>. In diesem Fall ist <math>n_1=...=n_s=1</math> und k=s
 
 Angenommen, die Existenz sei f\"ur m-1 bewiesen. Da
 
 <math>
0=p^mG=p^{m-1}(pG)</math>
gibt es daher eine Zerlegung
<math>
pG=\langle c_1\rangle\oplus...\langle c_s\rangle \cong\langle c_s\rangle\cong\mathbb{Z}/p^{n_1}\oplus...\oplus\mathbb{Z}/p^{n_s}
</math>
 wobei <math>c_1,...,c_s\in pG</math> erzeugende Elemente der zyklischen Summanden sind. Insbesondere ist <math>ord(c_i)=p^{n_i}</math> mit <math>n_i\leq 1</math>. Nun w\"ahlen wir beliebige Urbilder\par
 
<math>b_i\in G</math> mit <math>pb_i=c_i</math>, es gilt <math>ord(b_i)=p^{n_i+1}</math> und <math>\langle b_i\rangle\cong \mathbb{Z}/p^{n_i+1}</math>

Diese zyklische Gruppen ergeben eine direkte Summe

<math>
G':=\langle b_1\rangle\oplus...\oplus\langle b_s\rangle \cong \mathbb{Z}p^{n_1+1}_1\mathbb{Z}\oplus...\oplus\mathbb{Z}/p^{n_s+1}_s\mathbb{Z}\qquad\qquad\quad (*)
</math>
mit <math>G'\leq G </math>, da die entsprechende Summe von pG'=pG direkt ist. Es gen\"ugt nun zu zeigen, dass es ein <math>r\in\mathbb{N}</math> gibt, so dass

<math>
G=\underbrace{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\oplus...\oplus\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}_{r-mal}\oplus G'\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad (**)
</math>

d.h. man muss zu G' noch Elemente der Ordnung p dazunehmen, um ganz G zu erhalten. Dazu betrachten wir den Kern

<math>
H:=\lbrace a\in G\vert pa=0\rbrace
</math>
der Multiplikation mit p. Da pH=0, ist H nach Lemma 0.1 ein Vektorraum \"uber <math>\mathbb{F}_p</math>. Um eine Basis von H zu erhalten, bemerken wie zun\"achst

<math>
p^{n_1}b_1,...,p^{n_s}b_s\in H\quad\text{denn}\qquad ord(b_i)=p^{n_i+1}
</math>
Diese s Vektoren sind linear unabh\"angig: Angenommen

<math>
\sum_{i=1}^s r_ip^{n_i}b_i=0\qquad \text{mit}\qquad r_1,...,r_s\in\mathbb{Z};
</math>
 da <math>r_ip^{n_i}b_i\in\langle b_i\rangle</math>, folgt aus (*), dass <math>r_ip^{n_i}b_i=0</math>. Also muss p Teiler von <math>r_i</math> sein; das ergibt die lineare Unabh\"angigkeit \"uber <math>\mathbb{F}_p</math>. Durch Erg\"anzung erh\"alt man nun eine Basis
 

 <math>(p^{n_1}b_1,...,p^{n_s}b_s,a_1,...,a_r)\quad \text{von}\quad H
</math>
 f\"ur jedes j=1,...,r ist <math>\langle a_j\rangle\cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math>. Wir definieren
 
 
<math> H':=\langle a_1\rangle\oplus...\oplus\langle a_r\rangle\cong\underbrace{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\oplus...\oplus\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}_{r-mal}\leq H.
</math>
 
Es bleibt zu zeigen, dass $G=H'\oplus G'$

G=H'+G': Ist <math>a\in G</math>, so gibt es <math>x_1,...,x_s\in\mathbb{Z}</math> mit
<math>
pa=\sum x_ic_i=\sum px_ib_i, \;\text{also} \; p(a-\sum x_ib_i)=0\;\text{und}\; a-\sum x_ib_i\in H.
</math>

Kombiniert man diese Differenz linear aus der Basis von H, erh\"alt man a=b'+a' mit <math>b'\in H'</math> und <math>a'\in G' </math>

<math>H'\cap G'=0</math>: Ist <math>a\in H'\cap G'</math>, so gibt es <math>x_1,...,x_r,y_1,...,y_s\in\mathbb{Z}</math> mit
<math>
a=\sum x_ja_j=\sum y_ib_i
</math>
 

Da <math>a\in H</math>, ist weiter

<math>
0=pa=\sum y_ipb_i=\sum y_ic_i, \quad \text{also}\quad  y_ic_i=0\;\text{f\"ur} \;i=1,...,s
</math>


Da <math>ord(c_i)=p^{n_i}</math>, ist <math>y_i=y_i'p^{n_i}</math>, also folgt

<math>
0=\sum y_i'p^{n_i}b_i-\sum x_ja_j.
</math>

Da dies eine Linearkombination der Basisvektoren von H ist, folgt insbesondere

<math>
x_1=...=x_r=0, \quad \text{also}\quad a=0
</math>

Könntet ihr mir evtl grob sagen, was in dem Beweis im allgemein passiert bzw. die Schritte die gemacht wurden, außer das gezeigt wird, dass solche eine Zerlegung existiert und eindeutig bestimmt ist durch G. Warum ist <math> \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\subset G </math>?

Ich wäre euch so dankbar dafür.



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
juergen007
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 2079
Aus: Braunschweig
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-06 00:21


So allgemeine Fragen kriegst du kaum beantwortet.
Wo ist denn der 3 seitige Beweis zu finden?
Und was verstehst du als erstes nicht?





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StefanVogel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2005
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Aus: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-11-11 07:10


Hallo okashi,
ich habe mich ein wenig in den Beweis eingelesen und erkenne auch die beiden Abschnitte, dass solche eine Zerlegung existiert und eindeutig bestimmt ist durch G. Da die Eindeutigkeit zuerst gezeigt wird, darf man ganz am Anfang schon voraussetzen, dass eine Zerlegung

<math>
G\cong\mathbb{Z}/p^{n_1}\mathbb{Z}\oplus...\oplus\mathbb{Z}/p^{n_s}\mathbb{Z}
</math>

existiert und <math> \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\subset G </math> bezeichnet irgendeines dieser <math> \mathbb{Z}/p^{n_s}\mathbb{Z}\subset G </math>.

Beim ersten Durchlesen kann man das aber unmöglich erkennen, da fehlt ein entsprechender Hinweis.

Viele Grüße,
  Stefan



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