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Differentialgleichungen » Partielle DGL » Wärmeleitungsgleichung: Ableitung verstehen
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Universität/Hochschule Wärmeleitungsgleichung: Ableitung verstehen
Max16hr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-03 14:27


Hey!
Ich habe eine Verständnisfrage zum Beweis der Lösung der inhomogenen Wärmeleitungsgleichung.

Man erhält im Zuge dessen eine Lösung:

<math>u(t,x)=\int\limits_0^t\int\limits_{\mathbb{R}^n}\!\Phi(s,y)f(t-s,x-y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}s</math>,

wobei <math>f\!:[0,\infty)\times\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}</math> und <math>\Phi\!:(0,\infty)\times\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}</math> glatt sind. <math>f</math> hat zudem einen kompakten Träger.

Diese Funktion nach <math>t</math> abgeleitet ergibt:

<math>u_t(t,x)=\int\limits_{\mathbb{R}^n}\!\Phi(t,y)f(0,x-y)\,\mathrm{d}y+\int\limits_0^t\int\limits_{\mathbb{R}^n}\!\Phi(s,y)f_t(t-s,x-y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}s</math>.

Und das möchte ich gerne verstehen. Wie kommt diese Ableitung zustande?

Ich habe mir da bisher Folgendes gedacht:
Man zerlegt zunächst das Integral über <math>s</math> und erhält dann:

<math>u_t(t,x)\\
=\frac{\partial}{\partial t}\int\limits_0^t\int\limits_{\mathbb{R}^n}\!\Phi(s,y)f(t-s,x-y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}s\\
=\frac{\partial}{\partial t}(\int\limits_0^\tau\int\limits_{\mathbb{R}^n}\!\Phi(s,y)f(t-s,x-y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}s + \int\limits_\tau^t\int\limits_{\mathbb{R}^n}\!\Phi(s,y)f(t-s,x-y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}s)\\
=\frac{\partial}{\partial t}\int\limits_0^\tau\int\limits_{\mathbb{R}^n}\!\Phi(s,y)f(t-s,x-y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}s + \frac{\partial}{\partial t}\int\limits_\tau^t\int\limits_{\mathbb{R}^n}\!\Phi(s,y)f(t-s,x-y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}s\\
\overset{\text{HS}}{=}\int\limits_0^\tau\int\limits_{\mathbb{R}^n}\!\Phi(s,y)\frac{\partial}{\partial t}f(t-s,x-y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}s + \int\limits_{\mathbb{R}^n}\!\Phi(t,y)f(t-t,x-y)\,\mathrm{d}y\\
=\int\limits_0^\tau\int\limits_{\mathbb{R}^n}\!\Phi(s,y)f_t(t-s,x-y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}s + \int\limits_{\mathbb{R}^n}\!\Phi(t,y)f(0,x-y)\,\mathrm{d}y\text{,}</math>

wobei beim hinteren Term der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung angewendet wurde.

Als letzten Schritt betrachte ich nun, da <math>\tau\in(0,t)</math> frei gewählt werden konnte, <math>\tau\rightarrow t</math> und bin fertig.
Das setzt aber voraus, dass ich Grenzwert und Differentiation einfach vertauschen kann, obwohl der Grenzwert sogar von der entsprechenden Variable abhängt.
Also formal mache ich hier

<math>\frac{\partial}{\partial t}\lim\limits_{\tau\rightarrow t}(\int\limits_0^\tau ...\ +\ \int\limits_\tau^t ...\ )=\lim\limits_{\tau\rightarrow t}\frac{\partial}{\partial t}(\int\limits_0^\tau ...\ +\ \int\limits_\tau^t ...\ )</math>.

Und das ist doch bestimmt nicht zulässig, oder?
Wenn nicht, wie kommt man dann zum gewünschten Ergebnis?

Vielen Dank!



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-04 07:04


Hallo Max16hr,
bei der Leibnitzregel für Parameterintegrale werden ja genauso wie bei der Produktregel mehrfach vorkommende t bis auf eines als Konstanten betrachtet. So etwas willst du mit der Zerlegung in die beiden Teilintervalle erreichen. Ich denke aber, dass bei der Anwendung des HS noch ein Summand fehlt, der auch nur mit der Leibnitzregel bestimmt werden kann. Ob die untere Integralgrenze Null ist oder eine andere Konstante, das vereinfacht die Aufgabe nicht.

Viele Grüße,
  Stefan



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Max16hr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-06 16:51


Hi Stefan!

"Leibnizregel für Parameterintegrale" - ganz ehrlich, davon hab ich noch nie zuvor gehört. Wenn man diese Regel kennt und sie hier anwendet, wird es natürlich ganz einfach, das Ergebnis steht dann direkt da. Danke für dieses Stichwort!

Nichtsdestotrotz frage ich mich immer noch, was bei meiner Rechnung nicht aufgeht. Oder geht es vielleicht doch auf und man darf tatsächlich Grenzwert- und Differentialoperator vertauschen? Oder ist das doch mehr oder weniger Zufall, dass es gerade hier klappen würde?

LG Max



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-11-11 06:38


In deinem Beweis halte ich den Schritt

<math>\frac{\partial}{\partial t}\int\limits_\tau^t\int\limits_{\mathbb{R}^n}\!\Phi(s,y)f(t-s,x-y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}s \overset{\text{HS}}{=}\int\limits_{\mathbb{R}^n}\!\Phi(t,y)f(t-t,x-y)\,\mathrm{d}y\\
</math>

für nicht zulässig. Der HS gilt nur, wenn der Integrand nicht von t abhängt. Mit diesem zusätzlichen t muss dann wieder die Leibnitzregel angewendet werden und es entsteht noch ein dritter Summand. Bei der Grenzwertbildung <math>\tau\rightarrow t</math> verschwindet dieser wieder, so dass das richtige Ergebnis herauskommt. Aber zwischendrin ist eben eine Umformung, welche nicht stimmt.



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