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Mathematische Physik » Distributionen » Stetigkeit zweier Funktionen zeigen
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Universität/Hochschule J Stetigkeit zweier Funktionen zeigen
Sito
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-04 14:51


Guten Tag zusammen,

ich soll für die beiden linearen Abbildungen
1) <math>\delta:\mathcal{S}(\mathbb{R})\to\mathbb{C}, \phi\mapsto \phi(0)</math>
2) <math>\displaystyle\omega_f:\mathcal{S}(\mathbb{R})\to\mathbb{C}, \phi \mapsto \int_{-\infty}^{\infty}\phi(x)f(x)dx</math>
zeigen, dass sie stetig sind. <math>\mathcal{S}(\mathbb{R})</math> ist hier der Schwartz-Raum.

Mal davon abgesehen, dass ich nicht ganz verstehe wie man sich diese Abbildungen vorstellen soll, schaffe ich es auch nicht ihre Stetigkeit zu zeigen. Googel hat leider auch nicht wirklich geholfen bzw. hat immer wieder den Begriff "Distribution" geliefert, mit dem ich leider überhaupt nichts anfangen kann...

1)
Meine Idee war es hier mit der klassischen Definition der Stetigkeit anzufangen: <math>\forall \epsilon >0\exists \rho>0\forall \phi_1,\phi_2\in\mathcal{S}(\mathbb{R}):\|\phi_1-\phi_2\|_{k,l}<\rho\Rightarrow |\phi_1(0)-\phi_2(0)|<\epsilon</math>
Meine Idee war ein Lemma aus unserem Skript zu verwenden, welches besagt, dass für eine Konstante <math>c_{\beta,k}(\phi)</math>, mit <math>\beta\in\mathbb{N}^n,k\in\matbb{N}</math> gilt: <math>|\partial^{\beta}\phi(x)|\le \frac{c_{\beta,k}}{(1+|x|^2)^k}</math> für <math>\phi\in \mathcal{S}(\mathbb{R})</math>. Ein ähnlicher Vorschlag wurde ja in Beitrag Nr. 2 hier gemacht (zumindest glaube ich das), aber so wirklich komme ich damit auch nicht auf eine Lösung. Die Konstante wäre dann doch immer noch von den Elementen aus dem Schwartz-Raum abhängig, oder nicht?

2)
hier habe ich leider keinen wirklichen Ansatz...

Gruss Sito



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piquer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-04 15:30


Hi Sito,

welche Aussagen zur Topologie auf <math>\mathcal{S}(\IR)</math> hast du zur Verfügung? Habt ihr Halbnormen eingeführt? Welche Aussagen zur Konvergenz von Folgen hast du zur Verfügung? Welche Voraussetzungen sind an <math>f</math> gestellt? Um die Stetigkeit von linearen Abbildungen zu zeigen, reicht es die Beschränktheit nachzuweisen. Du musst nicht über die ursprüngliche <math>\varepsilon-\delta-</math>Definition gehen.

Viele Grüße
Torsten


[Verschoben aus Forum 'Topologie' in Forum 'Distributionen' von piquer]



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Sito
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-04 15:58


Hallo Torsten,

Zuerst mal vielen Dank für den Tipp mit der Beschränktheit!

2017-11-04 15:30 - piquer in Beitrag No. 1 schreibt:
welche Aussagen zur Topologie auf <math>\mathcal{S}(\IR)</math> hast du zur Verfügung?
Phu, also um ehrlich zu sein haben wir in der Vorlesung nicht mal den Begriff Topologie definiert, von daher weiss ich nicht einmal genau was ich hierauf antworten soll...


Habt ihr Halbnormen eingeführt? Welche Aussagen zur Konvergenz von Folgen hast du zur Verfügung? Welche Voraussetzungen sind an <math>f</math> gestellt?
Halbnormen kenne ich aus einer anderen Vorlesung, wobei kennen übertrieben wäre, wir haben uns dort wenn überhaupt mit Normen befasst und Halbnormen nur am Rand definiert. <math>f\in L^2(\mathbb{R})</math> und linear sind soweit die einzigen Bedingungen, die ich hier lese.
Was Konvergenz im Schwarzraum angeht haben wir gerade einmal die Definition, dass einen Folge <math>\phi_j\in\mathcal{S}(\marhbb{R}^n)</math> gegen einen Funktion <math>\phi</math> im Schwartzraum konvergiert, wenn <math>\lim_{j\to\infty}\|\phi_j-\phi\|_{k,l}=0</math>. Mit <math>\displaystyle\|\phi\|_{k,l}=\max\limits_{|\alpha|\le k, |\beta|\le l}\sup\limits_{x\in\mathbb{R}^n}}|x^{\alpha}\partial^\beta \phi(x)|</math> und <math>\alpha,\beta\in\mathbb{N}^n</math>.

Tut mir Leid, das ist wahrscheinlich nicht das was du hören wolltest, aber mehr haben wir zu dem Thema leider nicht gesehen...^^


Um die Stetigkeit von linearen Abbildungen zu zeigen, reicht es die Beschränktheit nachzuweisen. Du musst nicht über die ursprüngliche <math>\varepsilon-\delta-</math>Definition gehen.
Beschränktheit heisst eine obere Schranke angeben, oder? In diesem Fall müsste das im ersten Beitrag genannte Lemma doch reichen. Für <math>\varphi:=\phi_1-\phi_2 \in\mathcal{S}(\mathbb{R})</math> existiert doch nach diesem Lemma sicher auch eine Konstante <math>c_{\beta,k}</math>, wobei in diesem Fall <math>\beta=0</math> und <math>k=0</math>...

Gruss Sito



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piquer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-11-04 16:05


Okay. Dann solltest du die Stetigkeit über Folgenstetigkeit zeigen. Ist dir bekannt, dass eine lineare Abbildung genau dann stetig ist, wenn sie in <math>0</math> stetig ist? (Das ist einfach zu zeigen.) Das spart etwas an Schreibarbeit. Dann wäre das Vorgehen folgendermaßen: Du hast eine Folge <math>(\phi_j)_{j \in \IN}</math>, die in <math>\mathcal{S}(\IR)</math> gegen die Nullfunktion konvergiert. Was kannst du dann über die Konvergenz der Folge <math>(\delta(\phi_j))_{j \in \IN}</math> in <math>\IR</math> sagen? Denke an die (Halb-)Norm <math>\lVert \cdot \rVert_{0,0}</math>.
Das von dir angesprochene Lemma wird bei Teil 2 wichtig.



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Sito
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-04 16:39


2017-11-04 16:05 - piquer in Beitrag No. 3 schreibt:
Ist dir bekannt, dass eine lineare Abbildung genau dann stetig ist, wenn sie in <math>0</math> stetig ist?
Das haben wir gezeigt, auch wenn es schon eine Weile her ist.


Was kannst du dann über die Konvergenz der Folge <math>(\delta(\phi_j))_{j \in \IN}</math> in <math>\IR</math> sagen? Denke an die (Halb-)Norm <math>\lVert \cdot \rVert_{0,0}</math>.
Also für ein <math>\phi\in\mathcal{S}(\mathbb{R)}</math> gilt <math>\|\phi\|_{0,0}=\sup\limits_{x \in\mathbb{R}}|\phi(x)|<\infty</math> nach Definition des Schwarzraums und der Norm...
Die einzige Überlegung die mir dazu noch einfällt ist <math>\lim\limits_{j\to\infty} \delta(\phi_j)=\lim\limits_{j\to \infty} \phi_j(0)=\phi_0(0)=0</math>, wenn <math>\lim\limits_{j\to\infty}\phi_j=\phi_0</math> und <math>\phi_0</math> die Nullabbildung ist, aber dann sehe ich den Link zur Norm nicht wirklich...



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piquer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-11-04 17:03


Woraus schließst du, dass <math>\lim_{j\to\infty} \phi_j(0) = 0</math>? Das musst du gerade zeigen!
Gehen wir einmal der Reihe nach vor:
Wir wissen, dass für alle <math>k,l \in \IN: \lim_{j \to \infty} \lVert \phi_j \rVert_{k,l} = 0</math>. Das ist gerade die Definition der Konvergenz in <math>\mathcal{S}(\IR)</math>.
Wir wollen zeigen, dass <math>\lim_{j \to \infty} \phi_j(0) = 0</math>.
Schreibe dazu mit der Definition aus, was <math>\lim_{j \to \infty} \lVert \phi_j \rVert_{0,0} = 0</math> bedeutet. Siehst du jetzt die Verbindung?



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Sito
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-04 19:18


Sorry, aber ich seh's nicht...

Ich hab mir jetzt nochmal den Kopf darüber zerbrochen, aber ich habe immer noch Mühe zu verstehen was genau passiert.

Wir beginnen damit, dass wir die Funktionenfolge <math>(\phi_j)_{j \in \IN}</math>, welche in <math>\mathcal{S}(\IR)</math> liegt und gegen die Nullfunktion konvergiert, wählen.

Nun wollen wir zeigen, dass <math>\lim_{j\to\infty} \phi_j(0) = 0</math>, woraus die Stetigkeit von <math>\delta(\phi)</math> folgt.

Wir wissen, dass für alle <math>k,l \in \IN: \lim_{j \to \infty} \lVert \phi_j \rVert_{k,l} = 0</math>, was bei unserer Wahl von <math>\phi_j</math> gerade der Definition der Konvergenz in <math>\mathcal{S}(\mathbb{R})</math> entspricht.

Betrachte nun: <math>\lim\limits_{j\to\infty}\|\phi_j\|_{0,0}=\lim\limits_{j\to\infty}\sup\limits_{x\in\mathbb{R}}|\phi_j(x)|=0</math>. Damit diese Aussage stimmt muss doch nun <math>\lim\limits_{j\to\infty}\phi_j(x)=0</math> für <math>x\in\mathbb{R}</math> gelten, insbesondere also <math>\lim\limits_{j\to\infty}\phi(0)=0</math>.

Das sieht aber ziemlich falsch aus.. Leider kann ich nicht feststellen wie man das sonst machen will...



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piquer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-11-05 10:17


Hi Sito,

das sieht doch gut aus! Konvergenz in der (0,0)-Norm bedeutet gerade gleichmäßige Konvergenz auf <math>\IR</math>, woraus die punktweise Konvergenz folgt. Wo hast du Probleme?

Viele Grüße
Torsten



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Sito
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-07 18:52


2017-11-05 10:17 - piquer in Beitrag No. 7 schreibt:
Wo hast du Probleme?
Naja, beginnen tut es schon bei dieser Aussage von dir:

Konvergenz in der (0,0)-Norm bedeutet gerade gleichmäßige Konvergenz auf <math>\IR</math>, woraus die punktweise Konvergenz folgt.
Das die punktweise Konvergenz aus der glm. folgt verstehe ich, aber wieso genau entspricht die Konvergenz in der (0,0)-Norm gerade der Definition der glm. Konvergenz

Also wir haben glm. Konvergenz definiert als: <math>{\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall x\in D_{f}}\ \forall n\geq N:\quad \left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon}</math>.
In diesem Bsp. wäre <math>f_n=\phi_j</math> und <math>f=0</math>, d.h.
<math>{\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall x\in \mathbb{R}}\ \forall n\geq N:\quad \left|\phi_{j}(x)\right|<\varepsilon}</math>.
Ich sehe also den Link von dieser Gleichung zu dieser hier nicht: <math>\lim\limits_{j\to\infty}\sup\limits_{x\in\mathbb{R}}|\phi_j(x)|=0</math>

Ich habe mich in der Zwischenzeit auch noch mal an der zweiten Teilaufgabe versucht, aber dort seht es mit dem Verständnis nicht viel besser. Du hast in einem deiner vorherigen Beiträge gesagt, dass hier oben genanntes Lemma wichtig sei, aber leider sehe ich die Anwendung davon gerade gar nicht...

Gruss Sito



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piquer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-11-08 18:33


Hi Sito,

es ist Standardstoff der Analysis I oder der Funktionentheorie, zu zeigen, dass gleichmäßige Konvergenz einer Folge beschränkter Funktionen auf einer Menge <math>M</math> äquivalent zur Konvergenz in der Supremumsnorm über <math>M</math> ist. Nun ist die <math>(0,0)</math>-Norm in <math>\mathcal{S}(\IR)</math> genau die Supremumsnorm auf <math>\IR</math>.
Die Definition des Grenzwertes, wie du ihn hingeschrieben hast, bedeutet gerade, dass

<math>\displaystyle \forall \varepsilon > 0 \exists N \in \IN: \forall j \geq N:
\sup_{x \in \IR} |\varphi_j(x)| < \varepsilon.
</math>

Wenn aber das Supremum über alle Punkte <math>x \in \IR</math> kleiner als <math>\varepsilon</math> ist, dann gilt die Ungleichung für alle Punkte, da das Supremum eine obere Schranke ist. Insbesondere in <math>0</math>. Damit konvergiert
die Folge der Auswertungen in <math>0</math> gegen <math>0</math>. Es folgt die Stetigkeit des Funktionals <math>\delta</math>.

Zum zweiten Teil: Zeige (sofern noch nicht passiert) mit Hilfe der Abschätung aus dem Lemma, dass alle Schwartzfunktionen in <math>L^2(\IR)</math> liegen. Wenn du das geschaffst hast, sehen wir weiter.

Viele Grüße
Torsten



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Sito
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-10 17:36


Danke für die Ausführungen zur glm. Konvergenz!

2017-11-08 18:33 - piquer in Beitrag No. 9 schreibt:
Zum zweiten Teil: Zeige (sofern noch nicht passiert) mit Hilfe der Abschätung aus dem Lemma, dass alle Schwartzfunktionen in <math>L^2(\IR)</math> liegen.
Aus einem Lemme im Skript kennen wissen wir <math>|\partial^{\beta}\phi(x)|\le\frac{c_{\beta,k}}{(1+|x|^2)^k}</math> für entsprechende <math>k\in \mathbb{N}</math> und <math>\beta \in \mathbb{N}^n</math>.

Mit z.B. <math>k=[n/2]+1</math> ist die Ungleichung <math>\int_{\mathbb{R}^n}|\phi(x)|^p dx \le \int_{\mathbb{R}^n}\frac{c^p_{k,\beta}}{(1+|x|^2)^{kp}}dx < \infty</math> erfüllt und somit <math>\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)\subset L^p(\mathbb{R}^n)</math>.



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piquer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2017-11-14 19:14


Genau, das passt. Kannst du den Beweis so abändern, dass du zeigen kannst:

<math>\displaystyle \lVert \phi \rVert_{L^2(\IR)} \leq C \lVert \phi \rVert_{k,0}</math>

für alle <math>\phi \in \mathcal{S}(\IR)</math>, wobei <math>C, k</math> Konstanten sind.



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