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Schulmathematik » Stochastik und Kombinatorik » Unterschied: W-Verteilung, W-Funktion, Verteilungsfunktion
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Schule Unterschied: W-Verteilung, W-Funktion, Verteilungsfunktion
GalapagosInseln
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 10.02.2016
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-04 19:20


Hallo,

seit einer Weile habe ich in der Schule das Thema Stochastik und wie immer betreiben wir hauptsächlich Rechnerei und haben fast gar nichts definiert. Da ich es ausgesprochen langweilig finde, Werte in Formeln einzusetzen und auszurechnen, wollte ich mich mal damit beschäftigen, was ich da eigentlich tue.
Nun habe ich Fragen zu einigen Begriffen, weil in unserem Mathebuch auch keine wirklichen Definitionen, sondern nur Rechenbeispiele stehen, und ich deshalb Vorlesungsskipte angeschaut habe - da verstehe ich leider nicht alles.

1. Wo liegt der Unterschied zwischen Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsfunktion und Wahrscheinlichkeitsmaß?
Nach meinen bisherigen Recherchen ist das W-maß eine Abbildung von einer Sigma-Algebra (in der Schule immer die Potenzmenge) in das Intervall [0,1]. Eine W-funktion bildet die reellen Zahlen auf [0,1] ab. Irgendwo stand, dass W-maße oft durch eine W-funktion gegeben sind, aber wie kann das sein? Das W-maß nimmt doch Mengen als Argumente und die W-funktion reelle Zahlen? Oder ist es so, dass man für eine W-funktion eine Zufallsvariable definiert haben muss, die der Menge ja eine reelle Zahl zuordnen würde, und für das W-maß nicht? Und stimmt es, dass man für die Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsfunktion vorher ein W-maß braucht?

2. Ist der Ereignisraum ein Tupel aus Ergebnismenge und Sigma-Algebra, oder nur die Sigma-Algebra? Auf einer Seite stand, dass das Tupel so bezeichnet wird, auf einer anderen Seite stand das Gegenteil und dass Ereignisraum ein Synonym für Ereignismenge ist. Jetzt frage ich mich, wie sieht eine Menge aus, die ein Tupel ist?

Ich entschuldige mich schonmal für meine dummen Fragen und freue mich über jede Antwort.
Lg GalapagosInseln



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Gerhardus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-05 13:35


In meinem Stochastik-Artikel habe ich die für die Schule relevanten Begriffe erklärt (siehe dort die pdf-Datei Kap. 7 S. 11-12). Auf die verallgemeinerten Begriffe W.-Maß und Sigma-Algebra habe ich verzichtet, da sie in der Schule im allgemeinen nicht benötigt werden.
Beachte auf S. 12 bei (D7.3) den Begriff der Verteilungsfunktion.
Gruß, Gerhardus


-----------------
"Zu glauben, es gäbe nur eine Wahrheit, ist von allen Illusionen die Gefährlichste." (Paul Watzlawick)



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AnnaKath
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Aus: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-11-05 18:29


Huhu GalapagosInseln,

es ist sehr erfreulich zu lesen, dass Du nicht stumpf Werte in Formeln einsetzen möchtest. Sofern Du das ernst meinst, empfehle ich Dir auch gleich den unnötigen Ballast von Begriffsbildungen der Schule bei Seite zu lassen.

Ich versuche mal konkrete Antworten auf Deine Fragen zu geben und gleich die "richtigen" Begriffe zu motivieren.


Fangen wir mit Frage (2) an:

Der "Ereignisraum" deutet schon auf eine Schwäche der Begriffsbildung in der Schule an; es geht nicht darum, Zufallsexperimente durch feinziselierte Wahrscheinlichkeitsräume zu beschreiben, das Wesentliche der W-Theorie ist die Zufallsvariable, und das ist eine geeignete Abbildungen zwischen Mengen mit Zusatzstrukturen (also Tupeln).

So legt der Begriff "Eregebnisraum" eine Bedeutung nahe, die er m.E. gar nicht hat, nämlich alle möglichen Ausgänge eines Zufallsexperimentes zu beinhalten. Wieso halte ich das für falsch? Betrachten wie das klassische Beispiel, dass man zwei Würfel wirft und die Ergebisse addiert. Wenn dies ein "Experiment" ist, müsste der "Ergebnisraum" <math>\Omega_E = \{ 2,3, \ldots, 12 \}</math> lauten (was sich aber für die Modellierung bekanntlich als unpraktisch erweist, weil man dann nicht mit der berüchtigten Laplace- oder (diskreten) Gleichverteilung arbeiten kann. Weitaus geeigneter ist es, auf das bekannte Experiment des Werfens eines Würfels - mit dem "Ereignisraum" <math>\Omega_1 = \{ 1, \ldots, 6 \}</math> - zurückzugreifen und das zweimalige Werfen dann durch <math>\Omega_2 = \Omega_1 \times  \Omega_1 = \{ (a,b) : a,b \in \Omega_1 \}</math> zu modellieren. Das eigentliche Experiment ist dann die Zufallsvariable <math>X:\Omega_2 \rightarrow \mathbb{R}</math> mit <math>X(\omega_1, \omega_2)=\omega_1+\omega_2</math>.

Vermeiden wir also diesen Begriff.

Ein Paar <math>(\Omega, \mathcal{A})</math> nennen wir messbaren Raum, ein Tripel <math>(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})</math> Wahrscheinlichkeitsraum, sofern <math>\mathcal{A}</math> eine <math>\sigma</math>-Algebra über der (nichtleeren) Menge <math>\Omega</math> ist und <math>\mathbb{P}:\mathcal{A} \rightarrow [0,1]</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Die Elemente von <math>\mathcal{A}</math> nennt man Ereignisse. Sofern für alle <math>\omega \in \Omega</math> gilt, dass <math>\{ \omega \} \in \mathcal{A}</math> nennt man Ereignisse dieser Gestalt gelegentlich Elementarereignisse (und in der Schule vielleicht "Ergebisse des Zufallsexperiments").

Wahrscheinlichkeiten kann man jedenfalls nur Ereignissen zuordnen, nicht den "Ergebissen" des Experiments! (Warum das so ist, ist auch einmal interessant zu ergründen).

Am Rande: Eine Abbildung <math>X:\Omega_1 \rightarrow \Omega_2</math> nennt man Zufallsvariable, wenn <math>(\Omega_1, \mathcal{A}_1, \mathbb{P})</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum ist, <math>(\Omega_2, \mathcal{A}_2)</math> ein messbarer Raum ist und <math>X^{-1}(A_2) \in \mathcal{A}_1</math> für alle <math>A_2 \in \mathcal{A}_2</math> gilt.


Nun zur Frage (1):

Ein Wahrscheinlichkeitsmaß, dessen Definition Du ja sicher bereits bei Wikipedia nachgeschlagen hast, ist m.E.n. der grundlegende Begriff.

Hast Du eine Zufallsvariable <math>X</math> (wie oben in der Anmerkung), dann heisst das Bildmaß <math>\mathbb{P} \circ X^{-1}</math> in der W-Theorie auch Verteilung (von <math>X</math>). Die Verteilung ist also wiederum ein Wahrscheinlichkeitsmaß (und macht den Bildraum von $X$ damit selber zu einem W'raum).

Ist die Bildmenge von <math>X</math> der messbare Raum <math>(\mathbb{R}, \mathcal{A}_2)</math> (typischerweise ist die <math>\sigma</math>-Algebra die sog. Borel'sche <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}</math>, das führt aber nun zu weit), so kann man (unter gewissen Bedingungen an die "Ereignismenge", also die Sigma-Algebra) deren Verteilung durch die Verteilungsfunktion <math>F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math> mit <math>F(x)=\mathbb{P}[X \le x]=\mathbb{P}((-\infty,x])</math> beschreiben.
Was heisst beschreiben? Jedes Maß induziert eine solche Verteilungsfunktion.Das Spannende jedoch ist, dass jede Funktion <math>G</math>, die die Eigenschaften einer Verteilungsfunktion (rechtstetig, monoton wachsend, <math>\mathrm{lim}_{x\rightarrow -\infty} G(x)=0</math> sowie <math>\mathrm{lim}_{x\rightarrow \infty} G(x)=1</math>) besitzt umgekehrt genau einem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>\mathbb{Q}</math> auf <math>(\mathbb{R},\mathcal{B})</math> entspricht, welches durch <math>\mathbb{Q}((a,b])=G(b)-G(a)</math> bereits eindeutig festgelegt ist.

Was ist nun eine Wahrschinlichkeitsfunktion?
Nun, dies ist eine (für diskrete Zufallsvariablen) spezielle Bezeichnung eines allgemeineren Konzepts, dass man Radon-Nikodym-Ableitung oder schlicht Dichte nennt. Dies ist eine Abbildung <math>f</math>, die zwischen zwei (in gewisser Weise kompatiblen) Maßen <math>\mu_1</math> und <math>\mu_2</math> eine Beziehung der Form <math>\mu_1 = \int f \, d\mu_2</math> besteht. Im Falle einer reellen Zufallsvariablen mit Verteilungsfunktion <math>F</math> ist (sofern existent) die Ableitung <math>F'</math> etwa eine Dichte bezüglich des Lebesgue-Maßes (eine Verallgemeinerung der Länge eines Intervalls). In genau diesem Sinne nennt man eine Dichte bezüglich eines Zählmaßes (d.i. die Abbildung, die jeder Menge die Anzahl der Elemente zuordnet, ggf. auch <math>\infty</math>) Wahrscheinleihkeitsfunktion.

Das ist nun sehr abstrakt gewesen, deshalb noch einmal einfach und anschaulich: Für einen diskreten W'raum (also mit abzählbarer Grundmenge) ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion <math>p</math> gerade eine Abbildung, die jedem Elementarereignis <math>\{\omega\}</math> (oder auch jedem Ergebis <math>\omega</math>, hier gibt es verschiedene Varianten) eine Wahrscheinlichkeit zuordnet (und <math>\sum_{\omega \in \Omega} p(\{\omega\}) = 1</math> erfüllt). Diese legt das Wahrscheilichkeitsmaß <math>\mathbb{P}</math> auf <math>\Omega</math> durch <math>\mathbb{P}(A) = \sum_{\omega \in A} p(\{\omega\})</math> eindeutig fest.

In der Hoffnung, etwas Neugier geweckt zu haben
AK.



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-11-06 16:56


2017-11-04 19:20 - GalapagosInseln im Themenstart schreibt:
Nach meinen bisherigen Recherchen ist das W-maß eine Abbildung von einer Sigma-Algebra (in der Schule immer die Potenzmenge) in das Intervall [0,1].
In der Schule werden gelegentlich auch Wahrscheinlichkeitsräume mit anderen Sigma-Algebren behandelt. Unter dem Stichwort "geometrische Wahrscheinlichkeit" werden z.B. Teilstücken des Intervals [0,1] ihre "Gesamtlänge" als Wahrscheinlichkeit zugeordnet (analog funktioniert das auch in anderen Dimensionen, also z.B. Teilen des Einheitsquadraten wird ihre Fläche als W-Maß zugeordnet.)
Eine mit diesem Ansatz vereinbare Sigma-Algebra besteht aber gerade nicht aus der Potenzmenge von [0,1]. Mit anderen Worten, man kann gerade nicht allen Teilmengen von [0,1] eine sinnvolle "Gesamtlänge" zuordnen.
Das übersteigt das Niveau des Schulunterrichts aber soweit, dass man in der Regel stillschweigend darauf verzichtet zu thematisieren, dass man ein Wahrscheinlichkeitsmaß, dass jedem Intervall seine Länge zuordnet eben nicht auf alle Teilmengen von [0,1] verallgemeinern kann.
Man verlässt sich einfach darauf, dass eine solche "nicht-messbare Menge" im Alltag nie auftauchen wird. [Tatsächlich ist es gar nicht so einfach, eine solche Menge anzugeben.]



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GalapagosInseln
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-10 16:37


Dankeschön für eure Antworten, sie haben eindeutig schonmal Licht ins Dunkel gebracht!
 
AnnaKath, herzlichen Dank dass du so ausführlich geantwortet hast! Natürlich meine ich es ernst, sonst würde ich ja nicht fragen. Puh, das sind einige neue Begriffe, die ich mir erstmal durch den Kopf gehen lassen muss. Sobald ich das soweit verstanden habe, dass mir weitere sinnvolle Fragen einfallen, werde ich vielleicht nochmal etwas fragen, aber erstmal muss ich mich mehr damit beschäftigen.

Kitaktus, stimmt, heute bin ich im Mathebuch tatsächlich auf eine stetige Zufallsgröße gestoßen und zwar am Beispiel "Messung von Körpergrößen". Ich habe aber nicht verstanden, warum Körpergrößen jede reelle Zahl sein können, da man doch mit einem Maßstab höchstens auf einen Millimeter genau messen kann...



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-11-13 10:38


Eine Quantisierung durch das Messverfahren gibt es ja praktisch bei allen realen Größen.
Gerade am Anfang der Beschäftigung mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen erscheinen diskrete Verteilungen wesentlich pflegeleichter, da man hier fast alle Fragen auf die Summation von Wahrscheinlichkeiten u.ä.  zurückführen kann.
Bei stetigen Verteilungen benötigt man dagegen Integrale statt der Summen und insbesondere in der Schule ist das für viele eine sehr hohe Verständnishürde.
Stetige Verteilungen haben aber viele vorteilhafte Eigenschaften, so dass man sogar eher dazu neigt, diskrete Verteilungen (z.B. die Anzahl der Tiere einer bestimmten Art in einem bestimmten Gebiet) durch stetige Verteilungen anzunähern.
Wenn man z.B. die Verteilung der Körpergrößen in einer diskreten Verteilung angeben möchte, hätte man kaum eine andere Möglichkeit, als für jeden Wert von 0cm bis 300cm eine konkrete Wahrscheinlichkeit anzugeben. Dagegen reichen oft zwei oder drei Parameter, um eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung hinreichend gut zu beschreiben.
Auf stetige Funktionen kann man auch Methoden der Analysis besser anwenden.

Zu guter Letzt möchte ich noch auf den "Zentralen Grenzwertsatz" verweisen, der zeigt, dass der (ebenfalls stetigen) Normalverteilung eine besondere Rolle zukommt.



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