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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Abbildung der Komplementärmenge einer Teilmenge
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Universität/Hochschule Abbildung der Komplementärmenge einer Teilmenge
monkeyhead
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-05 21:40


Hallo Leute,

ich fang mal gleich mit der Problemstellung an und schreib dann, was ich mir bisher schon überlegt habe.

Es sei <math>$f:A \mapsto{B}$</math> eine Funktion und <math>$A_1\subseteq A$</math>. Zeigen Sie, dass die Mengen <math>$f(A_1^c)$</math> und <math>$f(A_1)^c$</math> (wobei <math>$c$</math> das Komplement bezeichnet) bezüglich <math>$\subseteq$</math> im Allgmeinen nicht vergleichbar sind. Was kann man für injektive bzw. surjektive Funktionen aussagen?

Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich dieses Problem angehen soll. Eigentlich sollte es reichen, ein Beispiel zu geben, in dem  <math>$f(A_1^c)\nsubseteq f(A_1)^c</math> und <math>$f(A_1)^c\nsubseteq f(A_1^c)</math> gilt.

Mein Beispiel:
<math>$f:A\mapsto{B}$</math>
<math>$f(1)=k$</math>
<math>$f(2)=k$</math>
<math>$f(3)=l$</math>
<math>$A=\{1,2,3\},A_1=\{1\},B=\{k,l,m\}$</math>

Generell gilt ja, <math>$f(A_1^c)$</math> ist nichts anderes als <math>$f(A\setminus A_1)$</math>.
Und <math>$f(A_1)^c$</math> ist <math>$B\setminus f(A_1)$</math>.
<math>$A\setminus A_1=\{2,3\} \implies f(A\setminus A_1)=f(A_1^c)=\{k,l\}$</math>
<math>$f(A_1)^c=B\setminus f(A_1)=\{l,m\}</math>
Man sieht also, dass beide Mengen nicht Teilmenge der anderen sind, also <math>$f(A_1^c)\nsubseteq f(A_1)^c</math> und <math>$f(A_1)^c\nsubseteq f(A_1^c)</math> gilt.

Natürlich wäre ein formalistischer Beweis schöner. Gibt es eine Möglichkeit, das zu machen? z.B. mit einem indirekten Beweis, also einmal angenommen <math>$f(A_1^c)\subseteq f(A_1)^c$</math> und das andere Mal <math>$f(A_1)^c\subseteq f(A_1^c)</math>? Ich nehme aber fast an, dass es schwer ist dabei auf einen leicht nachvollziebaren Widerspruch zu gelangen. Vielleicht kann mir da jemand ja helfen.

Zum zweiten Teil bezüglich Injektivität und Surjektivität hab ich auch einen Ansatz. Bin mir aber nicht sicher, ob das schon genügt.

Ad Injektivität: Wenn f injektiv ist, gilt ja <math>a_1,a_2\in A: a_1\neq a_2 \implies f(a_1) \neq f(a_2)</math>. Daraus folgt ja, dass <math>$f(A \setminus A_1)=f(A)\setminus f(A_1)$</math> (1). Aus (1) und der Tatsache, dass <math>$f(A)\subseteq B$</math> ist, folgt, dass <math>$f(A)\setminus f(A_1)\subseteq B\setminus f(A_1)</math> gilt. Zurückumgeformt gilt also <math>$f(A)\setminus f(A_1)=f(A\setminus A_1)=\mathbf{f(A_1^c)\subseteq f(A_1)^c}=B\setminus f(A_1)$</math>

Ad Surjektivität: Ist f surjektiv, dann gilt <math>B=f(A)</math>. Also gilt <math>$B\setminus f(A_1)=f(A)\setminus f(A_1)</math>. Wir haben in einem früheren Beispiel im Unterricht jedoch schon gezeigt, dass für <math>$g:X\mapsto Y</math> gilt <math>$g(X)\setminus g(Y)\subseteq g(X\setminus Y)$</math>. Angewandt auf das jetzige Beispiel bedeutet das: <math>$f(A)\setminus f(A_1)\subseteq f(A\setminus A_1)$</math> oder <math>$\mathbf{f(A_1)^c\subseteq f(A_1^c)}$</math>.

Die damalige Logik für das Beispiel für <math>$g:X\mapsto Y</math> mit <math>$g(X)\setminus g(Y)\subseteq g(X\setminus Y)$</math> war:
<math>$y\in g(X)\setminus f(Y) \implies \exists x \in X: y=g(x) \land \forall z\in Y: y\neq f(z) \implies x\in A\setminus B \implies y \in f(A\setminus B)$</math>.

Leider kann ich den vorletzten Schritt nicht ganz nachvollziehen, also dass aus  dass aus <math>$\exists x \in X: y=g(x)$</math> und <math> $\forall z\in Y: y\neq f(z)$</math> folgt, dass <math>$x\in A\setminus B$</math>. Vielleicht kann mir das jemand noch kurz erklären?

Ich hoffe, das Ganze ist nicht zu unübersichtlich und noch nachvollziehbar. Ich habe noch etwas Probleme mit der Notation in der Mathematik. Darum ist mein Hauptanliegen, ob meine hier dargestellte Argumentation schon als Beweis gilt, oder fehlen da noch wesentliche Schritte, die ich nicht gezeigt habe, oder stimmt gar etwas Fundamentales nicht.
Ich bin jedenfalls jedenfalls jedem dankbar, der sich die Mühe gemacht hat, mein Geschreibsel nachzuvollziehen. Bin für jedes Feedback dankbar :D

lg
monkeyhead



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helmetzer
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Aus: Helmbrechts, Franken
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-05 22:52


Moin, betrachte <math>A = B = \{1, 2\}, f(x) = 1</math> .
Dann gilt für <math>A_1 \neq \emptyset, A_1 \neq A : f(A_1) = \{1\}</math>. also
<math>f(A_1)^c = \{2\}</math>, aber <math>f(A_1^c) = \{1\}</math> .

Versuche also immer ein möglichst einfaches Gegenbeispiel zu finden!

Beim Rest ist das Ergebnis richtig. Den Beweis, so wie er da steht, nachzuvollziehen, war ich zu faul. Es könnte sein, dass es demjenigen, der es bewertet, genauso geht; und das könnte zu Punktabzug führen.














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monkeyhead
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-07 20:47


Dein Gegenbeispiel ist sogar noch simpler als meins. :D Denke die restliche Argumentation geht schon irgendwie in Ordnung.
Danke dir jedenfalls :)



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