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Analysis » Folgen und Reihen » Häufungspunkte
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Universität/Hochschule J Häufungspunkte
janalp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-07 06:46


Hallo zusammen,

um die Existenz einer Folge zu zeigen, die genau <math>\mathds{N}</math> als Menge ihrer Häufungspunkte hat, muss man eine alternierende Folge definieren und dann zeigen, dass alle <math>n\in \mathds{N}</math> die Häufungspunkte sind?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-07 07:15


Hallo janalp,

finde eine Folge, die jede natürliche Zahl unendlich oft annimmt.

Wie könnte so eine aussehen? Sie kann auf jeden Fall nicht monoton sein (warum?). Mit alternierend meinst du bestimmt das richtige.



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jessedo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-11-07 09:58


Es gibt eine ganz bekannte Funktion, die jede Zahl als Häufungspunkt annimmt. Die solltest du eigentlich kennen.

2017-11-07 06:46 - janalp im Themenstart schreibt:
um die Existenz einer Folge zu zeigen, die genau <math>\mathds{N}</math> als Menge ihrer Häufungspunkte hat

Bist du sicher, dass die Aufgabenstellung "genau" enthält? Wenn nämlich "genau" <math>\mathds{N}</math> angenommen werden soll, heißt dies dass keine andere Zahl als Häufungspunkt existieren darf. Falls dies der Fall ist kann man auf keine gewöhnliche Funktion zurückgreifen, sondern muss sich eine künstlich zusammenstellen.



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janalp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-07 13:44


Hallo,

ja die Aufgabe steht genau wie ich sie eingetippt habe.

Kann man die Ganze-Größte-Funktion benutzen? Ich denke das könnte funktionieren für alle n aus <math>\mathds{N}</math>. Ansonsten habe ich versucht mit (-1)^n zu spielen aber habe ich leider nichts gutes gefunden.

Was denkt ihr?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-11-07 14:55


Genau alle natuerlichen Zahlen ist super. Wie koennte eine Folge aussehen, die genau alle natuerlichen Zahlen von 1 bis 10 als Haeufungspunkte hat?



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jessedo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-11-07 15:02


Also bei der Funktion, die ich oben angesprochen habe, handelt es sich um die Tangens-Funktion. Diese nimmt jedes x aus <math>\mathds{R}</math> als HP an. Wenn es aber tatsächlich nur Häufungspunkte aus <math>\mathds{N}</math> geben darf muss man diese noch modifizieren.
Um negative HP auszuschließen kann man da den Betrag von tan nehmen.
Damit nun nur noch natürliche Zahlen vorkommen kann man den abgerundeten Wert nehmen.
Also: fed-Code einblenden

Du musst das jetzt aber noch nachvollziehen und zeigen, dass damit tatsächlich die gewünschten Eigenschaften gegeben sind. Und dies ist selbstverständlich nur eine Funktion die dies bewerkstelligt.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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janalp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-07 15:57


Leider sind Trigonometrische Funktionen noch nicht bei uns eingeführt. In meinem letzen Beitrag wollte ich fragen, ob diese Folge funktionieren könnte:


fed-Code einblenden

1. Da die natürlichen Zahl unendlichen sind (Archimedeisches Prinzip), sind alle n in der Folge <math>s_n</math>.
2. Eine Folge besitzt einen Häufungspunkt, wenn jede Teilfolge beschränkt ist. Ich habe versucht eine allgemeine Teilfolge zu versuchen...vielleicht kennt ihr einen Trick?

Z.B.  <math>T_1:=\{1,2,3\}
\ T_2:=\{4,5,6,7,8\}
\ T_3:=\{9,10,11,12,13,14,15\} </math> uzw.

Ich habe das versucht so aufzuschreiben:
T_1:=\{1,2,3\}
T_n:=\{n: n\le (k+)^2; k \in \mathbb{N}\} und ähnliche Wege so aber keine haben gepasst. Vielleicht gibt es einen einfacheren Weg solche eine Teilfolge von s_n zu definieren? Oder vielleicht fed-Code einblenden fed-Code einblenden



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-11-07 16:15


Die von dir beschriebene Folge ist monoton, wenn auch nicht streng monoton. Sie kann deshalb die Anforderungen nicht erfüllen. Taste dich langsam ran. Wie sieht eine Folge aus, die genau 10 Häufungspunkte hat?



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jessedo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2017-11-07 16:27


Holla die Waldfee, da hab ich doch tatsächlich übersehen, dass es um Folgen und nicht um Funktionen geht... Ich bitte um Entschuldigung.

fed-Code einblenden

Wie würde diese Folge aussehen?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]



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janalp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-07 18:08


2017-11-07 16:15 - ochen in Beitrag No. 7 schreibt:
Die von dir beschriebene Folge ist monoton, wenn auch nicht streng monoton. Sie kann deshalb die Anforderungen nicht erfüllen. Taste dich langsam ran. Wie sieht eine Folge aus, die genau 10 Häufungspunkte hat?

Wieso muss die Folge streng monoton sein?

Die genau 10 HP kann ich nicht darauf kommen. (-1)^n hat zwei...kannst du mir bitte einen Hinweis geben?



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2017-11-07 18:12


Hallo,
gib eine Folge an, die 1 und 2 als HP hat. Dann kannst Du es auch mit 10


-----------------
Primzahlen sind auch nur Zahlen



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janalp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-07 18:33


<math>s_n:= (-1)^n +3</math> hat 1 und 2 als HP. Kann ich mehr (-1)^n addieren und kommt mehrere  Häufungspunkte?



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2017-11-07 18:39


machs Dir doch einfacher:
a(2n)=1
a(2n+1)=2

Hilft Dir das für das allgemeinere Problem weiter?



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janalp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-07 19:04


Ne nicht wirklich :/. Ist das eine folge: wenn n gerade sind, ist der HP 1 und ungerade 2? Soll ich für jede natürliche Zahl eine Option sowas schreiben?



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2017-11-07 19:36


Genauso gehts. Du mußt Dir nur etwas einfallen lassen, daß jede natürliche Zahl unendlich oft erreicht wird. So einfach durchzählen und dann erst wieder von vorn anfangen geht natürlich nur bei endlichen Mengen.
Aber es gibt enen Trick, wie man das Verfahren von den 2 HP auf alle natürlichen Zahlen hintrimmen kann.
Bischen knobeln...



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janalp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-07 21:48


Boa. Ich bräuchte einen weiteren Tipp...Ich habe solch eine Aufgabe nie gesehen und kann nicht wirklich nachvollziehen wie ich das machen kann. :/



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2017-11-07 23:21


1,1,2,1,2,3,...



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janalp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-08 01:13


Ok dann müssen wir eine rekursive Folge definieren.

<math>s_0 := 1 \\
s_1 := 1 \\
s_n := s_{n-1} + s_{n-2} </math>



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2017-11-08 09:55


Hi nochmal,

diese ist monoton. Das darf nicht sein. Wauzi hat dir doch sogar eine aufgeschrieben, die klappt.



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janalp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-08 19:27


Ach ja. Ich habe gerade gemerkt, dass ich nicht brauche eine Folge zu konstruieren sondern nur die Existenz zu zeigen. Meine Frage ist jetzt:  kann ich die Folge, die Wauzi gegeben hat, so wie sie steht benutzen und dann zeigen dass das eine Folge mit den Eigenschaften oder muss ich die Folge formell aufschreiben und dann zeigen?



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2017-11-08 20:17


Etwas ausführlicher mußt Du die Folge schon angeben, damit die Konstruktion klar ersichtlich wird



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janalp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-09 00:45


Ich habe mehrmals versucht diese Folge formell aufzuschreiben aber leider klappt das nicht.



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2017-11-09 09:45


Schreibe explizit soviele Glieder hin, daß jeder das Bildungsgesetz erkennt



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jessedo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2017-11-09 15:53


fed-Code einblenden

Schau dir einfach mal diese Folge an.



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janalp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-10 14:15


Ich danke Euch. Ich habe es verstanden.



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