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Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Energieerhaltung eines freien Teilchens
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Universität/Hochschule Energieerhaltung eines freien Teilchens
madden994
Neu Letzter Besuch: im letzten Monat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-08 17:56


Hallo,

ich soll für ein freies Teilchen zeigen, dass die Energie erhalten bleibt.

Dazu soll die lokale Energiedichte
<math>\epsilon (\vec{r} ,t)= \psi\ast(\vec{r} ,t) \hat H \psi (\vec{r} ,t)</math>
betrachtet werden und für sie eine Bilanzgleichung der Form
 <math>\frac{\partial \epsilon }{\partial t} + div\vec{j} =0 </math>
abgeleitet und ein Ausdruck gefunden werden. Für die Energieerhaltung soll man die Gesamtenergie, d.h. das Integral von über den ganzen Raum untersuchen.

Jetzt hab ich folgende Fragen:
Warum kann ich nicht gleich über die Energiedichte integrieren und er halte damit ja den Erwartungswert der Energie. Wenn dieser Zeitunabhängig ist, ist doch die Energie konstant?
Und ich bin mir nicht sicher, was ich für eine Wellenfunktion einsetzen soll, da in der Vorlesung diese nur im k-Raum hergeleitet wurde und als Beispiel mit einer Gaussfunktion gerechnet wurde.

Danke  wink



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Spock
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Mitteilungen: 7772
Aus: Schi'Kahr/Vulkan
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-10 13:27


Hallo,

und herzlich Willkommen im Physikforum von Matroids Planet!

2017-11-08 17:56 - madden994 im Themenstart schreibt:
...
Warum kann ich nicht gleich über die Energiedichte integrieren und er halte damit ja den Erwartungswert der Energie. Wenn dieser Zeitunabhängig ist, ist doch die Energie konstant?
...

Das kannst Du im Prinzip so machen, aber ich vermute mal, die Aufgabe besteht aus mehreren Teilen, weshalb es sinnvoll wäre, wenn Du zunächst den Originaltext der Aufgabenstellung aufschreiben würdest.

Gruß
Juergen



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madden994
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Mitteilungen: 2
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-10 14:30


Zeigen Sie, dass die Schrödingergleichung für ein freies Teilchen die Energie erhält. Dazu betrachte man die lokale Energiedichte <math>\epsilon (\vec{r} ,t)= \psi\ast(\vec{r} ,t) \hat H \psi (\vec{r} ,t)</math> und leite für sie eine Bilanzgleichung der Form
<math>\frac{\partial \epsilon }{\partial t} + div\vec{j} =0 </math>
ab und finde einen Ausdruck für die Energiestromdichte. Für die Energieerhaltung untersuche man die Gesamtenergie, d.h. das Integral von ε über den ganzen Raum.

Also das wäre die offizielle Aufgabenstellung :D

Mir ist ja klar, dass das Betragsquadrat der Wellenfunktion ja quasi zerfließt im Raum und dementsprechend die Energie (Krümmung) und somit auch ein Energiestrom entsteht, bloss weiß ich nicht wie anfangen soll zu rechnen.

LG



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dromedar
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Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 4557
Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-11-11 05:58


2017-11-10 14:30 - madden994 in Beitrag No. 2 schreibt:
[...] bloss weiß ich nicht wie anfangen soll zu rechnen.

Nimm die Energiedichte

    <math>\displaystyle \epsilon({\bf r},t)=
\overline{\psi({\bf r},t)}\,H\,\psi({\bf r},t)=
-{\hbar^2\over2m}\;
\overline{\psi({\bf r},t)}\,\Delta\,\psi({\bf r},t)</math>  ,

berechne deren Zeitableitung, indem Du ausnutzt, dass <math>\psi({\bf r},t)</math> die Schrödingergleichung löst, und klammere dann eine Ortsableitung aus:

    <math>\displaystyle {\partial\over\partial t}\,\epsilon({\bf r},t)=
\sum_i{\partial\over\partial x_i}
\Bigl[\mkern8mu\cdots\mkern8mu\Bigr]</math>

Was in den eckigen Klammern steht, ist die <math>i</math>-te Komponente von <math>{\bf j}({\bf r},t)</math>.

Grüße,
dromedar



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