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Gewöhnliche DGL » DGLen 1. Ordnung » DGL aufstellen für einen See
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Autor
Universität/Hochschule J DGL aufstellen für einen See
Oggel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-09 16:53


Hi Leute,

leider komme ich bei der Aufgabe überhaupt nicht weiter:



Also ich habe erstmal versucht mit Aufgabe 1 anzufangen:

<math>1,296 * 10^7 \frac{m^3}{a} = 1,296 * 10^{10} \frac{L}{a}</math>

Dann habe ich folgendes gerechnet:
<math>1,296 * 10^{10}\frac{L}{a} * 0,5 \frac{\mu g}{a} = 6,48 * 10^9 \frac{\mu g}{a} = 6,48 \frac{kg}{a}</math>

Jetzt weiß ich, dass 6,48 kg Triclosan im Jahr abfließen, aber kann ich damit begründen, ob die Substanz im See abgebaut wird?

Zu Aufgabe 2a habe ich folgendes versucht:
<math>\frac{dC}{dt} = 100 kg - 1,296 * 10^7 \frac{m^3}{a} *C(t) - k * C(t)</math> wobei k die Abbaurate sein soll. Und C(t) ist ja eigentlich die Konzentration also Masse/Volumen. Müsste ich hier einfach die Werte aus der Aufgabenstellung einsetzen? Ich weiß nicht wirklich weiter  confused

Ich hoffe ihr könnt mir helfen smile

Danke schonmal!

Edit:
Habe noch einmal über Aufgabe 2 nachgedacht. Man könnte doch erst eine DGL für die Masse aufstellen und diese dann auf beiden Seiten durch das konstante Volumen des Sees teilen wodurch man dann die DGL für die Konzentration hat oder? Die DGL für die Masse der Substanz wäre doch folgendermaßen:
<math>\frac{dm}{dt} = 100 \frac{kg}{a} - 1,296 * 10^7 \frac{m^3}{a} *\frac{m(t)}{32,4 * 10^6 m^3} - k * m(t)</math>
Bin ich auf dem richtigen Weg?  confused



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DrStupid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-09 18:56


Versuch' nicht mit Werten drauf los zu rechnen, sondern schreib erst einmal die Differentialgleichung auf (mit Variablen!). Dazu musst Du überlegen, welche Prozesse wie zur Konzentrationsänderung beitragen und dann alles addieren. Du solltest erst mit den eigentlichen Fragen beginnen wenn das erledigt ist.



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Oggel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-09 19:05


Alles klar.

Also ich habe mir überlegt zunächst einmal eine DGL für die Masse der Substanz zu bestimmen:
<math>\frac{dm}{dt} = I - Q * m(t) - k * m(t)</math>

I = konstanter Input: <math>100 \frac{kg}{a}</math>

Q = Durchfluss: <math>1,296 * 10^7 m^3</math>

k = unbekannte Abbaurate

Und im nächsten Schritt beide Seiten der Gleichung durch das konstante Volumen des Sees zu teilen, um die DGL für die Konzentration zu erhalten. Wäre das so erstmal richtig?



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DrStupid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-11-09 19:12


Ja, das sieht sehr gut aus.

Edit: Du solltest später noch die Reaktionsordnung des Abbauprozesses dazu schreiben. Der Prozess erster Ordnung ist ja nur eine mögliche Option.



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Oggel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-09 19:22


Okay dann habe ich schließlich die DGL (a) für die Konzentration:
<math>\frac{dC}{dt} = \frac{100kg}{32,4 * 10^6 a * m^3} - \frac{1,296 * 10^7}{32,4 * 10^6 a} * C(t) - k * C(t)</math>

Das habe ich noch ausgerechnet:
<math>\frac{dC}{dt} = 3,09 \frac{kg}{a * m^3} - 0,4 \frac{1}{a} * C(t) - k * C(t)</math>

und für die DGL(b) mit konstantem Verlust:
<math>\frac{dC}{dt} = 3,09 \frac{kg}{a * m^3} - 0,4 \frac{1}{a} * C(t) - k_0</math>

Wobei k_0 der konstante Verlust ist.

Das müsste soweit stimmen oder?

Wenn ich jetzt die Abbaurate berechnen möchte für die DGL(a), unter der Annahme, dass der See im Fließgleichgewicht ist, kann ich doch die Gleichung 0 setzen. Aber dann habe ich ja immer noch 2 Unbekannte nämlich die Rate k und die stationäre Konzentration C*. Dann wäre ja k von C* abhängig, das geht ja nicht oder?

Danke schonmal :)



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DrStupid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-11-09 19:49


Versuche so weit wie möglich mit Variablen zu rechnen und setze die Werte erst zu Schluss ein. So weit bist Du noch nicht. Momentan hast Du die Differentialgleichung

<math>\dot c = \frac{{I - Q \cdot c}}{V} - k \cdot c^n</math>

mit

k = 0 ohne Abbau,
n = 1 bei Abbau erster Ordnung oder
n = 0 bei Abbau nullter Ordnung.

Für die Beantwortung aller Fragen hast Du noch ein paar kleine Umformungen vor Dir. Die entscheidende Idee hattest Du ja schon: Im stationären Zustand ist die Konzentrationsänderung Null. Allerdings solltest Du Dir die Aufgabe noch einmal durchlesen. Ist die stationäre Konzentration wirklich unbekannt?



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Oggel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-09 20:29


Ich weiß leider nicht ganz worauf du hinaus willst sorry frown

Der einzige Wert der noch gegeben ist, ist ja <math>0,5 \frac{\mu g}{L}</math>. Dieser hat aber nicht wirklich viel damit zu tun oder?
Oder ist die stationäre Konzentration <math>\frac{100kg}{32,4 * 10^6}</math>  confused



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DrStupid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-11-09 20:38


2017-11-09 20:29 - Oggel in Beitrag No. 6 schreibt:
Der einzige Wert der noch gegeben ist, ist ja <math>0,5 \frac{\mu g}{L}</math>. Dieser hat aber nicht wirklich viel damit zu tun oder?

Erwartest Du, dass sich die Konzentration im Abfluss von der im See unterscheidet und wenn ja warum?



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Oggel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-09 20:43


Mhh nein eigentlich ist die Konzentration gleich oder? Es fließt ja was vom See in den Abfluss aber die Konzentration der Substanz bleibt ja gleich wenn ich das richtig verstehe.



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DrStupid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-11-09 20:51


Richtig, die Konzentration im Abluss ist natürlich gleich der Konzentration im See an der Abflussstelle und weil der See vollkommen durchmischt ist und sich im Fließgleichgewicht befindet ist das auch die stationäre Konzentration. Damit solltest Du alles zusammen haben was Du für die Beantwortung der Fragen brauchst.



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Oggel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-09 21:05


Dankeschön :)

Das einzige was noch offen ist, ist die erste Aufgabe. Ob die Substanz im See abgebaut wird. Da weiß ich nicht wie ich das beantworten soll. Könntest du mir dort noch einen Tipp geben? :)



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DrStupid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2017-11-09 21:42


Dafür gibt es in der Naturwissenschaft ein bewährtes Verfahren:

1. Hypothese aufstellen (z.B. dass die Substanz nicht abgebaut wird).

2. Aus der Hypothese experimentell überprüfbare Aussagen ableiten (z.B. über die zu erwartende Gleichgewichtskonzentration im Abfluss).

3. Die theoretischen Vorhersagen mit den experimentellen Beobachtungen vergleichen.

Wenn Vorhersagen und Beobachtungen unvereinbar sind, dann ist die Hypothese falsifiziert.



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Oggel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-09 21:47


Wenn man annehmen würde, dass die Substanz abgebaut wird, dann müsste doch folgende Gleichung gelten:
<math>\frac{100kg}{32,4 * 10^6 m^3} = 0,5 * \frac{\mu g}{L}</math> oder?



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sibelius84
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2017-11-09 22:14


Das sind doch nur Zahlen und Einheiten, und die Zahlenwerte stimmen offenbar nicht überein. Wie soll dann diese Gleichung gelten??



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Oggel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-09 22:17


Unabhängig, ob die Gleichung gilt war meine Frage nur ob die Gleichung für die oben genannte Aussage gelten müsste?



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DrStupid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2017-11-09 22:50


Es stimmen weder die Aussage noch die Werte.

Aus der Annahme dass die Substanz abgebaut wird, kannst Du ohne Kenntniss der zugehörigen Kinetik keine stationäre Konzentration ableiten. Das geht nur mit der Annahme, dass die Substanz nicht abgebaut wird.

Außerdem solltest Du die Gleichung erst einmal mit Variablen hinschreiben. Dann können wir sie leichter prüfen und Du machst weniger Fehler beim Einsetzen der Zahlen und Einheiten.



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Oggel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-09 22:58


Also unter der Annahme, dass die Substanz nicht abgebaut wird müsste doch die Konzentration im See gleich sein wie die Konzentration die hinzugefügt wurde oder?



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DrStupid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2017-11-09 23:34


Nein. Wenn es so wäre dann könntest Du die Aufgabe gar nicht lösen weil die zugefügte Konzentration nicht gegeben ist. Du weißt doch wie es geht: Nimm die Differentialgleichung für den Prozess ohne Abbau, setze sie Null und löse sie nach der Konzentration auf.



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Oggel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-10 11:24


Also wenn ich von folgender DGL ausgehe:
<math>\frac{dC}{dt} = \frac{I}{V}  - \frac{Q}{V} * C(t) - k</math>, diese Gleichung 0 setze und nach C(t) umforme:

<math>C* = \frac{I}{Q} - \frac{k * V}{Q}</math>

Wie kann ich damit die Frage beantworten? Sorry steh da irgendwie auf dem Schlauch.

Nur zum Verständis nochmal die Frage: k muss doch die Einheit <math>\frac{Masse}{Volumen * Zeit}</math> haben oder?



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DrStupid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2017-11-10 21:53


Wie groß ist k, wenn die Substanz nicht abgebaut wird?



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Oggel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-10 22:28


Ich habe  <math>2886,42 \frac{\mu g}{a * m^3}</math> ausgerechnet.

Oder meinst du im dem Fall, dass <math>k=0</math> ist?



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Oggel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-11 11:31


Glaube jetzt hab ichs :D

<math>k=0</math> Das heißt ich muss einfach die DGL 0 setzten nach C(t) auflösen, Werte einsetzen und gucken, ob das was am Ende raus kommt <math>0,5 \frac{\mu}{L}</math> entspricht oder? Denke mal, dass da eine größere Zahl rauskommen wird und damit kann man sagen, dass die Substanz im See abgebaut wird.

Seh ich das so richtig? :)



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DrStupid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2017-11-12 16:44


Ja, jetzt sieht es gut aus.



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Oggel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-12 16:51


Sehr schön :-)

Danke dir du hast mir sehr geholfen :)



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