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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Gruppen » Normalisator größte Untergruppe
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Universität/Hochschule Normalisator größte Untergruppe
Sarah160695
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 10.11.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-10 13:56


Hallo zusammen ich soll zeigen, dass der Normalisator N_G(H) die größte Untergruppe von G ist, sodass H Notmalteiler ist.
Hierbei ist H Untergruppe von G.

Ich weiß, dass es dazu schon Beiträge gibt, aber kann mir bitte jemand mal ganz kleinschritig erklären, was man da angeblich so trivial erkennen kann. Ich versteh das einfach nicht... :-(

Mein Ansatz:
Definition des Normalisators
g aus G für die gilt gHg(^-1) = H

wenn ich von rechts mit g verknüpfe:

gH = Hg, damit folgt schonmal das H Normalteiler des Normalisators ist, oder? :-?  Aber wie zeige ich, das der Normalisator die größte UG ist? :-?  :-?



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darkhelmet
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Dabei seit: 05.03.2007
Mitteilungen: 2108
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-10 14:17


Hi und herzlich willkommen!

2017-11-10 13:56 - Sarah160695 im Themenstart schreibt:
aber kann mir bitte jemand mal ganz kleinschritig erklären, was man da angeblich so trivial erkennen kann.

Es bringt nur was, wenn du das selbst machst. Am besten zunächst die Richtung, die dir schon halbwegs klar ist.

Ganz langsam Schritt für Schritt:

Zu zeigen ist: <math>H</math> ist Normalteiler von <math>N_G(H)</math>.

Was ist die Definition von "Normalteiler"? Schreibe diese exakt (!!!) auf.

Erster Teil wird sein: <math>H</math> ist eine Teilmenge von <math>N_G(H)</math>. Beweise das gründlich:

Sei <math>h\in H</math>. Wir wollen zeigen: <math>h\in N_G(H)</math>. Das heißt per Definition ...



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Sarah160695
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 10.11.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-10 16:37


Eine Untergruppe H von G heisst Normalteiler, falls gH=Hg für alle g in G.

Ja der Beweis...keine Ahnung.
Sei h aus H beliebig so gilt für alle f aus N_G (H), dass:   ghg(^-1) = H
Umgeformt:     gh=hg
Da h aus H beliebig gilt gH=Hg also ist H teilmenge N_G(H)



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Buri
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Dabei seit: 02.08.2003
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Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-11-10 17:17


Hi Sarah160695,
du musst die Behauptung in ihre Bestandteile auflösen und jeden davon einzeln beweisen.
Die einzelnen Schritte sind:
- NG(H) ist eine Untergruppe von G.
- Sie enthält H (siehe Beitrag #1).
- H ist Normalteiler von NG(H).
- Wenn L eine Untergruppe von G ist, die H enthält, und H ist Normalteiler von L, dann ist L eine Teilmenge (und sogar eine Untergruppe) von NG(H).
Führe diese Schritte im einzelnen durch und teile mit, an welchen Stellen du nicht weiterkommst. Natürlich nützt es nichts, wenn du sagst "ich kann die ganze Aufgabe nicht". Du musst schon ein wenig selbst tun.
Gruß Buri



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Sarah160695
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Dabei seit: 10.11.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-10 18:49


- NG(H) ist eine Untergruppe von G.
- Sie enthält H (siehe Beitrag #1).
- H ist Normalteiler von NG(H).
- Wenn L eine Untergruppe von G ist, die H enthält, und H ist Normalteiler von L, dann ist L eine Teilmenge (und sogar eine Untergruppe) von NG(H).

Danke für diese Aufteilung.

also zu 1.)Es ist klar aus der Definition das NG(H) Teilmenge G ist, denn es sind ja eben die g aus G Normalisator die erfüllen gHg(^-1)=H.
Um zu zeigen, dass diese Menge eine Gruppe ist, muss ich zeigen
i) das neutrale Element existiert.
ii) Für alle g existiert eine Inverses g^(-1)
iii) für 2 Elemente aus NG(H) gilt, dass ihr Produkt wieder in NG(H) liegt.
zu i und ii) gHg^(-1) = gg(^1)H = eH = H
zu iii) x,y seien aus NG(H)
Also gilt: xHx^(-1) = H = yHy^(-1)
Hier komm ich nicht weiter...
zu 2.) ich weiß es nicht...es tut mir leid...:(
zu 3.) das habe ich doch schon ganz oben gezeigt, oder?



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helmetzer
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Dabei seit: 14.10.2013
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Aus: Helmbrechts, Franken
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-11-10 18:56


Zu Punkt Untergruppe: Du schreibst die Untergruppenkriterien nicht richtig hin.

<math>U \subseteq G</math> ist Untergruppe wenn, ...

Dann kommt von dir "das neutrale Element existiert". Das ex. immer, aber wo?

Und verwende bitte fed oder Latex!



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Buri
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Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-11-10 19:07


Hi Sarah160695,
deine Ansätze sind nicht richtig.
Die Umformung gHg-1 = gg-1H ist nicht zulässig.
Zu i) nimmst du das neutrale Element e von G. Dann ist eH = H und He = H, daraus folgt eH = He und somit e ∈ NG(H).
Für alle g ∈ NG(H) ist eg = ge = g, also ist e nicht nur neutrales Element von G, sondern auch von NG(H).
Zu ii) betrachtest du ein g ∈ NG(H). Dann ist gH = Hg,
Wieder nimmst du in G das inverse Element g-1.
Nun musst du gH = Hg von links und von rechts mit g-1 multiplizieren, das ergibt Hg-1 = g-1H und somit g-1 ∈ NG(H). Nun musst du noch feststellen, dass g-1 auch in NG(H) das Inverse von g ist. Das ist offensichtlich, weil das in G gilt.
Schließlich muss noch iii) gezeigt werden.
Nimm dazu g, h ∈ NG(H) und betrachte ghH = gHh = Hgh, daraus folgt gh ∈ NG(H), was zu beweisen war.
Gruß Buri


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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Sarah160695
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-10 19:08


also zu 1.)

Es ist klar aus der Definition das NG(H) Teilmenge G ist, denn es sind ja eben die g aus G Normalisator die erfüllen
fed-Code einblenden
Um zu zeigen, dass diese Menge eine Gruppe ist, muss ich zeigen
i) das neutrale Element e existiert in NG(H).
ii) Für alle g aus NG(H) existiert eine Inverses fed-Code einblenden
iii) für 2 Elemente aus NG(H) gilt, dass ihr Produkt wieder in NG(H) liegt.
zu i und ii) fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
zu iii) x,y seien aus NG(H)
Also gilt: fed-Code einblenden
Hier komm ich nicht weiter...
zu 2.) ich weiß es nicht...es tut mir leid...:(
zu 3.) das habe ich doch schon ganz oben gezeigt, oder?



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2017-11-10 19:13


Hi Sarah160695,
es ist nicht nützlich, wenn du im Beitrag #7 deine fehlerhaften Überlegungen aus Beitrag #4 wiederholst, so kommst du nicht voran.
Gruß Buri



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Sarah160695
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-10 19:14


Hi Buri,

ich bin etwas verwirrt. ist NG(H) bei dir jetzt ein Normalteiler ? Denn wir hatten diese Notation immer für Normalisatoren verwendet und diese sich ja gHg(^-1) = H.

Nimm dazu g, h ∈ NG(H) und betrachte ghH = gHh = Hgh, daraus folgt gh ∈ NG(H), was zu beweisen war.

Also ghH = gHh, weil h Element NG(H)
= Hgh weil g element NG(H)

also gilt (gh)H = H(gh) also gh Element NG(H)

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2017-11-10 19:28


2017-11-10 19:14 - Sarah160695 in Beitrag No. 9 schreibt:
... ist NG(H) bei dir jetzt ein Normalteiler ?
Hi Sarah160695,
nein, das habe ich nicht gemeint.
Weil du meine Ausführungen (auch die in anderen Forumthemen, deiner privaten Mitteilung zufolge ) nicht verstehst, schlage ich vor, dass du die Beiträge anderer Mitglieder abwartest.
Gruß Buri



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Sarah160695
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-10 19:33



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