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Physik » Elektrodynamik » Kontinuitätsgleichung - Vertauschen von Integral und Ableitung
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Autor
Universität/Hochschule Kontinuitätsgleichung - Vertauschen von Integral und Ableitung
S1Wen
Neu Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 10.11.2017
Mitteilungen: 1
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-10 17:01


Hallo!
Gehe gerade meinen Uni-Stoff nochmal durch und bin dabei auf folgende Kontinuitätsgleichung für Ladungen gestoßen:

(<math>I</math> Stromstärke, <math>\vec{j}</math> Stromdichte, <math>\vec{A}</math> geschlossene Gaußsche Fläche, <math>Q</math> Ladungen im Volumen, <math>\rho_e_l</math> Ladungsdichte im Volumen, <math>V</math> Volumen, <math>\vec{r}</math> Raumpunkt, <math>t</math> Zeit)

<math>I=\oint_A \vec{j} d \vec{A} = -\frac{dQ}{dt}=-\frac{d}{dt}\int_V\rho_e_l dV </math>

mit Satz von Gauß:

<math>div\vec{j} ( \vec{r} , t) =\frac{\partial}{\partial t} \rho_e_l ( \vec{r},t)</math>


Dies bedeutet ja dann, dass gilt:

<math>-\frac{d}{dt}\int_V\rho_e_l dV = -\int_V\frac{d}{dt}\rho_e_l dV </math>

Hier meine Frage: Warm darf man das <math>-\frac{d}{dt}</math> einfach in das Integral ziehen? Ich habe das gegooglet, aber es kommen nur komplizierte Analysissätze heraus. Kann man es auch verständlich machen, ohne groß Beweise und Sätze auszupacken?



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
StefanVogel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 2860
Aus: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-11 06:58


Hallo S1Wen,
ganz ohne Voraussetzungen geht es nicht, deshalb doch ein Link zu Differenzierbarkeit von Parameterintegralen. Die Dichte muss bezüglich <math>\vec{r}</math> integrierbar sein für jedes feste <math>t</math>, dann nach <math>t</math> stetig differenzierbar für jedes feste <math>\vec{r}</math> und als drittes muss es eine integrierbare Funktion geben, die für alle Ableitungen eine obere Schranke ist. Das Vertauschen von Ableitung und Integration lässt sich auf Vertauschen von Grenzwertbildung und Integration zurückführen, wenn man die Definition der Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotient einsetzt.

Viele Grüße,
  Stefan

EDIT: ... und herzlich willkommen auf dem Matheplanet  smile  



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