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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Funktionentheorie » Integration » Integral berechnen
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Universität/Hochschule J Integral berechnen
Sito
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-10 17:23


Hallo zusammen.

Ich soll für <math>a,b\in\mathbb{C}</math> und <math>m,n\in\mathbb{Z}_{>0}</math> das Integral <math>\displaystyle\int_{|z|=r}\frac{dz}{(z-a)^n(z-b)^m}</math> in Abhängigkeit von <math>r</math> berechnen.

Meine Idee war es den Integralsatz von Cauchy anzuwenden, dafür müsste man nun aber <math>\frac{1}{(z-a)^n(z-b)^m}</math> zerlegen in zwei Brüche, falls <math>r</math> so gross sein sollte, dass <math>a</math> und <math>b</math> gleichzeitig in dem eingeschlossenen Gebiet liegen.

Also war mein Ansatz:
<math>\displaystyle\frac{1}{(z-a)^n(z-b)^m}=\frac{\sum\limits_{k=0}^{n-1}c_kz^k}{(z-a)^n}+\frac{\sum\limits_{k=0}^{m-1}d_kz^k}{(z-b)^m}=\frac{\sum\limits_{k=0}^{n-1}c_kz^k}{\sum\limits_{j=0}^n{n\choose j}z^{n-j}a^j}+\frac{\sum\limits_{k=0}^{m-1}d_kz^k}{\sum\limits_{j=0}^m{m\choose j}z^{m-j}b^j}\\=\frac{\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}c_kz^k\right)\left(\sum\limits_{j=0}^m{m\choose j}z^{m-j}b^j\right) +\left(\sum\limits_{k=0}^{m-1}d_kz^k\right)\left(\sum\limits_{j=0}^n{n\choose j}z^{n-j}a^j\right)}{(z-a)^n(z-b)^m} </math>

Daraus folt also <math>1=\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}c_kz^k\right)\left(\sum\limits_{j=0}^m{m\choose j}z^{m-j}b^j\right) +\left(\sum\limits_{k=0}^{m-1}d_kz^k\right)\left(\sum\limits_{j=0}^n{n\choose j}z^{n-j}a^j\right)</math>
Das Gleichungssystem kann man aber nicht lösen, bzw. schaffe ich es nicht...

Ausgehend davon war das wohl der falsche Ansatz. Wie müsste man hier vorgehen um zu einem sinnvollen Ergebnis zu kommen?

Gruss Sito



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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-10 23:53


Hi,

der Residuensatz sollte zum Ziel führen.



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Sito
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-11 00:14


Darf ich nicht verwenden, da noch nicht gehabt...



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darkhelmet
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Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-11-11 01:09


Dann beweis ihn halt schnell. smile

Ich denke, so geht es auch: Du kannst mit dem Integralsatz von Cauchy ("Homotopie-Version") den Kreis, ohne dass sich das Integral ändert zu einem Achter verformen, so dass <math>a</math> in der einen Schleife und <math>b</math> in der anderen Schleife des Achters ist. Das Integral ist dann die Summe von zwei Integralen, bei denen jeweils nur ein Element im Inneren liegt.



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