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Kombinatorik & Graphentheorie » Differenzengleichungen » Explizite Formel/explizite Lösung von Rekursionen
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Autor
Universität/Hochschule Explizite Formel/explizite Lösung von Rekursionen
SchokoEiS
Neu Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 10.11.2017
Mitteilungen: 2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-10 17:30


Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zu den jeweiligen Begrifflichkeiten, da ich so nicht genau weiß, was ich tun soll.

- Als erstes soll ich die explizite Formel für "an" bestimmen, wobei "a0=0" ist.
Angenommen es sei "an+1-an=n+1", was genau muss ich hier tun?

- Als zweites soll ich die explizite Lösung einer Rekursion berechnen, wobei a0=0 und a1=2 ist.
Angenommen es sei "an+2 +4an+1 +10an= 5n+1", was genau muss ich hier tun?
Mein Ansatz hier wäre, die spezielle Form von an zu bestimmen, also:
"an=pn+q" und dann für jedes "an" einsetzen, um dann die Lösung für "an" zu erhalten.

Leider komme ich mit den Begrifflichkeiten nicht so gut klar, ich hoffe, Ihr könnt mir helfen.
Vielen Dank schon einmal im Voraus.



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Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 738
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-10 19:49


Hallo SchokoEiS,

herzlich willkommen auf dem Planeten. Es geht also um <math>a_{n+1}-a_n=n+1</math>. Das könnten wir ja mal umstellen: <math>a_{n+1}=a_n+n+1</math>. Nun berechne dir doch mal ein paar Folgenglieder, also <math>a_1</math>, <math>a_2</math>, <math>a_3</math>,... . Fällt dir etwas auf?

Gruß,

Küstenkind



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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 44791
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-11-10 20:01


Hi SchokoEiS,
unter einer expliziten Darstellung einer Folge versteht man eine Gleichung der Form an = ..., wobei an Stelle der Pünktchen ein Term angegeben wird, der eine Funktion von n darstellt.
Eine Rekursion, wie zum Beispiel an+1 = an+n+1, ist nicht von dieser Form, sie ist also nicht explizit, wegen des an auf der rechten Seite.
Wenn die Rekursion a0=0, an+1 = an+1 lauten würde, dann wäre an = n die explizite Darstellung, dies wäre ein sehr einfaches Beispiel.
Gruß Buri



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SchokoEiS
Neu Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 10.11.2017
Mitteilungen: 2
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-10 20:50


Vielen Dank für die Antworten,
Also ist die explizite Formel immer in der Form "an".

Es stellt sich nun allerdings die Frage, was genau mit der expliziten Lösung einer Rekursion gemeint ist? Ist dies dann auch in Form von "an= ...."?
Ich berechne also bei beiden (explizite Formel und explizite Lösung) jeweils das "an=...."?

Gruß SchokoEiS



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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 44791
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-11-10 21:07


Hi SchokoEiS,
ja. Benutze die Forumsuche mit dem Suchbegriff "rekursiv explizit", um dich darüber zu informieren, wie man solche und ähnliche Aufgaben lösen kann.
Ein Stichwort ist auch "Differenzengleichungen", und bei der zweiten Aufgabe ist es nötig, die zu der vorliegenden Rekursion gehörige homogene Differenzengleichung zu betrachten und zu lösen.
Ohne einen gewissen Vorrat an mathematischen Werkzeugen, in diesem Fall über die Lösungseigenschaften von Differenzengleichungen, kann man solche Aufgaben nur in den einfachsten Fällen ohne weiteres lösen.
Gruß Buri



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
digerdiga
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.11.2006
Mitteilungen: 956
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-11-10 21:56


Bei der Gleichung

an+2 +4an+1 +10an= 5n+1
würde ich erstmal wie du schon vielleicht angedeutet hast

an=pn+q
<math>a_n = b_n  + pn +q</math>
substituieren, was dann auf
<math>p=1/3</math>
<math>q=-1/15</math>
führt. Den Rest hat Buri ja schon gesagt.



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