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Funktionenfolgen und -reihen » Fourierreihen » Fourierreihe einer Funktion und Wert einer Reihe bestimmen
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Universität/Hochschule J Fourierreihe einer Funktion und Wert einer Reihe bestimmen
Katha95
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-14 13:24


Hallo,

ich sitze gerade an dieser Aufgabe:

fed-Code einblenden

Also was mir dazu einfällt und was ich dem Skript entnehmen kann ist:
fed-Code einblenden

Stimmt das alles bis hierhin? Und wie soll ich das jetzt benutzen, um den Wert der Reihe zu bestimmen? Ich wäre über jeden Tipp sehr froh.



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shadowking
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-14 14:46


Hallo Katha95,

die Ergebnisse deiner Integration sind korrekt.

Um die Reihe auszuwerten, überlege dir, was mit den Summanden der Fourierreihe geschieht, wenn du auf beiden Seiten der Gleichung <math>x = 0</math> einsetzt (<math>\cos(2\pi\cdot k\cdot 0)</math> ist immer 1, für jedes <math>k\in\mathbb{N}</math>).

Das ist dann zwar ein bekanntes Ergebnis, aber nicht die gewünschte Reihe, aber mit ein wenig Bastelei (Bildung der Differenz) bekommt man das hin.

Gruß shadowking


-----------------
Niemand ist hoffnungsloser versklavt als der, der fälschlich glaubt frei zu sein.
- Johann Wolfgang von Goethe




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Katha95
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-14 15:03


Hallo,

vielen Dank für deine Antwort.

Also wenn ich x=0 auf beiden Seiten einsetze ergibt sich:

fed-Code einblenden



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shadowking
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-11-14 15:27


Am besten schreibst du die ersten paar Glieder der soeben bestimmten Reihe auf, direkt darunter die ersten Glieder der Reihe mit alternierendem Vorzeichen. Dann mache einen waagerechten Strich darunter und bilde, Summand für Summand, die Summe (das ist besser als die Differenz, weil das Vorzeichen des ersten Summanden in der fraglichen Reihe negativ ist). Das Ergebnis kannst du dann vereinfachen; es führt auf eine Gleichung der Form

<math>\displaystyle
S+Z=r\cdot S
</math>

Z ist darin der Wert der Reihe mit alternierendem Vorzeichen, r ein rationaler Faktor (den du bestimmen musst) und S hast du soeben bestimmt.



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-11-14 15:43


Imho sollte man in die Ausgangsgleichung lieber x=1/2 einsetzen.



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Katha95
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-14 15:55


Ich hoffe ich habe dich richtig verstanden:

fed-Code einblenden

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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shadowking
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-11-14 16:29


In der Gleichung ist r=1/2 richtig; wenn man das einsetzt, erhält man den korrekten Wert für die Reihe mit alternierendem Vorzeichen.

"Offiziell" ist der Wert der Reihe ja nicht bekannt (du weißt ihn nur, weil du die Lösung irgendwoher hast), aber man kann ihn, wenn man S kennt, auf diese Weise erhalten.

Der Tipp von weird führt aber rascher zum Ziel und ist hier vielleicht der bessere.



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Katha95
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-14 20:53


Gut, dann habe ich das wenigstens korrekt ausgerechnet. Danke auf jeden Fall für den Tipp, den Weg kannte ich noch nicht.

Ich habe den Wert mit Wolfram Alpha überprüft, bevor ich mit was falschem weiterrechne.
Mit x=1/2 war es tatsächlich einfacher, da hatte man das Problem mit dem - Zeichen nicht.



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Katha95
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-14 20:59


Ist es denn korrekt, wenn man das so aufschreibt:
fed-Code einblenden



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shadowking
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-11-15 03:11


Die Frage stellt sich eigentlich gar nicht, denn nach Einsetzen von <math>x=\frac{1}{2}</math> ergibt sich von selbst das alternierende Vorzeichen:

<math>\begin{aligned}
\cos(2\pi\cdot\frac{1}{2})\,&=\,\cos(\pi)=-1,\\
\cos(2\pi\cdot\frac{2}{2})\,&=\,\cos(2\pi)=1,\\
\cos(2\pi\cdot\frac{3}{2})\,&=\,\cos(3\pi)=-1,
\end{aligned}</math>
...

also zusammengefaßt <math>\cos(2\pi\cdot k\cdot \frac{1}{2})\,=\,(-1)^k</math>.



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2017-11-15 06:40


2017-11-14 20:59 - Katha95 in Beitrag No. 8 schreibt:
Also ist dieser Schritt von -1 zu (-1)^k in Ordnung?
fed-Code einblenden

Eigentlich fragst du da, ob die Gleichung

<math>(-1)^k=-1, \quad k=1,2,3,...</math>

richtig ist, und diese Frage ist dann doch etwas gar seltsam bzw. leicht selbst beantwortbar.  eek



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Katha95
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-15 10:05


Oh ich habe nicht bedacht, dass die Vorzeichen von cos(2*pi*k*1/2) alternieren, dann erledigt sich meine Frage natürlich. Vielen Dank für die Antworten und die Geduld!



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