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Schulmathematik » Extremwertaufgaben » Minimale Verpackungsoberfläche
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Universität/Hochschule J Minimale Verpackungsoberfläche
mathletic
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-14 16:46


Ein Hersteller von Höschenwindeln möchte sein Produkt in neuer Verpackung anbieten. Er entscheidet sich für eine quaderförmige Pappschachtel, bei der die Tiefe <math>z</math> aufgrund von Produktionsgegebenheiten <math>2/3</math> der Breite x betragen muss.
Ermitteln Sie, welche Maße Breite, Höhe, Tiefe die Verpackung haben muss, wenn bei vorgegebenem Volumen von <math>48600 \ cm^3</math> die Verpackungsoberfläche minimiert werden soll.

Wir haben dass <math>z=\frac{2}{3}x</math>.
Ausserdem haben wir dass <math>V=48600 \Rightarrow xyz=48600 \Righatrrow x\cdot y\cdot \frac{2}{3}x=48600 \Rightarrow x^2y=72900 \Rightarrow y=\frac{72900}{x^2}</math>.

Die Oberfläche ist gleich
<math>O(x, y, z)=2\cdot \left (xy+yz+xz\right ) \\ =2\cdot \left (x\cdot \frac{72900}{x^2}+\frac{72900}{x^2}\cdot \frac{2}{3}x+x\cdot \frac{2}{3}x\right )\\ =2\cdot \left (\frac{72900}{x}+\frac{48600}{x}+\frac{2x^2}{3}\right ) \\ =\frac{145800}{x}+\frac{97200}{x}+\frac{4x^2}{3} \\ =\frac{243000}{x}+\frac{4x^2}{3}</math>

Die erste Ableitung ist <math>O'(x)=-\frac{243000}{x^2}+\frac{8x}{3}</math>

Die Nullstellen ist also die folgende:
<math>O'(x)=0 \Rightarrow -\frac{243000}{x^2}+\frac{8x}{3}=0 \Rightarrow \frac{243000}{x^2}=\frac{8x}{3} \Rightarrow x^3=91125</math>

Ist das richtig obwohl wir keine ganze Zahl bekommen?



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mire2
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Aus: Köln-Koblenz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-14 17:03


Hi mathletic, smile

also was ich jetzt so gelesen habe, das sieht alles schon sehr gut aus.
Hast Du denn mal x konkret berechnet? Das gibt doch auch ein wirklich ansprechendes Ergebnis.

Grüße
mire2


-----------------
Beherrscher der Meta-Sprache
Narr und Weiser des Clans
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Bester Freund Metas



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lula
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Aus: Sankt Augustin NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-11-14 17:14


Hallo
die dritte Wurzel ist 45! also ganz, aber das muss bei einer Aufgabe  nicht sein.
bis dann, lula

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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mathletic
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-15 01:16


Vielen Dank!  smile  



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