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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Kreisteilungskörper
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Universität/Hochschule Kreisteilungskörper
hu97fuh
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-14 18:22


Hallo,

Ich soll folgende Aufgaben bearbeiten:

Seinen <math>m,n \in \mathbb{N}</math> teilerfremd, sei <math>\zeta \in \mathbb{C}</math> eine primitive m-te Einheitswurzel und sei <math>\eta \in \mathbb{C}</math> eine primitive n-te Einheitswurzel. Beweisen Sie:

<math>\mathbb{Q}(\zeta) \cap \mathbb{Q}(\eta)=\mathbb{Q}</math>.


Ich habe keinen Ansatz für die Aufgabe. Der Prof. meinte wir sollen uns die Galoisgruppe der Kreisteilungskörper angucken. Aber wie soll mir das bei der Aussage helfen.

Hat jemand einen Ansatz?

Über jede Hilfe bin ich dankbar.

MfG



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-14 18:51


Der Hinweis Galoisgruppen ist schon gut. Was kannst Du über die Galoisgruppen für eine Körperkette <math>\IQ\subseteq K\subseteq \IQ(\zeta)</math> aussagen? Was erhälst dann mit <math>K:=\IQ(\zeta)\cap\IQ(\eta)</math>?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-11-15 00:19


Übrigens gilt allgemeiner <math>\mathds{Q}(\zeta_n) \cap \mathds{Q}(\zeta_m) = \mathds{Q}(\zeta_{\mathrm{ggT}(n,m)})</math>. Man braucht dafür keine Galoisgruppen. Sobald man weiß, dass das Kompositum von <math>\mathds{Q}(\zeta_n)</math> und <math>\mathds{Q}(\zeta_m)</math> gleich <math>\mathds{Q}(\zeta_{\mathrm{kgV}(n,m)})</math> ist, reichen Gradbetrachtungen aus. Siehe etwa hier, Theorem 3.4.



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hu97fuh
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-15 16:14


An Triceratops: Den Beweis versteh ich nicht so ganz bzw. ab Beginn von Seite 7 bis (3.2) ist mir nicht ganz klar was dort gemacht wird.

An TomTom314:

Die jeweiligen Galoisgruppen sind isomorph zu <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}</math> bzw. <math>(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}</math> und jeder Zwischenkörper ist ein Fixkörper einer passenden Untergruppe der jeweiligen Galoisgruppe. Es reicht doch aber nicht aus zu zeigen, dass keine Untergruppe von <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}</math> eine Untergruppe von <math>(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}</math> ist oder ?

MfG



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-11-15 17:50


Sorry, ich habe bei meinem Hinweis gleich zwei gedankliche Fehler eingebaut. Ich hatte "<math>\times</math>" unterschlagen und die Galoiskorrespondenz mit der unter Körpererweiterung in Verbindung gebracht. Das war einfach keine gute Idee.

Der Hinweis von Triceratops ist schon wesentlich zieführender. In der Aufgabe wird mit ggT(n,m)=1 das ganze etwas einfacher. Damit zeigt man <math>\IQ(\zeta,\eta) =\IQ(\zeta\eta)</math> und <math>\zeta\eta</math> ist eine primitive mn-te Einheitswurzel. Weiterhin gilt

<math>\text{Gal}(\IQ(\zeta\eta)/\IQ)\cong (\IZ/mn\IZ)^\times\cong(\IZ/m\IZ)^\times\times (\IZ/n\IZ)^\times</math>

Die beiden Faktoren des direkten Produkts korrespondieren dann mit den oberen Körpererweiterungen <math>\IQ(\zeta\eta)/\IQ(\eta)</math> und <math>\IQ(\zeta\eta)/\IQ(\zeta)</math>.



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