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Physik » Mathematische Physik » Fourierkoeffizienten bestimmen?
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Universität/Hochschule Fourierkoeffizienten bestimmen?
auron321
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-14 22:16


Hallo,

Bei dem Auswerten einer Laplace Gleichung komme ich auf folgenden Ausdruck:
<math> \sum _ {k=1} ^{\infty} a_k sin(ky) + b_k cos(ky) = T </math>, wobei T für <math>y \in [0,a] </math> konstant ist und sonst 0.

Leider weiß ich nicht wie ich daraus die Koeffizienten gewinnen soll, zunächst dachte ich an Fourirreihen, aber sin(ky) ist ja <math>2 \pi </math> periodisch, wohingegen die Rechteckfunktion aus T <math> 2 a </math>periodisch ist. Dann müsst die Entwicklung von Fourirreihen doch <math>sin(k \frac{\pi}{a}y )</math> Terme enthalten???.


Vielen Dank schonmal für die Hilfe.



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jacha2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-16 02:05


Salut et bienvenu sur la planète de la mathématique,

daß die Lösung Deiner Laplacian mit dem sin zusammenhängt,
2017-11-14 22:16 - auron321 im Themenstart schreibt: ...Bei dem Auswerten einer Laplace Gleichung komme ich auf folgenden Ausdruck:
<math> \sum _ {k=1} ^{\infty} a_k sin(ky) + b_k cos(ky) = T </math>, wobei T für <math>y \in [0,a] </math> konstant ist und sonst 0.

Leider weiß ich nicht wie ich daraus die Koeffizienten gewinnen soll, zunächst dachte ich an Fourirreihen, aber sin(ky) ist ja <math>2 \pi </math> periodisch, wohingegen die Rechteckfunktion aus T <math> 2 a </math>periodisch ist. Dann müsst die Entwicklung von Fourirreihen doch <math>sin(k \frac{\pi}{a}y )</math> Terme enthalten???...
...ist dis dahin richtig. Die Fourier-Transformierte eines solchen Rechteckimpulses ergibt allerdings den Integralsinus, dessen Integrand eine stetige Funktion ist, welche an die Stelle Deiner Fourier-Koeffizienten tritt.
Adieu



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auron321
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-16 23:18


Hallo Jacha,

Vielen Dank erstmal für den herzichen Empfang und die Antwort.


Nur mal zur Sicherheit. Zunächst wenden wir die Fourirtransformation <math>\mathcal{F}(\sum_{k \in \mathbb{Z}\0} c_k e^{ikx}) = si(\pi k')</math> an. Dabei schreibe die sin(kx), cos(kx) Komplex.

Nun müsste ich ja erstmal auf glm. Konvergenz begründen, dass ich die Integrations und Summation vertauschen darf oder nicht?. Dies kann ich ja ohne Koeffizienten noch nicht machen. Dies würde dann aber jedenfalls
<math>\sum_{k \in \mathbb{Z}\0}c_k \int_{\mathbb{R}} e^{ikx}e^{ik'x}= \sum_{k \in \mathbb{Z\0}} c_k \delta_{k,k'} = c_k' = a_k' = b_k'?   </math> ergeben.


Ist dies soweit richtig? Und wenn ja woher weiß ich, dass die Reihe gegen meine Funktion konvergiert?



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Wally
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Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-11-17 09:05


Hallo,

vielleicht muss man hier erstmal das Setting klären.

Geht es um Fourierreihen? Dann muss hier <math>a<2\pi</math> sein, und man kann (und muss) <math>T</math> <math>2\pi</math>-periodisch fortsetzen.

Oder geht es um Fouriertransformation? Dan hat man allerdings keine Reihen mehr, sondern Integrale, und man kann <math>T</math> ("Treppenfunktion"?) wie von jacha2 bemerkt als Transformierte eines passend skalierten Integralsinus schreiben.



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auron321
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-17 16:39


Hallo Wally,

Das Setting ist, die Koeffizienten <math>a_k </math> und <math>b_k</math> zu ermitteln, so dass <math> \sum _ {k=1} ^{\infty} a_k sin(ky) + b_k cos(ky) = f(y) </math>. Dabei gilt <math>f(y) = T = const.</math> für <math>y \in [0,a]</math> und <math>f=0</math> sonst. Der Parameter a kann beliebig größer Null sein.

Es geht also weder direkt um Fourirtransformation oder Fourirreihen, dass einzige was mir eingefallen wäre umd die Koeffizienten zu bestimmen, waren Fourirreihen, so dass ich den Titel so gewählt hatte.



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lula
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Aus: Sankt Augustin NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-11-17 16:52


Hallo
 mit so einer Reihe kann man deine Funktion , eine Konstante auf einem Intervall  und sonst 0 sicher nie bestimmen! Da ist vorher was schief gegangen denn unabhängig von den a_k ist die Reihe IMMER 2pi periodisch.
bis dann lula


-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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auron321
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-18 14:07


Hallo lula,

Oh dies ist mir noch garnicht aufgefallen. Ich werde dies überprüfen und mich nocmal melden, wenn ich meinen Fehler in der Rechnung finde.

Danke bis hier hin schonmal für die Hilfe.



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