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Analysis » Stetigkeit » Stetigkeit im Unendlichen
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Kein bestimmter Bereich Stetigkeit im Unendlichen
psychironiker
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 24.09.2010
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-18 14:30


Liebe stetig Interessierte,

fed-Code einblenden

Ist nun üblich, derlei "Stetigkeit im Unendlichen" zu definieren?

Hintergrund: Ich modifiziere gerade den (vorgefundenen) Beweis des Zwischenwertsatzes in der Wikipedia. der mit einer Schachtelung kompakter Intervalle argumentiert. Das funktioniert aber nicht, wenn die betrachteten Funktionen auf (auch unbeschränkten) abgeschlossenen Intervallen definiert werden. Dann könnte die Aussage des Zwischenwertsatzes auch zutreffen, müsste aber anders begründet werden.



Lieben Gruß, Psychironiker



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lula
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 10605
Aus: Sankt Augustin NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-18 16:32


Hallo
 x=oo ist keine sinnvolle aussage. warum nicht einfach für ALLE  x in R x!=0 stetig, das drückt doch auch aus was du willst?
bis dann, lula
 


-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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Wally
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Dabei seit: 02.11.2004
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Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-11-18 16:40


Hallo, psychironiker,

wenn man den Zwischenwertsatz etwas allgemeiner fassen will, kann man das so machen:

Sei <math>f:X\to Y</math> stetig. Dann ist das Bild <math>f(M)</math> jeder zusammenhängenden Teilmenge von <math>M\subset X</math> in <math>Y</math> zusammenhängend.

Beim "gewöhnlichen" ZWS ist das Bild von <math>[a,b]</math> zusammenhängend, daher muss  das Bild das Intervall <math>[f(a),f(b)]</math> bzw. <math>[f(b),f(a)]</math> enthalten.

Vielleicht hilft dir das.

Wally



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traveller
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.04.2008
Mitteilungen: 2189
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-11-18 16:41


2017-11-18 16:32 - lula in Beitrag No. 1 schreibt:
x=oo ist keine sinnvolle aussage.

Wieso nicht?



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dromedar
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Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 4601
Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-11-18 16:44


Hallo psychironiker,

2017-11-18 14:30 - psychironiker im Themenstart schreibt:
Ist nun üblich, derlei "Stetigkeit im Unendlichen" zu definieren?

Es ist nicht üblich, aber man kann auf der Kompaktifizierung <math>{\Bbb R}\cup\{\pm\infty\}</math> eine geeignete Topologie einführen, so dass diese Aussage einen Sinn ergibt. Das kannst Du z.B. hier nachlesen.

Grüße,
dromedar

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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psychironiker
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 24.09.2010
Mitteilungen: 358
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-20 11:42


Danke allen, vor allem Dromedar;

der Antwort entnehme ich, dass der in der Wikipedia etablierte Beweis des Zwischenwertsatzes besser (ausschließlich) von kompakten Intervallen ausgeht, weil das in ihm benutzte Folgenkriterium der Stetigkeit üblicherweise NICHT für das Verhalten von Funktionen im Unendlichen betrachtet wird - auch wenn das "irgendwie ginge", siehe mein Ausgangsbeispiel. Derlei Mutmaßungen gehören aber nicht in eine enzyklopädisch angelegten Publikation; der Zwischenwertsatz für die verallgemeinerte Topologie wird dann besser getrennt betrachtet & anders bewiesen. Die mir zugänglichen anderssprachigen Wikipedien (romanische Sprachen, englisch) machen es anscheinend auch so.
Also redigiere ich das entsprechend, und die damit verbundene Einschränkung der Aussage des Beweises beruht nicht bloß auf meinem zu engen Horizont. - Bitte um Widerspruch, wenn doch (und der in der Wikipedia vorgelegte Beweise auch für abgeschlossene, aber nicht beschränkte Intervalle gilt).

psychironiker



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