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Mathematik » Numerik & Optimierung » Scheinbar konvexe Funktion ist nicht-konvex
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Universität/Hochschule Scheinbar konvexe Funktion ist nicht-konvex
a_nach_p
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Dabei seit: 16.11.2017
Mitteilungen: 2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-19 11:52


Hallo zusammen,

es geht um folgendes Problem:
Die Funktion <math>f: D \rightarrow \mathbb{R}_+, (x,y)^T \mapsto \frac{x}{y^2}</math> ist nicht-konvex.
Dabei ist <math>D\subset\mathbb{R}_+^2</math> eine konvexe Menge.

<math>f</math> ist nicht konvex, da die Hesse-Matrix von <math>f</math> indefinit ist.
Es gibt nämlich die Aussage, dass eine Funktion genau dann (streng) konvex ist, wenn ihre Hesse-Matrix (positiv) positiv-semidefinit ist.

Soweit so gut.
Nun das Problem: Wenn man sich den Funktionsgraph plottet, dann finde ich keine zwei Punkte, an denen die Verbindungsgerade den Graphen schneidet.

Auch mit der formalen Definition der Konvexität finde ich keine zwei Punkte an denen etwas schief geht:

<math>f(tx_1+(1-t)x_2)\leq tf(x_1)+ (1-t)f(x_2)</math>, mit <math>t\in [0,1], x_1,x_2\in D</math>.

Hat jemand eine Idee wie man neben der Aussage über die Definitheit der Hesse-Matrix die Nicht-Konvexität zeigen kann?

Grüße,
a_nach_p



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Kornkreis
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Dabei seit: 02.01.2012
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-19 13:38


Willkommen im Forum a_nach_p !

Zunächst muss man spezifizieren, dass dein <math>D</math> eine offene Menge ist, ansonsten gilt der von dir zitierte Satz nicht. In der Tat gibt es nicht-offene <math>D,</math> für die <math>f</math> konvex ist, z.B. <math>D=\{1\}\times \mathbb{R}_+</math>.

Wenn man die allgemeine Definition der Konvexheit für dieses <math>f</math> aufschreibt und geeignet umformt, erhält man tatsächlich die Nicht-Konvexheit.
Alternativ kannst du auch wieder Differentialrechnung verwenden: Wähle einen Punkt <math>(x,y)\in D</math> und betrachte <math>f</math> entlang des Richtungsvektors <math>\begin{pmatrix} a \\ 1 \end{pmatrix}\cdot t</math>, <math>a>0</math>. Die zweite Ableitung von <math>f(x+at,y+t)</math> nach <math>t</math> an der Stelle <math>t=0</math> ist für gewisse <math>a</math> negativ, woraus die Nicht-Konvexheit folgt.



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StrgAltEntf
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Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 3712
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-11-19 14:06


Hallo a_nach_p,

nimm etwa x1 = (1,1), x2 = (7,3), t = 1/2.

Dann ist
f(1/2 * x1 + 1/2 * x2) = f(4,2) = 1
>
1/2 * f(x1) + 1/2 * f(x2) = 1/2 + 7/18 = 0,888...



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a_nach_p
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Dabei seit: 16.11.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-20 11:42


Hallo Kornkreis, hallo StrgAltEntf:

Danke für Eure Antworten! Ich habe mir die von StrgAltEntf genannten Punkte etwas genauer angesehen und eine Verbindungsgerade gezeichnet.
Diese schneidet wirklich den Graphen.

Grüße,
a_nach_p



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Kornkreis
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Mitteilungen: 473
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-11-20 21:16

\(\begingroup\)
Hi a_nach_p,
beachte aber bitte, dass die genannten Punkte nicht in \(D\) enthalten sein müssen, sodass man zum Beweis der Nicht-Konvexität mit Variablen arbeiten sollte, siehe Beitrag #1.
\(\endgroup\)


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