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Integration » Integration im IR^n » Satz von Green für Einheitskreisscheibe
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Autor
Universität/Hochschule J Satz von Green für Einheitskreisscheibe
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-19 19:39


Hallo,
ich soll den Satz von Green für eine Einheitskreisscheibe und die Funktion
<math>F(x,y) = (-(x^2+y^2)y,\ (x^2+y^2)x)^T </math> zeigen.
Nach Satz von Green gilt dann ja:
<math>\int_{\Omega}\ (g_x - f_y)\ d(x,y) = \int_{\gamma}\ (f(x,y)\ dx + g(x,y)\ dy)</math>
Das habe ich auch beides berechnet, allerdings beim ersten Integral den Faktor 2 zu viel und ich finde den Fehler einfach nicht.

Das ist meine Rechnung für das Kurvenintegral:
<math>\int_{\gamma} -(x^2+y^2)y\ dx + \int_{\gamma} (x^2+y^2)x\ dy \\
\gamma = (x,\ y)^T = (\cos t,\ \sin t)^T \\
\gamma '(t) = (-\sin t,\ \cos t)^T \\
t = [0,2\pi]\\\\
= \int_0^{2\pi} (\cos^2t + \sin^2 t)\sin^2t\ dt + \int_0^{2\pi} (\cos^2t + \sin^2 t)\cos^2t\ dt  \\
= \int_0^{2\pi} 1\ dt \\
= [t]_0^{2\pi} \\
= 2\pi</math>

Und hier folgt meine Rechnung für das Integral über die Fläche:
<math> g_x = 3x^2 + y^2\\
f_y = -(x^2 + 3y^2)\\
\int\int 4\cdot (x^2+y^2)\ d(x,y) = \int_{-1}^1\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} 4\ dy\ dx\\
=\int_{-1}^1 4\cdot 2\cdot \sqrt{1-x^2}\ dx\\
=8 \cdot \frac{1}{2} \cdot [x\cdot \sqrt{1-x^2}+\arcsin x]_{-1}^1\\
=4\pi </math>

Kann mir jemand sagen, wo mein Fehler liegt? Es müsste doch bei beidem das gleiche raus kommen, oder?  confused



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Kornkreis
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-19 22:39


Hallo Schokoschnecke,

2017-11-19 19:39 - schokoschnecke im Themenstart schreibt:
<math>\int\int 4\cdot (x^2+y^2)\ d(x,y) = \int_{-1}^1\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} 4\ dy\ dx </math>

dein Fehler liegt hier. Beim Flächenintegral gilt nicht <math>x^2+y^2=1,</math> da für <math>(x,y)</math> alle Punkte der Kreisscheibe zulässig sind. Da das Integral dann aber recht kompliziert wird, wenn du bei kartesischen Koordinaten bleibst, empfehle ich die Verwendung von Polarkoordinaten. Mit <math>x^2+y^2=r^2</math> folgt:

<math>\int\int 4\cdot (x^2+y^2)\ d(x,y) = \int_0^{2\pi}\int_0^1 4\cdot r^2 \cdot r \ \mathrm{d}r\,\mathrm{d}\phi.</math>

Kommst du damit weiter?



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-19 22:57


Dankeschön! Das hilft mir sehr, jetzt klappt es! smile



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