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Analysis » Grenzwerte » Grenzwert von Σ(1/√(n*k)) von k=1 bis n, n → ∞
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Universität/Hochschule Grenzwert von Σ(1/√(n*k)) von k=1 bis n, n → ∞
monkeyhead
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 22.10.2017
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-19 19:55

\(\begingroup\)
Guten Abend allerseits,

Gesucht ist:
<math>$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{1}{\sqrt{n}} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}}$$</math>

Irgendwie habe ich nicht so wirklich eine Idee, wie ich auf den Grenzwert komme. Ich vermute zwar, dass er 2 ist, da die Ungleichung <math>\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} < 2 \sqrt{n}</math> gilt und man diese durch Induktion beweisen kann. (Link) Aber das beweist ja noch nicht, dass es der Grenzwert ist. Außerdem ist es mehr ein Raten und Überprüfen.
Wie gehe ich systematisch an das Finden des Grenzwerts heran?
In der Beispielaufgabe davor wird der Grenzsatz von Stolz eingeführt. Kann es sein, dass der mir beim Lösen der Aufgabe hilft? Irgendwie komm ich nicht weiter...
Wenn jemand einen Hinweis oder eine Idee hätte, wäre ich sehr dankbar.

MfG
monkeyhead
\(\endgroup\)


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sibelius84
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Dabei seit: 30.05.2011
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-19 20:03


Hi,

habe dazu zwei Ideen:

1.) Man könnte n := m² setzen und schauen, ob einem das was bringt.

2.) Das ganze als Riemann'sche (Ober- oder Unter-)Summe über eine geeignete Funktion auffassen, so dass man den Grenzwert dann als Integral berechnen kann? Es gibt so etwas, aber ich weiß nicht, ob hierbei der Wurzelterm allzu sehr stört. Vielleicht sogar als Riemann'sche Summe über eine geeignete Funktion von |R² nach |R, aber das wird dann vermutlich wieder zu kompliziert...

Manchmal kann man auch noch solche Dinge anwenden wie Satz von Lebesgue / Satz von Beppo-Levi (denn Summe = Integral bzgl. des Zählmaßes) und darf dann irgendetwas vertauschen. Hier könnte die zitierte Ungleichung evtl. eine Legitimation / Voraussetzung liefern.

LG
sibelius84



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Squire
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.08.2015
Mitteilungen: 401
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-11-19 20:07


Satz von Stolz passt perfekt; Riemann-Summe funktioniert auch.
Grüße Squire



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monkeyhead
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 22.10.2017
Mitteilungen: 18
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-19 22:07


Danke euch beiden einmal für die Antworten.
Also das mit dem Riemann-Integral kann ich mir circa vorstellen, also mit der Stammfunktion <math>2 \sqrt{x}</math> Die Sätze von Lebesgue und Beppo-Levi hatten wir leider noch nicht.
Beim Satz von Stolz bin ich etwas weiter.

Und zwar muss ich dazu die Folge ja in zwei Folgen spalten.
Also <math>c_n=\frac{a_n}{b_n}</math>
Ich habe für <math>a_n=\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}}</math> und für <math>b_n=\sqrt{n}</math>
Damit habe kann ich das Problem auf folgenden Grenzwert zurückführen: <math>\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}</math>.
Konkret ist das <math>\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}}\cdot\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}</math>. Der scheint auch 2 zu sein, aber ohne Computerhilfe kann ich das nicht zeigen...
@Squire: Siehst du da einen einfachen Weg, wie man das umformen kann, oder hättest du die zwei Folgen anders gewählt?



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sibelius84
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 79
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-11-19 23:42


Versuch mal mit <math>\sqrt{n+1}+\sqrt{n}</math> zu erweitern, im Sinne der dritten binomischen Formel.



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monkeyhead
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-20 00:27


@sibelius84: Danke!! :D



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