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Strukturen und Algebra » Gruppen » Z^4 zu Monoid
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Universität/Hochschule J Z^4 zu Monoid
Makjst
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 20.11.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-20 08:03


Hey,

Ich komme bei der Folgenden Aufgabe ueberhaupt nicht weiter:
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Es waere super, wenn jemand mir einen Tipp geben kann, wie ich anfangen kann.



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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-20 08:05


Hallo,

du musst so anfangen, dass du dir anguckst wie eine Monoid definiert war und dann diese Eigenschaften überprüfen.

Schreibe mal die Definition auf.



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Makjst
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 20.11.2017
Mitteilungen: 12
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-20 08:21


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Ich verstehe zwar die gegebene Definition, aber ich habe ein Brett vor dem Kopf, wie ich das anwenden soll.



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-11-20 08:33

\(\begingroup\)
Du musst für die gegebene Verknüpfung, nennen wir sie mal \(\bullet\) (weil sie von der üblichen komponentenweisen Multiplikation abweicht), folgendes zeigen:

1. Für alle Elemente \(a,b,c\) von \(\mathbb{Z}^4\) gilt \(a \bullet (b \bullet c) = (a \bullet b) \bullet c\).

2. Es gibt ein Element \(e\) von \(\mathbb{Z}^4\) mit der Eigenschaft \(a \bullet e = a = e \bullet a\) für alle \(a\).

Bei 1. musst du ganz einfach die Definition von \(\bullet\) einsetzen und die Gleichung nachrechnen. Dabei ist sonst nichts weiter zu tun. Probiere es einmal! Und zeige uns deinen Fortschritt.

Bei 2. muss dir ein Element \(e\) einfallen. Du kannst aber auch einfach herumprobieren. Als Tipp kann ich dir geben, dass das Element sehr einfach gestrickt ist. Versuche es mal, es zu finden.
\(\endgroup\)


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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 3165
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-11-20 09:11

\(\begingroup\)
Für Leser mit etwas mehr Algebra-Kenntnissen:

Mit der komponentenweisen Addition und \(\bullet\) als Multiplikation bekommt man sogar einen nichtkommutativen Ring. Setzt man \(Y = (0,1,0,0)\) und \(X = (0,0,1,0)\), so hat dieser Ring als \(\mathbb{Z}\)-Basis \((1,Y,X,YX)\) und die Präsentation als Ring \(\langle Y,X : Y^2 = X^2 = 0,\, YX + XY = 1 \rangle\). Dies ist also ein Zappa-Szép-Produkt von \(\langle X : X^2 = 0 \rangle\) mit sich selbst. Das erklärt dann wiederum die Herkunft des Monoids.
\(\endgroup\)


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lally9
Neu Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 20.11.2017
Mitteilungen: 1
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-11-20 12:31


Hallo zusammen, ich sitze an der gleichen Aufgabe.

ich hab mal ne Frage zu Punkt 1) also das mit Assoziativität.
Muss man erst die einzelnen a's und b's ausrechenen, bzw. umformen oder kann man einfach mit dem normalen Vektoren (a1,a2,a3,a4) und (b1,b2,b3,b4) rechnen?

Also einfach mit den normalen Vektoren zu rechnen wäre ja irgendwie unlogisch, weil man dann ja die Eigenschaft aus der Aufgabenstellung mit ab=(....) nicht berücksichtigen würde.

Oder wäre das umrechnen richtig?
also ich hätte dann für a1= -(a2b3)/b1 raus, weil ich einfach das erste Element aus der Klammer nach a1 umgestellt habe.



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-11-20 12:39

\(\begingroup\)
Es müssen keine a's und b's ausgerechnet werden. Es muss einfach nur die genannte Gleichung nachgewiesen werden. Also man fängt mit \(a \bullet (b \bullet c)\) an, schreibt \(b \bullet c\) gemäß der Definition der Verknüpfung aus, und anschließend schreibt man den gesamten Ausdruck gemäß der Definition der Verknüpfung aus. Dasselbe macht man dann mit \((a \bullet b) \bullet c\). Dann stellt man fest, dass beide Seiten gleich sind. Die Ausdrücke werden etwas groß, aber man kann das in wenigen Zeilen hinschreiben.

So fängt man also an:

\(\begin{align*}
a \bullet (b \bullet c) & = a \bullet (b_1 c_1 + b_2 c_3, b_1 c_2 + b_2 c_4, b_3 c_1 + b_4 c_3, b_3 c_2 + b_4 c_4) \\
 & = (a_1 (b_1 c_1 + b_2 c_3) + a_2 (b_3 c_1 + b_4 c_3), \dotsc)\\
 & = \cdots
\end{align*}\)
\(\endgroup\)


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Makjst
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-20 14:49


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2017-11-20 14:51


Schön!

Hast du auch das neutrale Element gefunden? Wie lautet es?



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Makjst
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-20 15:02


Laut der Definition muss ex=xe=x sein und daher wuerde ich sagen, dass das neutrele Element 1 ist, da 1(ab)=(ab)1=ab ist.



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helmetzer
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Aus: Helmbrechts, Franken
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2017-11-20 15:55


Das neutrale Element besteht aus 4 ganzen Zahlen.

<math>(1,0,0,0)</math> ist es nicht.



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Makjst
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-20 19:46


Dann ist es doch (1,1,1,1), oder tauesche ich mich da ?



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saggerrr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2017-11-20 19:50


Schreib doch einfach mal a und e aus.
a ist (a1,a2,a3,a4) und e (e1,e2,e3,e4).
Damit e ein neutrales Element ist, muss nach der Multiplikation wieder a raus kommen. Wäre e (1,1,1,1), wäre das Ergebnis (a1+a2,a1+a2,a3+a4,a3+a4).



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Makjst
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-20 20:26


Ich glaub ich verstehe.
Das neutrale Element waere demnach (1,0,1,0), da dann (a1+a2,a3+a4) rauskommen wuerde und a im Z4 Bereich (a1,a2,a3,a4) ist.



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saggerrr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2017-11-20 20:32


Fast richtig. Die Lösung soll aber (a1,a2,a3,a4) lauten und nicht (a1+a2,a3+a4).
Probier mal weiter durch, bist nah dran.



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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2017-11-20 20:56


Man muss hier nicht raten! Setze <math>e=(e_1,e_2,e_3,e_4)</math> und berechne


<math>e(1,0,0,0), e(0,1,0,0), \dots</math>



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Makjst
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-20 21:19


Tut mir leid helmetzer, aber ich scheine komplett auf dem Schlauch zu stehen.
Wenn ich das mache wie du das sagst, bekomme ich ja (a1+a2,a1+2,a3+a4,a3+a4) heraus.
Das einzige was mir jetzt noch einfallen wuerde, waere das wiederum (1,0,1,0) zu setzen..



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2017-11-20 21:21

\(\begingroup\)
Damit \(e=(e_1,e_2,e_3,e_4)\) ein neutrales Element ist, muss \(a \bullet e = a\) und \(e \bullet a = a\) gelten, für alle \(a=(a_1,a_2,a_3,a_4)\). Schreibe einmal auf, was \(a \bullet e\) und \(e \bullet a\) sind. Schreibe danach auf, was es bedeutet, dass sie gleich \(a\) sind. Dann siehst du, was \(e\) sein muss.
\(\endgroup\)


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Makjst
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-20 21:57


Kann man nicht fuer die Multiplikation 1 als neutrales Element wahelen und fuer die Addition 0 ?
Denn wenn wir e=1 und f=0 setzen haben wir e*f=f und e+f=e.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2017-11-20 22:00


Und damit wären wir wieder bei Beitrag No. 10.

2017-11-20 15:55 - helmetzer in Beitrag No. 10 schreibt:
Das neutrale Element besteht aus 4 ganzen Zahlen.

2017-11-20 19:50 - saggerrr in Beitrag No. 12 schreibt:
e ist (e1,e2,e3,e4).

2017-11-20 20:56 - helmetzer in Beitrag No. 15 schreibt:
Setze <math>e=(e_1,e_2,e_3,e_4)</math>

2017-11-20 21:21 - Triceratops in Beitrag No. 17 schreibt:
Damit <math>e=(e_1,e_2,e_3,e_4)</math> ein neutrales Element ist, muss ...
 
Noch einmal: Du kannst die Zahl <math>1</math> nicht als neutrales Element wählen, weil <math>1</math> kein Element von <math>\mathds{Z}^4</math> ist.

Und um die (komponentenweise?) Addition geht es (abseits von Beitrag No. 4) gar nicht. Es geht nur um eine Verknüpfung, diese etwas sonderbare "Multiplikation" <math>\bullet</math>.
 
Vielleicht kannst du dich mit Beiträgen No. 12 und (fast identisch) No. 17 beschäftigen und Rückmeldung dazu geben.
 
Weil sich hier einige Verständnisprobleme auftun, wäre es vielleicht sinnvoll, einmal deinen Assoziativitätsbeweis zu überprüfen, den du deiner Aussage nach schon hinbekommen hast. Wenn du ihn posten möchtest, werden wir ihn gerne kontrollieren.



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helmetzer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus: Helmbrechts, Franken
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2017-11-20 22:24


Man muss hier nicht raten! Setze <math>e=(e_1,e_2,e_3,e_4)</math> und berechne

<math>(1,0,0,0)=(e_1,e_2,e_3,e_4)(1,0,0,0) = (e_1,0,e_3,0) \implies e_1 = 1, e_3 = 0</math>

<math>(0,0,1,0)=(e_1,e_2,e_3,e_4)(0,0,1,0) = (e_2,0,e_4,0) \implies e_4 = 1, e_2 = 0</math>

Jetzt die Probe machen!



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Makjst
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 12
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-20 22:44


Oh man...
Ich hab meinen Fehler gesehen. Das neutrale Element ist <math>e=(1,0,0,1)</math>. Ich hatte ganz uebersehen, dass man unterscheiden muss zwischen <math>a1,a2</math> und <math>a3,a4</math>.
Vielen Dank fuer eure Geduld mir das Brett vom Kopf zu reissen !!



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