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Logik, Mengen & Beweistechnik » Mengenlehre » kleinste überabzählbare Ordinalzahl
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Universität/Hochschule kleinste überabzählbare Ordinalzahl
Simon_St
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 28.02.2011
Mitteilungen: 237
Aus: Bielefeld
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-20 15:26


Hallo,
es soll eine (klar definierte) kleinste überabzählbare Ordinalzahl geben. Diese hat als Elemente genau ALLE abzählbaren Ordinalzahlen.

1. Warum gibt es überabzählbar viele abzählbare Ordinalzahlen?

2. Die kleinste überabzählbare Ordinalzahl wäre eine Limes-Ordinalzahl. Wie bildet man den Limes aller abzählbaren Ordinalzahlen?



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StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 3719
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-20 20:56


Hallo Simon_St,

die kleinste überabzählbare Ordinalzahl hat ja überabzählbar viele Elemente. Sonst wäre sie ja nicht überabzählbar.

1. Da, wie du selbst schreibst, alle abzählbaren Ordinalzahlen in dieser Ordinalzahl enthalten sind und nichts anderes, gibt es folglich überabzählvar viele abzählbare Ordinalzahlen.

2. Der Limes ist die Vereinigung.



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 3185
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-11-20 21:59

\(\begingroup\)
Zusatz: Damit man den Limes bilden kann, muss man sich kurz überlegen, warum die abzählbaren Ordinalzahlen eine Menge bilden. Das folgt daraus, dass es auf (endlichen Teilmengen von) \(\mathbb{N}\) nur eine Menge von Wohlordnungen geben kann, also erst Recht nur eine Menge von Wohlordnungen bis auf Isomorphie.

Wie StrgAltEntf bereits sagte, ist dann \(\omega_1 := \bigcup \{\alpha \in \mathsf{On} : \alpha \text{ abzählbar}\}\) die erste überabzählbare Ordinalzahl.
\(\endgroup\)


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