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Mathematik » Stochastik und Statistik » Wahrscheinlichkeitsraum zu Würfelexperiment
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Universität/Hochschule J Wahrscheinlichkeitsraum zu Würfelexperiment
Wouwou
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-20 15:33


Hallo,

ich bräuchte noch einmal die Hilfe der Community bei einer Aufgabe.
Ich habe zwar eine Lösung, aber ich bin mir nicht sicher ob diese richtig ist, bzw. hätte ich noch ein paar Fragen.

Ersteinmal zur Aufgabe:
Es wird ein Würfel geworfen. Danach wird ein zweiter Würfel entsprechend oft der Augenanzahl des ersten Würfels geworfen. Dabei sind alle Würfe unabhängig voneinander.
Dazu soll der Wahrscheinlichkeitsraum und der Erwartungswert E[G*B1*...*BG], wobei G die Augenanzahl des ersten Wurfes angibt und Bi die Augenanzahl des zweiten Würfels im i-ten Wurf.

Nun zu meiner Lösung:
fed-Code einblenden

Danke für eure Hilfe. :-)



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StrgAltEntf
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Dabei seit: 19.01.2013
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-20 20:49


Hallo Wouwou,

ein Typisches Ergebnis des Experiments ist etwa (3,2,4,6), wobei der erste Wurf 3 ist und dann 4 Würfe folgen. Oder (1,5) oder (5,2,6,2,1,1).

Bei deinem Vorschlag zu Omega = B ist ja gar nicht klar, was das i sein soll. Omega enthält also Tupel unterschiedlicher Länge.

Außerdem: Erwartungswerte dürfen nicht einfach multipliziert werden. Und hier schon gar nicht. Es kommt ja eine fste Zahl raus, und die ist nicht von G abhängig.



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Wouwou
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-20 21:32


Hey,
mal wieder einmal danke für deine Antwort. :-)

Wäre das eine bessere Idee für Omega?
fed-Code einblenden

Dann weiß ich leider nicht, wie genau ich den Erwartungswert berechnen soll.
Bzw was genau mit E[X*Y] gemeint ist.

Grüße



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StrgAltEntf
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-11-20 21:49

\(\begingroup\)
Die Elemente von deinem Omega sind Mengen. Es müssen aber Tupel sein.

Richtig wäre \(\Omega=\bigcup_{a=1}^6\{a\}\times\{1,2,...,6\}^a\).

Was ist nun E(X*Y)?

Nimm z. B. an, dass X und Y zwei unabhängige Würfe eines Würfels sind. Dann gibt es 36 Elementarereignisse mit gleicher W'keit von je 1/36. Es gilt dann
\(E(XY)=\sum_{x=1}^6\sum_{y=1}^6xyP(X=x,Y=y) = \frac{1\cdot1}{36}+\frac{1\cdot2}{36}+...+\frac{1\cdot6}{36}+...+\frac{6\cdot6}{36}\).
Bei dieser Aufgabe ist es etwas komplizierter ...

\(\endgroup\)


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Wouwou
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-20 22:30


Okay.
und wäre <math>P(\Omega)=(card \Omega)/(6+6^2+6^3+6^4+6^5+6^6)=1/55986</math> ?
Dabei ist 6 der Fall, dass beim 1. Wurf eine 1 gefallen ist. 6², dass beim 1. Wurf eine 2 gefallen ist. Usw.


Wieso darf ich die Erwartungswerte in diesem Fall nicht multiplizieren?
In einer Quelle steht folgendes:

Unter der Bedingung, dass zwei Zufallsvariablen unabhängig sind, gilt das:
E[X*Y]=E[X]*E[Y].

In diesem Fall sind diese doch voneinander unabhängig oder etwa nicht?



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StrgAltEntf
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-11-20 23:00

\(\begingroup\)
Es ist \(P(\Omega)=1\). Das gilt immer!

Wie groß sind p(1,x1), p(2,x1,x2), ... p(6,x1,...,x6)?

Du hast recht ... in meinem Beispiel aus Beitrag #3 darfst du die einzelnen Erwartungswerte einfach miteinander multiplizieren. Bei dieser Aufgabe ist es aber komplizierter, und du musst die Formel für die Definition des E'werts anwenden. Das auseinanderzuziehen ergibt auch keinen Sinn! Was soll denn das G bei E(B_G) sein bzw. wie viele Faktoren sollen denn da stehen?!
\(\endgroup\)


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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-11-20 23:18


Huhu zusammen,

auch wenn ihr schon mitten in der Rechnerei seid, möchte ich doch einen anderen Vorschlag machen.  

Anschaulich: Man werfe immer sieben (unterscheidbare, nummerierte) Würfel <math>B_j</math> mit <math>j \in \{0, \ldots 6\}</math> (das bisherige <math>G</math> ist dann <math>B_0</math>) und betrachte die Zufallsvariable <math>X = \prod_{j=0}^{B_0} B_j</math>. Gesucht ist dann der Erwartungswert von <math>X</math>.

Der W'raum ist dann ziemlich offensichtlich und nicht so gekünstelt. Dies entspricht m.E. mehr einer wahrscheinlichkeitstheoretischen Modellierung. Im übrigen ist das Ergebnis dann auch viel einfacher zu berechnen und entspricht der Wald'schen Identität (wem das etwas sagt...).

lg, AK.



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Wouwou
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-20 23:34


Ich meinte natürlich:
<math>P(\omega)</math>, wobei <math>\omega</math> Element von <math>\Omega</math>

Meine Idee zum Erwartungswert:
fed-Code einblenden

Was 14412,6 entspräche.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



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Wouwou
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-20 23:39


Hallo AnnaKath,
leider habe ich deinen Hinweis eben zu spät gesehen.
Dieser Ansatz hört sich aber auch nicht schlecht an.
Danke dafür. :-)
Ich werde gleich mal versuchen, ob ich mit diesem Ansatz eventuell besser zurecht komme.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-11-21 00:11


Sieht schon gut aus! Ich würde aber sagen, dass man deinen E'wert noch durch 6 teilen muss. Einverstanden?

Wenn du eine Programmiersprache beherrschst, kannst du ja mal eine kleine Simulation programmieren, ob das hinhaut.

@AnnaKath: Vielen Dank! So lässt sich das vielleicht etwas übersichtlicher aufschreiben. Die Wald'sche Identität sagt mir aber nichts.




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Wouwou
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-21 09:34


Einverstanden.

Ich beherrsche mehr als eine. :-D
Gute Idee, werde ich mal machen. :-)

Vielen Dank für eure Hilfe und eine schöne Woche noch!



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