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Strukturen und Algebra » Polynome » Konstanter Term des Kreisteilungspolynoms
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Universität/Hochschule Konstanter Term des Kreisteilungspolynoms
Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-20 19:59


Guten Abend,

ich wollte mal fragen: Ist der konstante Term vom Kreisteilungspolynom <math>\Phi_n\in \IZ[X]</math> immer 1 für alle <math>n>1</math>?



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sibelius84
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-20 20:10


Hi,

ich glaube ja. Kann man nicht wie folgt argumentieren?

-> Die Nullstellen des Kt-Polynoms sind für n>2 immer ausschließlich nicht-reelle, komplexe Zahlen vom Betrag 1.

-> Ferner sind die Kt-Polynome immer normiert, gehen also gegen Unendlich, wenn x das tut.

Mit dem Zwischenwertsatz solltest du daraus einen Widerspruch zu der Annahme erhalten können, dass der Koeffizient -1 ist für ein n>2.

LG
sibelius84

PS: ...wobei ich jetzt stillschweigend verwendet habe, dass die Koeffizienten immer +/- 1 sind. Ist das schon bekannt?



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Dune
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-11-20 20:55


Hi Saki,

für <math>n > 2</math> treten die Nullstellen von <math>\Phi_n</math> immer in Paaren auf: Ist <math>\zeta</math> eine Nullstelle von <math>\Phi_n</math> (also eine primitive n-te Einheitswurzel), dann ist auch <math>\zeta^{-1}</math> eine (von <math>\zeta</math> verschiedene) Nullstelle. Der Konstante Term von <math>\Phi_n</math> ist das Produkt <math>\prod_{\zeta} (-\zeta)</math> und dieses ist <math>1</math>, da sich die Faktoren paarweise aufheben.

Viele Grüße,
Dune



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-11-20 21:50


2017-11-20 20:10 - sibelius84 in Beitrag No. 1 schreibt:
PS: ...wobei ich jetzt stillschweigend verwendet habe, dass die Koeffizienten immer +/- 1 sind. Ist das schon bekannt?
 
Das ist nicht bekannt, weil es falsch ist.

de.wikipedia.org/wiki/Kreisteilungspolynom#Das_Koeffizientenproblem

(Ok, hier brauchen wir das nur für den konstanten Term.)



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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-20 22:35

\(\begingroup\)
danke für eure Antworten! Da es zunächst um algebraische Frage geht, neige ich eher zu Dunes Lösung. Aber es wäre auch interessant mit dem Zwischenwertsatz zu arbeiten, wie sibelius84 vorgeschlagen hat.

@sibelius84,
Welche Koeffizienten meintest du? Wenn es die Koeffizienten vom Kt-Polynom sind, dann ist das nicht richtig, s. Triceratops' Antwort.

Oder meintest du eben den konstanten Term? Wenn ja, dann ist es ganz nachvollziehbar, denn <math>X^n-1=\prod_{d\mid n}\Phi_n</math> (und jedes <math>\Phi_n\in\IZ[X]</math>). Vielleicht meintest du so etwas mit dem Zwischenwertsatz:

[verbessert]
Sei <math>n>2</math>. Gäbe es ein <math>n</math> mit konstantem Term von <math>\Phi_n</math> gleich -1, so folgt <math>\Phi_n(0)=-1<0</math>. Da <math>\Phi_n(X)\to\infty~ (X\to\infty)</math> (fasse <math>\Phi_n</math> als polynomiale Funktion <math>\IR\to \IR</math> auf), wird <math>\Phi_n(X)</math> für großes \(X\in \IR\) strikt positiv. Nach dem Zwischenwertsatz (da <math>\Phi_n</math> stetig) existiert also ein <math>\xi\in (0,\infty)\subset \IR</math> mit <math>\Phi_n(\xi)=0</math>. Aber dies ist unmöglich wie du angemerkt hast.
\(\endgroup\)


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-11-20 23:39


Zwei Anmerkungen (ansonsten alles OK):
- Vor dem "da" wäre ein neuer Satz gut gewesen, um dem Argument besser zu folgen.
- "irgendwann" müsste genauer spezifiziert werden, weil du danach <math>\xi > 0 </math> haben willst. Eigentlich ist das unerheblich, denn irgendein <math>\xi</math> reicht.



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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-28 22:17

\(\begingroup\)
Hier noch eine weitere Beweisidee.

Skizze. Betrachte die Gleichheiten
\[
X^n-1=\prod_{d\mid n}\Phi_d=(X-1)\cdot\Phi_n\cdot\prod_{d\mid n,\, 1<d<n}\Phi_d\] und \[\frac{X^n-1}{X-1}=\sum_{j=0}^{n-1}X^j.\] Führe nun eine Induktion über n durch.
\(\endgroup\)


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-11-28 22:51

\(\begingroup\)
Wie kommst du auf $=(X-1) \Phi_n$? Das ist nur für prime $n$ richtig.
\(\endgroup\)


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Buri
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Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2017-11-28 22:56

\(\begingroup\)
2017-11-28 22:51 - Triceratops in Beitrag No. 7 schreibt:
Wie kommst du auf $=(X-1) \Phi_n$?
Hi Triceratops,
das Produkt, was dahintersteht, gehört zu dieser Gleichung dazu.
Gruß Buri
\(\endgroup\)


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-11-28 23:01


Ah, Danke. Da war ich nicht aufmerksam genug.



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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-30 17:28


Vielleicht lag es an die Unübersichtlichkeit, hab es mal ein bisschen abändert.



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
sibelius84
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2017-12-11 21:10


Ah ok, sorry, ja, da hatte ich was Falsches im Kopf, nämlich dass die Koeffizienten des Kt-Polynoms alle im Primring liegen. Gut, wenn es schon reicht, das für das Absolutglied zu wissen.



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