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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Funktionen » Bijektivität einer Abbildung zeigen
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Universität/Hochschule J Bijektivität einer Abbildung zeigen
tehtacolord
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-20 21:47


Hallo zusammen,

folgende Aufgabe ist gegeben:

<math>f_{a,b}: \mathbb{R} -> \mathbb{R}\thickspace sei\thickspace eine\thickspace Abbildung \thickspace gegeben \thickspace durch \thickspace x-> a*x+b
\linebreak
Zu\thickspace pruefen:\thickspace Fuer \thickspace  welche \thickspace a,b \in \mathbb{R} \thickspace ist \thickspace die  \thickspace Abbildung  \thickspace bijektiv?
</math>

Ich habe leider keine Ahnung wie ich die Bijektivität zeigen soll/kann, da es bei der Surjektivität hakt.

Normales Vorgehen zum Prüfen für Injektivität wäre ja zu zeigen, dass für zwei verschiedene x,y aus der Definitionsmenge x=y gelten muss wenn f(x)=f(y) gilt. Das löse ich bisher indem ich zwei verschiedene x,y in die Funktionsformel einsetze und diese beiden Ausdrücke gleichsetze um durch geschicktes umformen x=y zu zeigen.

Probleme habe ich jedoch beim Zeigen der Surjektivität.
Gezeigt werden muss ja, dass es für alle y aus der Definitionsmenge ein x in der Bildmenge gibt sodass gilt: y=f(x).

Wie das so ganz allgemein geht weiß ich jedoch nicht, kann mir dazu jemand einen Denkanstoß geben?

Vielen Dank vorab!



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-20 21:53


Hallo,
bestimme die Umkehrfunktion
(soweit sie existiert)
Gruß Wauzi


-----------------
Primzahlen sind auch nur Zahlen



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tehtacolord
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-20 22:24


Das dürfte dann ja
<math>g_{a,b}: \mathbb{R} -> \mathbb{R} \thickspace def. \thickspace durch: \thickspace g(x)=\frac{(x-b)}{a}</math> sein, richtig?




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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-11-20 23:07


Ist diese Funkton für alle a,b definiert?



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tehtacolord
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-20 23:14


Auf den ersten Blick nur für a ungleich 0.



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-11-20 23:17


genau. Und damit bist Du fertig.
Schau Dir das auch mal geometrisch an, dann siehst Du, warum für a=0 die Abbildung nicht bijektiv sein kann



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tehtacolord
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-20 23:18


Mache ich gleich mal. Vielen Dank dir für deine Hilfe!



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tehtacolord
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-21 09:26


Erneute Frage:

Ich habe zur Übung im Netz noch eine Aufgabe gefunden:


Zu zeigen ist, dass die Abbildung f:(-1,1) -> R\{1} mit <math>f(x)= \frac{1}{1-x}</math> bijektiv ist.

Nun hänge ich erneut bei der Surjektivität. Ich komme (vermutlich durch fehlerhaftes Umstellen) auf <math>y=\frac{-1}{x}+1</math>, was jedoch für R\{1} nicht durchgehend definiert ist(z.B. für x=0, wenn ich mich nicht täusche))



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2017-11-21 14:11


Die Funktionist nicht richtig definiert. f(0)=1



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tehtacolord
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-21 15:34


Das ist richtig, hab überlesen, dass die Aufgabe korrigiert wurde.
Die Definitionsmenge sollte <math>\mathbb{R} \thickspace ohne \thickspace {0} </math> sein.



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