Die Mathe-Redaktion - 14.12.2017 09:01 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
ListenpunktSchwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden oder den Newsletter bestellen.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 597 Gäste und 18 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von matroid
Mathematik » Numerik & Optimierung » Finite Elemente: Warum meist auf den 2D-Fall beschränkt?
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Finite Elemente: Warum meist auf den 2D-Fall beschränkt?
kalov91
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.10.2017
Mitteilungen: 5
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-23 08:33


Hallo,

ich beschäftige mich momentan mit der Finite-Elemente-Methode und wie man damit auch nicht-lineare partielle Differentialgleichungen lösen kann.
Eine (wahrscheinlich ziemlich blöde, da ich noch neu in dem Thema bin) Frage, die mir dabei kam ist: Warum wird die Menge, die man in die finite Elemente "aufspaltet" oft als Teilmenge des R^2 festgelegt? Warum nicht R^n um noch allgemeiner zu bleiben?

Zum Beispiel in diesem Paper (aber auch in vielen anderen) über die FEM für den p-Laplace-Operator:

pdfs.semanticscholar.org/7399/da07c625d51aa7ee72840789916b036019d2.pdf

Es geht dabei hauptsächlich um Fehlerabschätzungen, aber ich sehe in den Abschätzungen und deren Herleitung nicht wirklich inwiefern die Beschränkung auf R^2 mit einfließt und warum sich das ganze nicht auch im R^n hätte abspielen können?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
piquer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.06.2013
Mitteilungen: 384
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-23 19:13

\(\begingroup\)
Hi kalov91,

das hat mehrere Gründe. Der erste Grund ist die Rechenzeit. Eine Rechnung in 3D benötigt deutlich mehr Elemente, in die man das Gebiet unterteilt um die gleiche Feinheit in der Diskretisierung zu erhalten, als eine Rechnung in 2D. Ein weiterer Grund ist der, dass die Integration über zweidimensionale (polygonale) Elemente sehr viel einfacher ist. Es gibt sehr viel Literatur zur optimalen Quadratur über Dreiecke. Rechnet man in 3D, so muss man für die Integration über einen Tetraeder deutlich mehr numerische Arbeit aufwenden. Zudem lassen sich Integrale über die Ränder der Elemente als Kurvenintegrale, also eindimensionale Integrale, auffassen. Dazu gibt es seit 200 Jahren Literatur. In 3D muss man dagegen wieder über Flächen integrieren, die man eventuell wieder verfeinern muss. Ein weiterer Grund ist der, dass man durch die Identifizierung von $\IR^2$ mit $\IC$ einige Mittel der Funktionentheorie zur Konstruktion von Lösungen benutzen kann. Dieses Mittel fällt im Fall von $\IR^3$ weg. Als letzten Grund muss man noch die Anschaulichkeit einer zweidimensionalen Diskretiserung vorbringen. Man kann durch eine Zeichnung direkt die verwendete Diskretisierung angeben und darin etwa Elemente farblich hervor heben. Auch die Lösung lässt sich noch als 3D-Plot darstellen. Löst man dreidimensional, so muss man immer mit Schnitten arbeiten, oder Lösungen auf Ebenen projezieren, um diese zu visualisieren.
Arbeitet man zudem an einem neuen Verfahren, so ist es immer ratsam zunächst mit zweidimensionalen Fall zu beginnen. Typischerweise ist die Implementierung dort einfacher und weniger umfangreich als im dreidimensionalen Fall. Funktioniert alles in 2D, so kann man versuchen, die Konzepte auf 3D zu verallgemeinern, was üblicherweise auch funktioniert, wie du selbst festgestellt hast.

Viele Grüße
Torsten
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
kalov91
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.10.2017
Mitteilungen: 5
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-23 22:40


Hallo piquer,

Danke erstmal für deine Antwort! Stimmt, im 2D Fall ist natürlich alles etwas "simpler" und mit weniger Rechenaufwand verbunden. Aber meine eigentliche Frage, die ich z.B. beim lesen des oben verlinkten Papers hatte:

Die bewiesenen oder erwähnen Fehlerabschätzungen sind doch unabhängig von der Dimension der Grundmenge Omega, oder sehe ich das falsch?
Also warum gleich am Anfang Omega als Teilmenge des R^2 festlegen?

Beim dem letzten Kapitel, in dem man numerische Beispiele bringt um das Ergebnis zu "bestätigen" wäre eine eine Beschränkung auf R^2 sinnvoll, weil simpler. Aber direkt am Anfang? Hat mich verwirrt, weil ich annahm, dass die Fehlerabschätzungen dann auch nur im 2D-Fall der FEM gelten...




  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Monom
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.05.2015
Mitteilungen: 71
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-11-24 16:34


Hallo kalov91,

ich habe mir das Paper zwar nicht angesehen, könnte mir aber vorstellen, dass es mit Einbettungen zu tun hat.
Bei den Sobolev-Räumen entscheidet auch die Raumdimension, ob eine Einbettung existiert oder kompakt ist.

Viele Grüße
Monom



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
kalov91 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
kalov91 wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2017 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]