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Analysis » Grenzwerte » Limes ln(a)
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Universität/Hochschule Limes ln(a)
Gandagorn
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 08.11.2017
Mitteilungen: 10
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-23 13:52


Hallo Leute, ich hätte eine Frage:

Die Aufgabe lautet:
Bestimmen Sie den Grenzwert von
fed-Code einblenden

Ich hab jetzt das
fed-Code einblenden
mit
fed-Code einblenden
ersetzt.
Wenn ich jetzt statt e
fed-Code einblenden
schreibe, kann ich annehmen, dass die n gleich sind und den lim beim e weglassen, weil ja schon im ursprünglichen Ausdruck der Grenzwert gebildet wird?

Ich hoffe man versteht was ich meine^^
Bin für jeden Tipp dankbar

Mfg Gandagorn






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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 1017
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-23 14:02


Hallo,

hast du schon die Regel von L'Hosptial zur Verfügung?

Ich glaube deine Rechnung und Umschreibung ist nicht hilfreich bei der Bestimmung des Grenzwertes. Kann mich aber auch irren.



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Gandagorn
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 08.11.2017
Mitteilungen: 10
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-23 14:16


Nein haben wir leider nicht

Ich hätt mir das so gedacht:


fed-Code einblenden
ist ja einfach die n-te Wurzel von e^ln(a) (sorry, ich weiß nicht wie man im Formeleditor die n-te Wurzel macht)

also könnte ich das so hinschreiben und alles verschwindet bis auf das lna
fed-Code einblenden



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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 1017
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-11-23 14:40

\(\begingroup\)
Ah, ok. Das ist eigentlich ziemlich clever.

Ich glaube aber, dass du die Umformung mit dem "Limes rausziehen" nicht so ohne weiteres durchführen kannst. Ich wüsste nämlich gerade nicht warum das ganz allgemein möglich sein sollte.
Man müsste wohl zumindest wissen, dass die Folge konvergiert.

Ich denke, dass man die Umformung aber benutzen kann, indem man damit eine Abschätzung macht und dann das Sandwich-Lemma benutzt.

Es ist ja \(\left(1+\frac{\ln(a)}{n}\right)\leq a^{\frac{1}{n}}\)

Damit finden wir direkt eine Abschätzung nach unten (mit deiner obigen Rechnung) die den Grenzwert \(\ln(a)\) hat. Nun müssen wir noch eine Abschätzung nach oben finden, die auch den Grenzwert \(\ln(a)\) liefert.

Edit: Die n-te Wurzel kannst du in LaTeX mit \sqrt[n]{...} darstellen.
Ich kenne mich mit dem Formeleditor nicht so aus, aber der Code ist vermutlich der gleiche.
\(\endgroup\)


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Gandagorn
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 08.11.2017
Mitteilungen: 10
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-23 14:54


Danke für die Hilfe, ich werd es so versuchen



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StrgAltEntf
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Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 3710
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-11-23 15:01

\(\begingroup\)
Hallo Gandagorn,

du kommst zwar zufällig auf das richtige Ergebnis, aber erlaubt ist deine Begründung nicht.

Betrachte doch mal \(\lim 0^{1/n}\). Das ist ja offensichtlich 0, da alle Folgeglieder 0 sind.

Und jetzt ersetze die 0 durch \(\frac1n\), weil ja \(\lim \frac1n=0\) ...
\(\endgroup\)


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Squire
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Dabei seit: 18.08.2015
Mitteilungen: 399
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-11-23 15:11


Gandagorn, darfst du verwenden

fed-Code einblenden
?

Sonst hätte ich noch die Taylorreihe der Exp-Funktion im Angebot, darfst du das verwenden?

Grüße Squire



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Gandagorn
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 08.11.2017
Mitteilungen: 10
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-23 15:19


Danke für die antworten
Hab mir eh gedacht dass es so zu einfach wäre :)

Ja dürfen wir
Taylorreihen haben wir noch nicht



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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 1017
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2017-11-23 15:27

\(\begingroup\)
Du kannst eine Abschätzung nach oben mit dem Binomischen Lehrsatz finden.

Nimm \(\left(1+\frac{\ln(a)}{n^2}\right)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\left(\frac{\ln(a)}{n^2}\right)^k\)

rechne die ersten beiden Summanden aus und schätze den Restterm ab so, dass er beim Grenzübergang rausfliegt. Daher eine Nullfolge bildet.
\(\endgroup\)


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Wauzi
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Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11073
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-11-23 18:17


Hallo,
weitere Möglichkeit:
Schreibe das n als 1/n in den Nenner. Dann hast Du den Differenzenquotient von f(x)=ax an der Stelle 0. Der Grenzwert ist dann die Ableitung in 0.
Wenn das nicht sofort einleuchtet, schreibe 1/n=h und setze damit im Exponenten 1/n=0+h und beachte a0=1
Gruß Wauzi


-----------------
Primzahlen sind auch nur Zahlen



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