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Moderiert von Dixon Orangenschale
Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Optisches Theorem sphärisches Potential
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Autor
Universität/Hochschule J Optisches Theorem sphärisches Potential
Physiker123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-24 12:02

\(\begingroup\)
Hallo zusammen,
ich beschäftige mich gerade mit folgender Aufgabe



Gleichung (3) habe ich schon hergeleitet. Ist es richtig, dass mit \(\theta\) der Streuwinkel bezeichnet wird? Dieser unterscheidet sich vom Polarwinkel \(\vartheta\) über den integriert wurde.

Für das sphärische Potential:

\[V(r)=\begin{cases} V_0 & r<a \\ 0 & sonst. \end{cases}\]
erhalte ich zunächst (unter der Annahme elastischer Streuung):

\[f(\theta)=-\frac{2m}{\hbar^2}V_0\frac{\sin qa-qa\cdot\cos qa}{q^3}~~~~~~~~q=2k\cdot\sin\frac{\theta}{2}\]
Für \(qa\ll 1\) ergibt sich (Taylorentwicklung):

\[f(\theta)=-\frac{2m}{\hbar^2}V_0\frac{\sin qa-qa\cdot\cos qa}{q^3}\approx -\frac{2m}{\hbar^2}V_0\frac{a^3}{3}\]
Der totale Wirkungsquerschnitt ist also:

\[\sigma=\int\vert f(\theta)\vert^2~d\Omega=\int\vert f(\theta)\vert^2~d\theta d\phi=4\pi\cdot\bigg(\frac{2m}{\hbar^2}V_0\frac{a^3}{3}\bigg)^2\]
Mit dem optischen Theorem würde man erhalten:

\[\sigma=\frac{4\pi}{k} Im[f(\theta=0)]=0\]
da die Streuamplitude rein reell ist.


Sind meine Überlegungen richtig? Vielen Dank im voraus.







\(\endgroup\)


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Spock
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Aus: Schi'Kahr/Vulkan
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-24 14:57

\(\begingroup\)
Hallo!

2017-11-24 12:02 - Physiker123 im Themenstart schreibt:
...
Ist es richtig, dass mit \(\theta\) der Streuwinkel bezeichnet wird? Dieser unterscheidet sich vom Polarwinkel \(\vartheta\) über den integriert wurde.
...

Ja, schau auch mal hier

Das hier dagegen
2017-11-24 12:02 - Physiker123 im Themenstart schreibt:
...
Der totale Wirkungsquerschnitt ist also:

\[\sigma=\int\vert f(\theta)\vert^2~d\Omega=\int\vert f(\theta)\vert^2~d\theta d\phi=4\pi\cdot\bigg(\frac{2m}{\hbar^2}V_0\frac{a^3}{3}\bigg)^2\]

stimmt so nicht.
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Gruß
Juergen
\(\endgroup\)


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Physiker123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-24 15:46

\(\begingroup\)
Hallo und danke für deine Nachricht.

Ok. Die Sache mit dem Streu- bzw. Polarwinkel wäre aus der Welt geschafft. Aber...

In dem alten Beitrag wird so weit ich sehen kann nicht die Näherung \(qa \ll 1 \) verwendet. Das führt in meinem Fall zu einer konstanten Streuamplitude. Wenn ich wie du sagst über das Raumwinkelelement:

\[d\Omega=\sin\theta d\theta d\phi\]
integriere ergibt sich der Vorfaktor \(4\pi\). Da in einem späteren Aufgabenteil der totale Wirkungsquerschnitt mit Fermis goldener Regel ermittelt werden soll habe ich ihn hier explizit ausgerechnet.

\(\endgroup\)


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Spock
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-11-24 21:36


Hallo Florian!

Grundsätzlich ist es immer sinnvoll, den gesamten Aufgabentext also hier auch den Teil a) und den Teil b) im Originalwortlaut aufzuschreiben, :-)

Der Hauptteil von Teil c) besteht doch darin, die erste Bornsche Näherung für RADIALSYMMETRISCHE Potentiale (Gleichung (3)) herzuleiten. Offenbar ist diese Streuamplitude reell und führt zu einem nichtverschwindenden totalen Wirkungsquerschnitt, d.h. die erste Bornsche Näherung verletzt in diesem Fall das Optische Theorem. Das sollst Du wohl noch einmal explizit für das gegebene radialsymmetrische Potential zeigen, indem Du den totalen Wirkungsquerschnitt für diesen Fall ausrechnest.

Daß das Optische Theorem hier verletzt wird, ist nicht verwunderlich, da es sich bei Gleichung (3), wie der Name schon sagt, um eine Näherung handelt. Wenn man zur Streuamplitude noch die zweite Bornsche Näherung dazu nimmt, sieht die Sache schon anders aus, das nur nebenbei.

Gruß
Juergen
   



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Physiker123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-25 11:14


Du hast recht. In Zukunft werde ich mich daran halten. Hier also die Aufgabenstellung:






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Spock
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-11-25 13:54


Hallo Florian!

Prima, das vervollständigt das Bild. Demnach hast Du die Teilaufgabe c) was den totalen Wirkungsquerschnitt und das Optische Theorem angeht, gelöst. Ich gehe mal davon aus, daß Du auch Teil a) und Teil b), sowie Gleichung (3) von Teil c) geschafft hast, :-)

Gruß
Juergen
 



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Physiker123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-25 14:09

\(\begingroup\)
(2017-11-24 14:57 - Spock in <a href=viewtopic.php?topic=232489&

(2017-11-24 12:02 - Physiker123 im <a

Das hier dagegen
2017-11-24 12:02 - Physiker123 im Themenstart schreibt:
...
Der totale Wirkungsquerschnitt ist also:

\[\sigma=\int\vert f(\theta)\vert^2~d\Omega=\int\vert f(\theta)\vert^2~d\theta d\phi=4\pi\cdot\bigg(\frac{2m}{\hbar^2}V_0\frac{a^3}{3}\bigg)^2\]

stimmt so nicht.
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Also ist der von mir berechnete totale Wirkungsquerschnitt korrekt?
\(\endgroup\)


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Spock
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-11-28 12:29


Hallo Florian!

Ja, das Ergebnis stimmt jetzt, lediglich der mittlere Teil Deines Aufschriebes ist immer noch nicht richtig. Ich sehe jetzt auch warum: Die Gleichung (4) des Aufgabenblattes ist nicht richtig, da fehlt ein sinus unterm Integral. Es muß heißen

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Gruß
Juergen



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Physiker123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-28 12:50


Achso ja das ist richtig. Hab ich total vergessen. Danke



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