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Mathematik » Geometrie » Herleiten einer Gleichung für praktisches Problem (EM Wellen, time of flight)
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Beruf Herleiten einer Gleichung für praktisches Problem (EM Wellen, time of flight)
TomBuilder
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.11.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-24 16:29


Hallo Zusammen

ich benötige Hilfe beim Finden einer Gleichung für folgendes Problem. Beim abgebildeten Aufbau (siehe Ende des Beitrages) wird mittels Antenne TX ein EM Welle gesendet welche von einer anderen Antenne RX empfangen wird. Das Signal wird dabei ab einer bestimmten Distanz y reflektiert und dessen Laufzeit 2*t gemessen. Aus der Messung soll die Ausbreitungsgeschwindigkeit v2 berechnet werden. Das Signal durchläuft dabei eine Schicht mit der Dicke y1 und der Ausbreitungsgeschwindigkeit v1. Was die Lösung nicht trivial macht.

Folgende Parameter sind gegeben:
 - Halber Abstand der Antennen x
 - Dicke y1 und Ausbreitungsgeschwindigkeit v1 der ersten Schicht
 - Dicke y2 der zweiten Schicht
 - Halbe time of Flight t

Folgendes konnte ich bereits aufstellen:
 - y = i*y1 + i*y2
 - y1’ = a + i*y1
 - y2’ = (x-a) + i*y2
 - y’ = y1’ + y2’
 - t = |y1’*v1|+|y2’*v2|

Ich musste eine Variable a einführen welche die Länge x unterteilt. Leider ist die Gleichung unterbestimmt. Eventuell liesse sich die Gleichung mit Einbeziehen von en.wikipedia.org/wiki/Snell%27s_law lösen nur fehlt mir hier der Ansatz. Kann mit jemand bei diesem Problem auf die Sprünge helfen?



Gruss Tom



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Kornkreis
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Dabei seit: 02.01.2012
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-24 23:13

\(\begingroup\)
Hi Tom, willkommen im Forum!

Du hast das Problem schon gut analysiert, man muss die Brechung berücksichtigen, um die Wegstrecken in den beiden Medien ausrechnen zu können.
Indem ich die Bezeichnungen der Skizze des Wikipediaartikels übernehme, gilt \(\sin \theta_1 / \sin \theta_2 = v_1/v_2\) und hier weiterhin \(\sin \theta_1 = a/ y_1' \) und \(\sin \theta_2= (x-a)/y_2'.\) Ab hier hat man genug Gleichungen, die man aber noch geeignet umformen und ineinander einsetzen muss, um alle Unbekannten zu eliminieren. Kommst du damit schon weiter?

\(\endgroup\)


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TomBuilder
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.11.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-27 20:07


Hallo Kornkreis,

vielen Dank für die rasche Antwort. Dank deiner Hilfe habe ich die Gleichung nun beisammen. Ich denke man muss den Betrag von y1' und y2' nehmen (siehe Gleichung 3)

1) y1'= a + i*y1
2) y2'= x - a + i*y2
3) (a / |y1'|) / ((x - a) / |y2'|) = v1 / v2
4) t = |y1'|/v1 + |y2'|/v2

Nach Einsetzten von 1) und 2) in 3) und 4) erhält man:

(a / sqrt(a**2 + y1**2)) / ((x - a) / sqrt((x - a)**2 + y2**2)) = v1 / v2
t = sqrt(a**2 + y1**2)/v1 + sqrt((x - a)**2 + y2**2)/v2

Nach a auflösen einsetzten und nach v2 auflösen. Ich vermute, dass dies nur mit einem sehr grossen Aufwand möglich ist. Gibt es eventuell einen einfacheren Ansatz?



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Kornkreis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-11-28 01:56

\(\begingroup\)
Ich habe gerade an dem Gleichungssystem herumprobiert und glaube auch nicht, dass es hierfür eine einfache Lösung gibt. Auch das Programm Mathematica findet keine übersichtliche Formel für $v_2$ (zudem kommen dort im Ergebnis selbst noch unbestimmte Terme wie Nullstellen von Polynomen achten Grades vor). Das lässt vermuten, dass andere Herangehensweisen, z.B. unter Verwendung von Winkelfunktionen im Gleichungssystem, ebenfalls kein einfaches Ergebnis für $v_2$ liefern werden.

Numerisch lässt sich das Gleichungssystem aber auf jeden Fall lösen, d.h. wenn du konkrete Werte gegeben hast, kann ein Computer $v_2$ berechnen.
\(\endgroup\)


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TomBuilder
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-29 19:35


das habe ich mir fast gedacht. Zumindest lässt sich die Gleichung nach a ableiten und halbwegs effizient numerisch lösen. Vielen Dank für deine Unterstützung.



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werner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-12-02 14:18


für Masochisten und/oder Puristen:

die Lösung läßt sich auch geschlossen angeben, da man eine Gleichung vom Grad 4 erhält  smile



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Kornkreis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-12-03 01:26


Hi Werner, hast du Lust Grundzüge deiner Rechnung hier reinzustellen (z.B. auch als Foto, wenn du es auf Papier hast und nicht abtippen willst)? Meine Lösungsversuche führten auf so eklige Terme, dass ich nicht mehr daran geglaubt habe, den Grad auf 4 reduzieren zu können.

[zur Information: Die Nullstellen eines Polynomes vom Grad kleiner als fünf lassen sich mit einer geschlossenen Formel angeben (für Grad zwei ist das die p-q-Formel oder Mitternachtsformel). Auch wenn bei praktischen Problemen die numerische Bestimmung der Nullstellen oft effizienter ist, ist es aus mathematischer Sichtweise interessant, eine geschlossene Lösungsformel zu haben]



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werner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-12-03 09:56


werde ich machen, heute Nachmittag oder am Abend



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TomBuilder
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-03 15:42


Hallo Werner, die Lösung würde mich auch interessieren.




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werner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-12-03 16:19

\(\begingroup\)
2017-11-24 23:13 - Kornkreis in Beitrag No. 1 schreibt:
Hi Tom, willkommen im Forum!

Du hast das Problem schon gut analysiert, man muss die Brechung berücksichtigen, um die Wegstrecken in den beiden Medien ausrechnen zu können.
Indem ich die Bezeichnungen der Skizze des Wikipediaartikels übernehme, gilt \(\sin \theta_1 / \sin \theta_2 = v_1/v_2\) und hier weiterhin \(\sin \theta_1 = a/ y_1' \) und \(\sin \theta_2= (x-a)/y_2'.\) Ab hier hat man genug Gleichungen, die man aber noch geeignet umformen und ineinander einsetzen muss, um alle Unbekannten zu eliminieren. Kommst du damit schon weiter?



hallo Kornkreis et al smile

ich gehe davon aus, dass deine Gleichungen richtig sind, dann folgt:

fed-Code einblenden

ich hoffe, dass nicht ich den "Dreher" Zähler-Nenner hatte oder habe smile

(zum Bilderl: rot (1) schwarz quadrierte Funktion)
 


wenn doch ich den dreher gehabt haben sollte, bitte ich euch um Verzeihung eek

\(\endgroup\)


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Kornkreis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2017-12-03 19:09

\(\begingroup\)
Hallo Werner, super, danke! Hatte das übersehen, dass man nicht sofort nach $v_2$ umstellen muss, sondern die Bestimmung von $a$ genügt, und das geht mit deiner Gleichung (1) und der Lösungsformel von Ferrari. Wenn $a$ berechnet ist, kann man es z.B. in die Gleichung für $t$ einsetzen und kriegt $v_2$ raus  smile
\(\endgroup\)


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TomBuilder
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-04 08:56


Hallo Werner, danke für deinen eleganten Ansatz. Sobald ich Zeit habe werde ich deinen Ansatz implementieren und testen. Ich werde mich dann wieder melden.



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werner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2017-12-04 11:22


2017-12-04 08:56 - TomBuilder in Beitrag No. 11 schreibt:
Hallo Werner, danke für deinen eleganten Ansatz. Sobald ich Zeit habe werde ich deinen Ansatz implementieren und testen. Ich werde mich dann wieder melden.
du könntest ja Testdaten hier reinstellen,
ich möchte auch testen smile



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TomBuilder
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-04 16:19


Ich habe ein python script welches y2 berechnet (v2 ist in diesem Beispiel schon bekannt). Die verwendeten und berechneten parameter sind wie folgt:

x=0.036000
v1=299792458.000000
v2=171660662.090660
y1=0.007000
t=4.395000e-10, a=7.266897e-03, y2=0.063474
t=7.940000e-10, a=3.354823e-03, y2=0.127812
t=9.580000e-10, a=2.723881e-03, y2=0.156761
python
from numpy import *
import scipy.constants
 
#calculate time of fligth (t)
def calculate_t(x, a, y1, y2, v1, v2):
  return sqrt(a**2 + y1**2)/v1 + sqrt((x - a)**2 + y2**2)/v2
 
#calculate depth (y2)
def calculate_y2(x, a, y1, v1, v2):
  return -(((a - x)*sqrt(a**2*v1**2 - a**2*v2**2 + v1**2*y1**2))/(a*v2))
 
# dt/da
def da(t, x, a, y1, v1, v2):
  return (2*(-a/(v1*sqrt(a**2 + y1**2)) - ((2*(a - x)*(a**2*v1**2 - a**2*v2**2 + 
    v1**2*y1**2))/(a**2*v2**2) + ((x - a)**2*(2*a*v1**2 - 2*a*v2**2))/(a**2*v2**2) - 
    (2*(x - a)**2*(a**2*v1**2 - a**2*v2**2 + v1**2*y1**2))/(a**3*v2**2) - 
    2*(x - a))/(2*v2*sqrt(((x - a)**2*(a**2*v1**2 - a**2*v2**2 + v1**2*y1**2))/(a**2*v2**2) + 
    (a - x)**2)))*(-sqrt(((x - a)**2*(a**2*v1**2 - a**2*v2**2 + v1**2*y1**2))/(a**2*v2**2) + 
    (a - x)**2)/v2 - sqrt(a**2 + y1**2)/v1 + t))
 
def least_square_t(t, x, a, y1, v1, v2):
  return (t -  calculate_t(x, a, y1, calculate_y2(x, a, y1, v1, v2), v1, v2))**2
 
x = 0.072/2
v1 = scipy.constants.c
v2 = scipy.constants.c / sqrt(3.05)
y1 = 0.007
 
def calculate_y2_newton(t):
  a = 0.0001
  n = 0
  while True:
    an = a - least_square_t(t, x, a, y1, v1, v2)/da(t, x, a, y1, v1, v2)
    if abs(an - a) < 1e-6 or n > 100:
      break
    a = an
    n = n + 1
 
  print('t=%e, a=%e, y2=%f' % (t, a, calculate_y2(x, a, y1, v1, v2)))
  return a, calculate_y2(x, a, y1, v1, v2)
 
print('x=%f' % x)
print('v1=%f' % v1)
print('v2=%f' % v2)
print('y1=%f' % y1)
 
 
calculate_y2_newton(0.879e-9/2)
calculate_y2_newton(1.588e-9/2)
calculate_y2_newton(1.916e-9/2)
 



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werner
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mit den Werten (1) erhalte ich

a= 0.0072658



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