Die Mathe-Redaktion - 15.12.2017 17:07 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
ListenpunktSchwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden oder den Newsletter bestellen.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 617 Gäste und 29 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Lineare Unabhängigkeit » Lineare Unabhängigkeit durch Gleichungssystem ausdrücken
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Lineare Unabhängigkeit durch Gleichungssystem ausdrücken
mathletic
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.11.2013
Mitteilungen: 1282
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-25 00:22

\(\begingroup\)
Gegeben seien die Vektoren \(v_1=(c,0,1)^T, \ v_2=(2,4,0)^T, \ v_3=(4,4,4)^T\in\mathbb{R}^3\) mit dem Parameter \(c\in \mathbb{R}\).
Man formuliere die Bedingung \(a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3=0 \Rightarrow a_1=a_2=a_3=0\) für die lineare Unabhängigkeit von \(v_1;v_2;v_3\) als eine Bedingung an die Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystem in den reellen Variablen \(a_1;a_2;a_3\).


Ih habe folgendes gemacht:

Der Rechenansatz basiert auf der Definition \(a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3=0\). Wir setzen die Vektoren in die Definition ein, so erhalten wir \(a_1\begin{pmatrix}c \\ 0\\ 1\end{pmatrix}+a_2\begin{pmatrix}2\\ 4\\ 0\end{pmatrix}+a_3\begin{pmatrix}4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}\)
Wir bekommen also folgendes Gleichungssystem:
\( ca_1+2a_2+4a_3=0 \\ 4a_2+4a_3=0 \\ a_1+4a_3=0\)
Besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, dann sind die Vektoren linear abhängig.
Gibt es für das Gleichungssystem nur eine einzige Lösung, nämlich \(a_1=a_2=a_3=0\), so sind die Vektoren linear unabhängig.

Ist das richtig? Könnte ich etwas verbessern?
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StefanVogel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 2870
Aus: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-25 04:13

\(\begingroup\)
Hallo mathletic,
das stimmt soweit. Für nachfolgende Rechenschritte ist möglicherweise Matrixschreibweise

\( \begin{pmatrix}c & 2 & 4 \\ 0 & 4 & 4 \\ 1 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \)

besser geeignet, doch dein Gleichungssystem

\( ca_1+2a_2+4a_3=0 \\ 4a_2+4a_3=0 \\ a_1+4a_3=0\)

ist genauso richtig.

Viele Grüße,
  Stefan
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
mire2
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.08.2006
Mitteilungen: 3933
Aus: Köln-Koblenz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-11-25 09:15

\(\begingroup\)
Hi mathletic!  smile


Besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, dann sind die Vektoren linear abhängig.
Gibt es für das Gleichungssystem nur eine einzige Lösung, nämlich \(a_1=a_2=a_3=0\), so sind die Vektoren linear unabhängig.

Das ist ja schon richtig, aber für diese Aussage hätte es des konkreten Gleichungssystems nicht bedurft.  cool


Ist das richtig? Könnte ich etwas verbessern?

Ja und ja.
Du solltest vermutlich in Abhängigkeit von Deinem Parameter c zu einer etwas konkreteren Aussage kommen.

Gruß
mire2


-----------------
Beherrscher der Meta-Sprache
Narr und Weiser des Clans
Einziges Mitglied des Ältestenrates
Bester Freund Metas
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
mathletic
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.11.2013
Mitteilungen: 1282
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-25 09:36


2017-11-25 09:15 - mire2 in Beitrag No. 2 schreibt:
Das ist ja schon richtig, aber für diese Aussage hätte es des konkreten Gleichungssystems nicht bedurft.  cool

Wie kann man das dann formulieren?


2017-11-25 09:15 - mire2 in Beitrag No. 2 schreibt:
Du solltest vermutlich in Abhängigkeit von Deinem Parameter c zu einer etwas konkreteren Aussage kommen.


Wir haben das Gleichungssystem
<math>ca_1+2a_2+4a_3=0 \\ 4a_2+4a_3=0 \\ a_1 + 4a_3=0</math>

Sodass die Vektoren linear abhängig sind, muss es eine Lösung geben außer die triviale <math>a_1=a_2=a_3=0</math>.

Von der dritten Gleichung des Gleichungssystems bekommen wir <math>a_1+4a_3=0 \Rightarrow a_1=-4a_3</math>.

Von der zweiten Gleichung des Gleichungssystem bekommen wir <math>4a_2+4a_3=0 \Rightarrow 4a_2=-4a_3 \Rightarrow a_2=-a_3</math>.

Diese zwei setzen wir in der ersten Gleichung des Gleichungsystems ein und bekommmen <math>ca_1+2a_2+4a_3=0\Rightarrow c\cdot (-4a_3)+2\cdot (-a_3)+4a_3=0 \Rightarrow a_3(-2+c)=0 (*)</math>

Da es eine Lösung geben muss außer die triviale <math>a_1=a_2=a_3=0</math>, wählen wir <math>a_3=1</math>. Und somit haben wir dann <math>a_1=-4</math> und <math>a_2=-1</math>, also die Lösung <math>(a_1, a_2, a_3)=(-4, -1, 1)</math>.

Von der Relation <math>(*)</math> bekommen wir dann <math>-2+c=0 \Rightarrow c=2</math>.

Also für <math>c=2</math> sind die Vektoren <math>v_1, v_2, v_3</math> linear abhängig.


Ist alles richtig?



Das Gleichungssystem kann keine, eine oder unendliche Lösungen haben.

Kann man etwas sagen über die lineare Abhängigkeit wenn das Gleichungssystem keine Lösungen hat?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
DerEinfaeltige
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 1207
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-11-25 09:53


2017-11-25 09:36 - mathletic in Beitrag No. 3 schreibt:

Das Gleichungssystem kann keine, eine oder unendliche Lösungen haben.

Kann man etwas sagen über die lineare Abhängigkeit wenn das Gleichungssystem keine Lösungen hat?

Homogene (lineare) Gleichungssysteme haben immer mindestens eine Lösung, nämlich den Nullvektor.

Für unlösbare, lineare Gleichungssysteme kann man über die lineare Abhängigkeit durchaus auch etwas sagen.
Überlege dir einfach, wie die obere Dreiecksform des LGS bzw. seiner Matrix aussieht, wenn es keine Lösung gibt.


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
lula
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 10605
Aus: Sankt Augustin NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-11-25 11:56


Hallo
 beim ausrechnen von c ist dein letzter fiel falsch. du hattest
  fed-Code einblenden
-4*a_3*c-2a_3+4a_3=0 das ist noch richtig. rechne den nächsten Schritt nach.
fed-Code einblenden
bis dann, lula



-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
mathletic
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.11.2013
Mitteilungen: 1282
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-25 21:43


2017-11-25 09:53 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 4 schreibt:
Homogene (lineare) Gleichungssysteme haben immer mindestens eine Lösung, nämlich den Nullvektor.

Für unlösbare, lineare Gleichungssysteme kann man über die lineare Abhängigkeit durchaus auch etwas sagen.
Überlege dir einfach, wie die obere Dreiecksform des LGS bzw. seiner Matrix aussieht, wenn es keine Lösung gibt.

Ok! Danke!  smile  


2017-11-25 11:56 - lula in Beitrag No. 5 schreibt:
Hallo
 beim ausrechnen von c ist dein letzter fiel falsch. du hattest
  fed-Code einblenden
-4*a_3*c-2a_3+4a_3=0 das ist noch richtig. rechne den nächsten Schritt nach.
fed-Code einblenden

Oh ja! Danke!  smile



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
mathletic hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
mathletic hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2017 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]