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Mathematik » Topologie » Teilmenge einer Mannigfaltigkeit wieder ein solche: Offen nötig?
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Autor
Universität/Hochschule J Teilmenge einer Mannigfaltigkeit wieder ein solche: Offen nötig?
ruphi
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Dabei seit: 24.11.2017
Mitteilungen: 2
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-25 04:08

\(\begingroup\)
Hallo liebe Bewohner des Matheplaneten,

ich habe eine (wahrscheinlich triviale) Frage zu folgender Aussage in unserer Topologie-Vorlesung:
fed-Code einblenden
Dass diese stimmt ist mir klar, jedoch nicht die Notwendigkeit der Offenheit der Teilmenge.

Zum Vergleich unsere Def. von Mannigfaltigkeiten:
fed-Code einblenden

Nun erfüllt ja jede beliebige Teilmenge \(A\subset \mathcal{M}\), versehen mit der Teilraum-Topologie \(\mathcal{O}_A\), offensichtlich Bedingung (2). Bed. (1) bekommt man, indem man diejenigen Homöomorphismen \(\varphi : U\rightarrow\varphi (U)\) nimmt, deren Definitionsbereiche sich mit A schneiden, und sie entsprechend einschränkt: \(\varphi_{\big|{U \cap A}} : {U \cap A}\rightarrow\varphi (U\cap A)\). Dies sind wieder Homöomorphismen bzgl. der Teilraumtopologien \(\mathcal{O}_{U \cap A}\) bzw. \(\mathcal{O}_{\varphi (U \cap A)}\). Alle Definitionsbereiche sind weiterhin offene Umgebungen ihrer Punkte \(p\in A\) bzgl. \(\mathcal{O}_{U \cap A}\).

Auf diese Weise lässt sich doch jede - auch nicht offene - Teilmenge wieder als Mannigfaltigkeit auffassen, oder nicht?

Die einzige Möglichkeit, wie ich mir vorstellen kann, dass Offenheit notwendig wird, ist die folgende: In der Definition fehlt in (1) die Forderung, dass \(\varphi\ (U)\) offen in \(\mathbb{R}^n \) ist.
Dies würde dann bei Betrachtung von A als Mannigfaltigkeit die Notwendigkeit ergeben, dass \(\varphi (U\cap A)\) offen in \(\mathbb{R}^n\) ist, was sich durch offenes A zeigen ließe.

Ich wäre sehr dankbar, wenn jemand von euch meine Gedanken dazu bestätigen oder verwerfen könnte :)

Viele Grüße
ruphi
\(\endgroup\)


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kurtg
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.08.2008
Mitteilungen: 681
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-25 07:44

\(\begingroup\)
Hi,

der $\mathbb{R}^2$ ist eine Mannigfaltigkeit, das Achsenkreuz aber nicht.
\(\endgroup\)


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dromedar
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 4601
Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-11-25 09:10

\(\begingroup\)
Hallo ruphi,

willkommen im Forum.

2017-11-25 04:08 - ruphi im Themenstart schreibt:
Die einzige Möglichkeit, wie ich mir vorstellen kann, dass Offenheit notwendig wird, ist die folgende: In der Definition fehlt in (1) die Forderung, dass \(\varphi\ (U)\) offen in \(\mathbb{R}^n \) ist.

Genauso ist es.

Das bestätigt auch ein Blick in die Wikipedia und das erst beste Skript, das mir zu diesem Thema über den Weg gelaufen ist.

2017-11-25 07:44 - kurtg in Beitrag No. 1 schreibt:
der $\mathbb{R}^2$ ist eine Mannigfaltigkeit, das Achsenkreuz aber nicht.

Eben diese Unterscheidung leistet die Definition aus dem Startbeitrag nicht.

Grüße,
dromedar
\(\endgroup\)


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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 3158
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-11-25 09:18

\(\begingroup\)
$\varphi(U) \cap \varphi(A)$ ist nicht wohldefiniert, weil es $\varphi(A)$ nicht ist. Aber das kann man abändern zu $\varphi(U \cap A)$. So geht der Beweis dann durch, wenn $A$ offen ist.

Ein anderes Gegenbeispiel ist übrigens das Intervall $[0,1] \subseteq \IR$. Immerhin ist $[0,1]$ eine Mannigfaltigkeit mit Rand. Richtig schief geht es z.B. bei $\IQ \subseteq \IR$.
\(\endgroup\)


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ruphi
Neu Letzter Besuch: im letzten Monat
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Mitteilungen: 2
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-26 22:40


2017-11-25 09:10 - dromedar in Beitrag No. 2 schreibt:
willkommen im Forum.

2017-11-25 04:08 - ruphi im Themenstart schreibt:
Die einzige Möglichkeit, wie ich mir vorstellen kann, dass Offenheit notwendig wird, ist die folgende: In der Definition fehlt in (1) die Forderung, dass <math>\varphi\ (U)</math> offen in <math>\mathbb{R}^n </math> ist.

Genauso ist es.

Danke dromedar und insbes. danke für die Beantwortung meiner Frage smile

2017-11-25 09:10 - dromedar in Beitrag No. 2 schreibt:
Das bestätigt auch ein Blick in die Wikipedia und das erst beste Skript, das mir zu diesem Thema über den Weg gelaufen ist.

Selbstredend habe ich zahlreiche Definitionsvarianten und Skripten (auch die verlinkten) vor meinem Forum-Posting gelesen. Jedoch gehe ich grundsätzlich eher von einem Fehler auf meiner Seite aus denn auf der meines (renommierten) Professors..
Umso schöner die Bestätigung von dir zu erhalten  wink

2017-11-25 09:18 - Triceratops in Beitrag No. 3 schreibt:
<math>\varphi(U) \cap \varphi(A)</math> ist nicht wohldefiniert, weil es <math>\varphi(A)</math> nicht ist. Aber das kann man abändern zu <math>\varphi(U \cap A)</math>.

Thx; letzteres war gemeint, ersteres stammte noch aus einer anderen Überlegung.



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