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Mathematik » Topologie » Smash-Produkt, verbundene Summen
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Universität/Hochschule Smash-Produkt, verbundene Summen
Aegon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-12-07 13:19


Hallo,

ich habe ein großes Problem mit dem Verständnis von Quotiententopologien, konkreter der Herleitung des Smash-Produktes über die verbundene Summe:

Zum Einen die Definition einer verbundenen Summe:
X,Y top. Räumje, x0,y0∈X,Y. Dann steht im Skript:
Betrachte A={x0,y0}⊂X⨆Y.
(Diese Sache verstehe ich schonmal nicht ganz, das gilt doch dann, wenn man definiert
X⨆Y=X×{y0}⋃{x0}×Y. Das ist aber doch nicht selbstverständlich, oder?)
Man definiert nun
X⋁Y:=X⨆Y/A=X⨆Y/x0∼y0
Dies nennt man die verbundene Summe von X und Y.
Diese Menge kann ich mir schon nicht veranschaulichen. Wenn man die Definition von X⨆Y von oben nimmt, dann sind doch x0 und y0 gar keine Elemente dieser Menge, wie kann man sie in der Menge identifizieren?
Wahrscheinlich ist es einfach eine etwas ungenaue Schreibweise und man sollte es "intuitiv" verstehen, aber ich verstehe es einfach nicht. Dazu steht noch, dass
S1⋁S1 von der Form zweier sich berührender Kreise ist... Das kann ich mir auch nicht veranschaulichen (da ich ja auch die Menge überhaupt nicht verstehe).

Ich hoffe sehr, dass sich jemand die Zeit nimmt, um mich aufzuklären...



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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-12-07 14:02

\(\begingroup\)
Hi,

die disjunkte Vereinigung $X\sqcup Y$ zweier Mengen ist dadurch charakterisiert, dass sie eine Kopie von $X$ und eine Kopie von $Y$ enthält, welche keine gemeinsamen Elemente haben, und die Vereinigung dieser beiden (zueinander disjunkten) Kopien ist.

Genauer: es gibt injektive Abbildungen $i_X:X\rightarrow X\sqcup Y$ und $i_Y:Y\rightarrow X\sqcup Y$ so, dass $i_X(X)\cap i_Y(Y)=\emptyset$ und $i_X(X)\cup i_Y(Y)=X\sqcup Y$.

Um zu zeigen, dass es eine solche Menge $X\sqcup Y$ tatsächlich gibt, kann man $X$ und $Y$ künstlich disjunkt machen, indem man sie z.B. durch $X\times\{0\}$ und $Y\times\{1\}$ ersetzt und $X\sqcup Y=\big(X\times\{0\}\big)\cup\big(Y\times\{1\}\big)$ definiert. (So was ähnliches schreibst du schon, aber das verstehe ich nicht ganz.)

Aber sobald man die Existenz von $X\sqcup Y$ bewiesen hat (was dein Skript voraussetzt), identifiziert man $i_X(X)$ mit $X$ und $i_Y(Y)$ mit $Y$ und löst sich von der Konstruktion.

Die Topologie auf $X\sqcup Y$ wird dann logischerweise so gewählt, dass die Teilraumtopologie auf $i_X(X)$ äquivalent ist zur ursprünglichen Topologie von $X$ (und das selbe für $Y$), d.h. dass $i_X$ ein Homöomorphismus von $X$ auf $i_X(X)$ ist. Dass es so eine Topologie gibt, muss man auch beweisen.

\(\endgroup\)


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Aegon
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-07 15:36

\(\begingroup\)
Hey,

danke schonmal dafür.
Ich habe die Summentopologie so einigermaßen verstanden (wobei ich nicht wusste dass man es so verallgemeiern kann, wir hatten das einfach als die Vereinigung der Kreuzprodukte der Mengen mit ihrem Index).
Ich verstehe allerdings dann die Definition für diese verbundene Summe nicht...
So wie ich das verstehe brauche ich in dieser Definition des Skriptes nicht genau zu wissen wie die Summe konstruiert wird und der Quotientenraum ist dann einfach die Vereinigung (die disjunkte aber das ignoriere ich sozusagen) wobei x_0 und y_0 auf einen Punkt zusammengezogen werden. Wäre das so richtig? Wenn ja, dann verstehe ich schonmal zumindest diesen ersten Teil.
Dann verstehe ich aber noch nicht ganz wieso dann diese verbundene Summe von $S^1 \bigvee S^1$ zwei Kreise, die sich an einem Punkt berühren darstellt..
Ich habe generell Schwierigkeiten damit Quotientenräume richtig zu verstehen..
\(\endgroup\)


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darkhelmet
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-12-07 17:36

\(\begingroup\)
Ist dir denn klar, dass $S^1\sqcup S^1$ zwei nebeneinander liegende Kreise darstellt?

Quotientenbildung durch Identifizierung von Punkten entspricht in der Anschauung dem Zusammenkleben dieser Punkte. Als mir das zum ersten Mal präsentiert wurde, fand ich das auch nicht so anschaulich. Ich finde immer die Erkenntnis sehr befreiend, dass man das nicht glauben muss, sondern es einfach nachprüfen kann:

Du kannst in der Ebene einen Kreis um $(0,0)$ und einen um $(0,2)$ nehmen, jeweils mit Radius $1$. Die Vereinigung der beiden Kreise mit der von $\mathbb{R}^2$ geerbten Unterraumtopologie ist homöomorph zu $S^1\vee S^1$.

Der Beweis ist nicht schwer, wenn du willst, kann ich dir ein zwei Hinweise dazu geben.
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Aegon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-08 16:35

\(\begingroup\)
Hallo,

"Ist dir denn klar, dass S1⊔S1 zwei nebeneinander liegende Kreise darstellt?"

Nicht direkt, also es müssen zwei Kreise sein, die sich nicht berühren, da es ja eine disjunkte Summe ist, aber wieso müssen sie nebeneinander liegen? Wieso nicht z.B. einer um (0,0) und der andere um (10,10).

Das mit dem Zusammenkleben ist mir auch noch nicht so ganz klar, also sagen wir die Punkte berühren sich, so wie in dem Beispiel, wieso muss ich sie dann erst "kleben" und wenn sie sich nicht berühren, z.B. sagen wir die beiden Kreise um (0,0) und (2,0). Sagen wir der erste Kreis hat als Basispunkt (-1,0) und der andere (1,0). Wie soll ich diese Punkte zusammenkleben?

Also bei der Homöomorphie würde man ja einfach einen Kreis auf S^1 legen unde den anderen ebenfalls und den Basispunkt auf den Basispunkt abbilden, oder?
Ich muss dazu sagen, dass wir in der Topologie VL nicht konkret S^1 definiert haben, die Definition kenne ich nur aus metrischen Räumen.

Ich muss eigentlich auch so etwas graphisches gar nicht beweisen, ich muss nur zeigen dass zwei stetige Funktionen, die Basispunkte erhalten $f:X \rightarrow X', g: Y \rightarrow Y'$ eine stetige Funktion induzieren
$f \bigwedge g: X \bigwedge Y \rightarrow X' \bigwedge Y'$.
Aber mir fehlt einfach ganz stark das Verständnis für dieses Thema :(
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darkhelmet
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.03.2007
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Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-12-08 18:09

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Das mit den Basispunkten verwirrt mich etwas. Ist das die erste Topologie-Vorlesung in eurem Studium und ihr macht alles von Anfang an in der Kategorie der punktierten topologischen Räume?

2017-12-08 16:35 - Aegon in Beitrag No. 4 schreibt:
Nicht direkt, also es müssen zwei Kreise sein, die sich nicht berühren, da es ja eine disjunkte Summe ist, aber wieso müssen sie nebeneinander liegen? Wieso nicht z.B. einer um (0,0) und der andere um (10,10).

Die liegen ja auch nebeneinander. smile Ich meine damit, sie dürfen sich nicht berühren oder schneiden.

2017-12-08 16:35 - Aegon in Beitrag No. 4 schreibt:
Das mit dem Zusammenkleben ist mir auch noch nicht so ganz klar, also sagen wir die Punkte berühren sich, so wie in dem Beispiel, wieso muss ich sie dann erst "kleben"

Musst du nicht. Dass die Kreise sich berühren, ist das Resultat des "Klebens".

2017-12-08 16:35 - Aegon in Beitrag No. 4 schreibt:
und wenn sie sich nicht berühren, z.B. sagen wir die beiden Kreise um (0,0) und (2,0). Sagen wir der erste Kreis hat als Basispunkt (-1,0) und der andere (1,0).

Wenn $S^1$ für dich ein Kreis mit einem Basispunkt ist, dann ist die Aussage natürlich so gemeint, dass $S^1\vee S^1$ zwei Kreisen entspricht, die sich in ihren jeweiligen Basispunkten berühren.

Vielleicht ist dir folgendes noch nicht klar: Das "Kleben" ist natürlich in der Regel begleitet von stetigen Verformungen wie "Bewegen", "Auseinanderziehen", "Biegen", etc.

Das einfachste Beispiel ist, dass ein Kreis homöomorph ist zu $[0,1]/\sim$, wobei $0\sim 1$ (und sonst nichts). Ich habe dabei eine gerade Eisenstange im Kopf, die ich zu einem Kreis zusammenbiege.

Oder $[0,1]\times[0,1]/\sim$ mit $(0,y)\sim(1,y)$ für alle $y\in[0,1]$ ist homöomorph zu einem Zylindermantel. Stelle dir ein quadratisches Blech vor, das du zu einem Rohr zusammenrollst.
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