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Mathematik » Zahlentheorie » Primitivwurzeln
Thema eröffnet 2017-12-11 14:59 von
juergen007
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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.40, eingetragen 2017-12-29 15:14


Alle Mersennezahlen haben diese bestimmten Divisormatrizen... Bis jetzt habe ich noch keine Unterschiede zwischen Mersenneprimzahlen und Mersennezahlen bezüglich dieser Matrizen gefunden.


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Gruß blindmessenger



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.41, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-29 15:37

\(\begingroup\)
Nochmal die korrigierte Tabelle der restklassen für 127:

\(\displaystyle \mathbb G/\mathbb H = \{1,3,5,7,9,11,13,15,19,21,23,27,29,31,43,47,55,63\}\).

012481632641
13612244896653
251020408033665
3714285611297677
491836721734689
51122448849986911
613265210481357013
7153060120113997115
919387625501007319
102142844182377421
11234692571141017523
13275410889511027727
14295811610583397829
1531621241211151037931
2143864590531068543
234794611221171078747
275511093591181099155
31631261251231191119563


\(\endgroup\)


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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.42, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-29 15:47


2017-12-29 15:14 - blindmessenger in Beitrag No. 40 schreibt:
Alle Mersennezahlen haben diese bestimmten Divisormatrizen... Bis jetzt habe ich noch keine Unterschiede zwischen Mersenneprimzahlen und Mersennezahlen bezüglich dieser Matrizen gefunden.
63 = 2^6-1 ist keine Primzahl.
6 teilt nicht 62 , das passt alles gar nicht.
Erzeuge mal deine Matrix bez. 63.
Gruß
Happy new yaer



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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.43, eingetragen 2017-12-29 16:11


Du hattest folgendes geschrieben:



Den obigen Fall nennt er eine Uppermatrix, die auf ein Mersenne-Prime hinweist.


Danke!


Daraufhin hatte ich geschrieben, dass die "Uppermatrix" nur auf eine Mersennezahl hinweißt, nicht aber auf eine Mersenneprime...


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Gruß blindmessenger



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.44, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-29 16:37


2017-12-29 16:11 - blindmessenger in Beitrag No. 43 schreibt:
Du hattest folgendes geschrieben:



Den obigen Fall nennt er eine Uppermatrix, die auf ein Mersenne-Prime hinweist.


Danke!


Daraufhin hatte ich geschrieben, dass die "Uppermatrix" nur auf eine Mersennezahl hinweißt, nicht aber auf eine Mersenneprime...

In dem ganzen essay fehlt mir eine Mersenne Nummer wie 2^4-1 oder 2^6-1 mit deinen knot numbers und unbranched rows.





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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.45, eingetragen 2017-12-29 17:04

\(\begingroup\)
2017-12-29 15:14 - blindmessenger in Beitrag No. 40 schreibt:
Alle Mersennezahlen haben diese bestimmten Divisormatrizen... Bis jetzt habe ich noch keine Unterschiede zwischen Mersenneprimzahlen und Mersennezahlen bezüglich dieser Matrizen gefunden.

Aber dass es Unterschiede für den Zahlentyp $2^k-1 \ (k \in \mathbb N)$ gibt, ist dir schon klar? Genauer gibt es 3 Typen davon:

1. Ist der Exponent $k$ hier nicht prim, dann erfüllt $2^k-1$ nicht einmal den Fermattest für die Basis 2 und diese Zahlen haben nach meinem Wissen in der Literatur auch keinen eigenen Namen (z.B. für $k=6$, s.u.).

2. Ist der Exponent $k$ prim, dann spricht man von einer Mersenne-Zahl und diese besteht auf jeden Fall den Fermattest bez. 2, ob sie nun prim ist oder nicht (z.B. für $k=11$, s.u.).

3. Ist nicht nur $k$, sondern sogar $2^k-1$ prim, dann spricht man von einer Mersenneschen Primzahl (z.B. für $k=7$, s.u.). Es ist ungeklärt, ob es unendlich viele davon gibt, wenngleich dies heuristisch gesehen sehr wahrscheinlich ist.

Maple
fermattest:=proc(n,a:=2) is(a&^(n-1) mod n=1) end:
 
fermattest(2^6-1); # Zahl fällt bei Fermattest bez. 2 durch und ist daher zusammengesetzt
                             false
 
fermattest(2^11-1); # Zahl besteht Fermattest bez. 2, ist aber trotzdem zusammengesetzt
                              true
ifactor(2^11-1)
                           (23) (89)
 
fermattest(2^7-1); # Zahl besteht Fermattest bez. 2 und ist tatsächlich prim!
                              true
isprime(2^7-1)
                              true


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.43 begonnen.]
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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.46, eingetragen 2017-12-29 18:56

\(\begingroup\)
Ja, das ist mir klar...

Die notwendige Bedingung für eine Mersenneprimzahl ist, dass der Exponent prim ist...

Allerdings dachte ich, dass alle Zahlen der Form

$2^k-1$ mit $k \in \mathbb{N}$

Mersennezahlen seien...





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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.47, eingetragen 2017-12-29 19:06


2017-12-29 18:56 - blindmessenger in Beitrag No. 46 schreibt:
Ja, das ist mir klar...

Die notwendige Bedingung für eine Mersenneprimzahl ist, dass der Exponent prim ist...

Meiner Meinung nach ist diese Bedingung bereits für eine Mersennezahl, ob nun prim oder nicht, notwendig, aber ich habe gerade beim Googlen festgestellt, dass dies uneinheitlich gehandhabt wird.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.48, eingetragen 2017-12-29 19:55

\(\begingroup\)
2017-12-29 16:37 - juergen007 in Beitrag No. 44 schreibt:
2017-12-29 16:11 - blindmessenger in Beitrag No. 43 schreibt:
Du hattest folgendes geschrieben:



Den obigen Fall nennt er eine Uppermatrix, die auf ein Mersenne-Prime hinweist.


Danke!


Daraufhin hatte ich geschrieben, dass die "Uppermatrix" nur auf eine Mersennezahl hinweißt, nicht aber auf eine Mersenneprime...

In dem ganzen essay fehlt mir eine Mersenne Nummer wie 2^4-1 oder 2^6-1 mit deinen knot numbers und unbranched rows.




Im Prinzip sehen die Divisormatrizen von Zahlen der Form $2^k-1$ alle gleich aus. Oberhalb der mittleren Reihe finden sich keine Reihen in denen sich Elemente durch $2^k-1$ teilen lassen (Außer natürlich der ersten Reihe...).


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.49, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-30 12:17

\(\begingroup\)
Ich versuche nochmal das Konzept der Knotnunmbers und unbranched rows nachzuvollziehen.
k ist die Erzeugende.

Knot nunmbers sind imho alle \(a\equiv 1 \mod k\) oder \(a\equiv 0 \mod k\)..
"unbranched rows" sind erzeugte "Nebenklassen" der Reihe 0 der Art, dass in der n-ten Reihe alle Elemente der Reihe n: \(a\in A_{n,j}=(2n+1)2^{j-1} \mod k, n>0, j=1..m \): alle \( a <> 1 \equiv k\) sind.
Zu den "perfect knot numbers schrieb weird schon:
2017-12-27 17:41 - weird in Beitrag No. 35 schreibt:

"perfect knot numbers" sind einfach Zahlen der Form $18k+10\ (k\in\mathbb N)$ und hier wieder seine "Definition":
Perfect knot numbers are rooted in unbranched rows. , wobei "unbranched rows" für ihn Reihen sind, die mit Ausnahme der ersten Zahl keine Knotenzahlen beinhalten - für uns aber Reihen, deren Zahlen mit Ausnahme der ersten alle durch 3 teilbar sind!


Letzteres stimmt nicht immer, wei man auf den Tabellen Seite 21,22 für die k = 21 und 23 sieht.
Ansonsten sehe ich noch nicht die Bedeutung der "perfect knot numbers"...
Gruuß
\(\endgroup\)


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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.50, eingetragen 2017-12-30 13:00

\(\begingroup\)
2017-12-30 12:17 - juergen007 in Beitrag No. 49 schreibt:
Ich versuche nochmal das Konzept der Knotnunmbers und unbranched rows nachzuvollziehen.
k ist die Erzeugende.

Knot nunmbers sind imho alle \(a\equiv 1 \mod k\) oder \(a\equiv 0 \mod k\)..
"unbranched rows" sind erzeugte "Nebenklassen" der Reihe 0 der Art, dass in der n-ten Reihe alle Elemente der Reihe n: \(a\in A_{n,j}=(2n+1)2^{j-1} \mod k, n>0, j=1..m \): alle \( a <> 1 \equiv k\) sind.
Zu den "perfect knot numbers schrieb weird schon:
2017-12-27 17:41 - weird in Beitrag No. 35 schreibt:

"perfect knot numbers" sind einfach Zahlen der Form $18k+10\ (k\in\mathbb N)$ und hier wieder seine "Definition":
Perfect knot numbers are rooted in unbranched rows. , wobei "unbranched rows" für ihn Reihen sind, die mit Ausnahme der ersten Zahl keine Knotenzahlen beinhalten - für uns aber Reihen, deren Zahlen mit Ausnahme der ersten alle durch 3 teilbar sind!


Letzteres stimmt nicht immer, wei man auf den Tabellen Seite 21,22 für die k = 21 und 23 sieht.
Ansonsten sehe ich noch nicht die Bedeutung der "perfect knot numbers"...
Gruuß

Das mit den "Perfect knot numbers" gehörte zu dem Teil den man vielleicht hätte weglassen können...  Ich habe einen kleinen Artikel geschrieben wo ich einige Sachen weggelassen habe um mich auf das Wesentliche zu konzentrieren... Dort spreche ich dann ganz allgemein von Divisormatrizen, weil es ja nichts anderes ist, als eine Anordnung von ungeraden Zahlen (Mersennematrix) die ich durch eine ungerade Zahl teile um ein "Ganzzahlmuster" (Divisormatrix) zu erzeugen...
Aber vielleicht kann man auch aus den "perfect knot numbers" etwas gewinnen...


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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.51, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-30 22:37

\(\begingroup\)
Um die Sache etwas zu colorieren und jemanden zu motivieren oder so:
Jonas aka blindmessenger stellt seine "Collatzmatrizen" vor, hier exemplarisch die von k=23. Ich mag sie lieber Zahlenreihentabellen nennen.
Oder "sorted Prime number row tables"  wink
Interessanter als man zunächst denken mag, ist die Frage: warum sind gewisse Zeilen und gerade diese ("unbranched") blau, d.h. in diesen Reihen ist keine Zahl \(\equiv 1 \mod k\).


\[\begin{pmatrix}
2&4&8&16&32&64&128&256&512&1024&\color{red}{2048}\\
6&12&\color{red}{24}&48&96&192&384&768&1536&3072&6144\\
\color{blue}{10}&\color{blue}{20}&\color{blue}{40}&\color{blue}{80}&\color{blue}{160}&\color{blue}{320}&\color{blue}{640}&\color{blue}{1280}&\color{blue}{2560}&\color{blue}{5120}&\color{blue}{10240}\\
\color{blue}{14}&\color{blue}{28}&\color{blue}{56}&\color{blue}{112}&\color{blue}{224}&\color{blue}{448}&\color{blue}{896}&\color{blue}{1792}&\color{blue}{3584}&\color{blue}{7168}&\color{blue}{14336}\\
18&36&72&144&288&\color{red}{576}&1152&2304&4608&9216&18432\\
\color{blue}{22}&\color{blue}{44}&\color{blue}{88}&\color{blue}{176}&\color{blue}{352}&\color{blue}{704}&\color{blue}{1408}&\color{blue}{2816}&\color{blue}{5632}&\color{blue}{11264}&\color{blue}{22528}\\
26&52&104&\color{red}{208}&416&832&1664&3328&6656&13312&26624\\
\color{blue}{30}&\color{blue}{60}&\color{blue}{120}&\color{blue}{240}&\color{blue}{480}&\color{blue}{960}&\color{blue}{1920}&\color{blue}{3840}&\color{blue}{7680}&\color{blue}{15360}&\color{blue}{30720}\\
\color{blue}{34}&\color{blue}{68}&\color{blue}{136}&\color{blue}{272}&\color{blue}{544}&\color{blue}{1088}&\color{blue}{2176}&\color{blue}{4352}&\color{blue}{8704}&\color{blue}{17408}&\color{blue}{34816}\\
\color{blue}{38}&\color{blue}{76}&\color{blue}{152}&\color{blue}{304}&\color{blue}{608}&\color{blue}{1216}&\color{blue}{2432}&\color{blue}{4864}&\color{blue}{9728}&\color{blue}{19456}&\color{blue}{38912}\\
\color{blue}{42}&\color{blue}{84}&\color{blue}{168}&\color{blue}{336}&\color{blue}{672}&\color{blue}{1344}&\color{blue}{2688}&\color{blue}{5376}&\color{blue}{10752}&\color{blue}{21504}&\color{blue}{43008}\\
\color{blue}{46}&\color{blue}{92}&\color{blue}{184}&\color{blue}{368}&\color{blue}{736}&\color{blue}{1472}&\color{blue}{2944}&\color{blue}{5888}&\color{blue}{11776}&\color{blue}{23552}&\color{blue}{47104}\\
50&100&200&400&800&1600&3200&6400&12800&\color{red}{25600}&51200\\
54&108&216&432&864&1728&3456&6912&\color{red}{13824}&27648&55296\\
58&\color{red}{116}&232&464&928&1856&3712&7424&14848&29696&59392\\
62&124&248&496&992&1984&3968&\color{red}{7936}&15872&31744&63488\\
\color{blue}{66}&\color{blue}{132}&\color{blue}{264}&\color{blue}{528}&\color{blue}{1056}&\color{blue}{2112}&\color{blue}{4224}&\color{blue}{8448}&\color{blue}{16896}&\color{blue}{33792}&\color{blue}{76584}\\
\color{red}{70}&140&280&560&1120&2240&4480&8960&17920&35840&71680\\
\color{blue}{74}&\color{blue}{145}&\color{blue}{296}&\color{blue}{592}&\color{blue}{1184}&\color{blue}{2368}&\color{blue}{4736}&\color{blue}{9472}&\color{blue}{18944}&\color{blue}{37888}&\color{blue}{75776}\\
78&156&312&624&1248&2496&\color{red}{4992}&9984&19968&39936&79872\\
82&164&328&656&\color{red}{1312}&2624&5248&10496&20992&41984&83968\\
\color{blue}{86}&\color{blue}{172}&\color{blue}{344}&\color{blue}{688}&\color{blue}{1376}&\color{blue}{2752}&\color{blue}{5504}&\color{blue}{11008}&\color{blue}{22016}&\color{blue}{44032}&\color{blue}{88064}\\
\color{blue}{90}&\color{blue}{180}&\color{blue}{360}&\color{blue}{720}&\color{blue}{1440}&\color{blue}{2880}&\color{blue}{5760}&\color{blue}{11520}&\color{blue}{23040}&\color{blue}{46080}&\color{blue}{ 92160}\\
\end{pmatrix}\]

Happy new Year at all!
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.52, eingetragen 2017-12-30 23:06


Ja, das sind sehr schöne Divisormatrizen... Wie zu sehen liegt hier invertierte Spiegelsymmetrie vor. Das bedeutet: Wenn man sich die mittlere Reihe als Spiegelachse vorstellt, dann spiegeln sich blaue Reihen zu schwarzen und umgekehrt...


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Gruß blindmessenger



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.53, eingetragen 2017-12-31 12:13

\(\begingroup\)
2017-12-30 22:37 - juergen007 in Beitrag No. 51 schreibt:
Um die Sache etwas zu colorieren und jemanden zu motivieren oder so:
Jonas aka blindmessenger stellt seine "Collatzmatrizen" vor, hier exemplarisch die von k=23. Ich mag sie lieber Zahlenreihentabellen nennen.
Oder "sorted Prime number row tables"  wink
Interessanter als man zunächst denken mag, ist die Frage: warum sind gewisse Zeilen und gerade diese ("unbranched") blau, d.h. in diesen Reihen ist keine Zahl \(\equiv 1 \mod k\).

Tja, würde man hier konsequent mod $k$ für $k=23$ rechnen, was blindmessenger ja leider beharrlich nicht macht, wäre alles sonnenklar!   wink

Zunächst einmal braucht man für die erste Zeile die Ordnung von 2 mod 23. Dazu muss man Folgendes machen:

1. Bestimmung aller Teiler von $k-1$, also 22, das sind hier die Zahlen 1,2,11,22.

2. Überprüfung aller Teiler d in aufsteigender Reihenfolge, ob gilt

   $2^d\equiv 1 \mod k$

Das kleinste $d$ für welches dies zutrifft, ist dann die Ordnung von 2 mod 23. Das ist hier $d=11$ und damit ist dann auch $n=11$ die Anzahl der Spalten der Matrix.

Für mich in Abweichung von dem, was auf den ersten Seiten seiner Arbeit steht, sind dann die Knotenzahlen, also dann die roten Zahlen, offenbar jene Zahlen der Bauart

$(2i-1)*2^j,\quad (i,j\in \mathbb N^*)$

für welche gilt

$(2i-1)*2^j \equiv 1 \mod k$

d.h., indem wir die Zweierpotenz auf die rechte Seite schaffen, muss also gelten

$2i-1\equiv 2^{11-j} \mod k$

Wenn wir also die Menge $U$ der ersten Zeile der Matrix betrachten, aber mod 23(!) betrachten, das ist dann

$U=\{2,4,8,16,9,18,13,3,6,12,1\}$

so muss also dann $2i-1$ zu einer dieser 11 Zahlen mod 23 kongruent sein. Was man hier braucht, ist also eine Art "Logarithmentabelle" (in der ersten Zeile stehen der Größe nach geordnet die Potenzen $2^\ell \mod 23$, in der zweiten Zeile dann die zugehörigen Werte $\ell$, also dann die diskreten "Logarithmen" der darüber stehenden Zahlen für die Basis 2 und natürlich wieder alles mod 23).

Tabelle
x         1 2 3 4 6 8 9 12 13 16 18 
log_2 x   0 1 8 2 9 3 5 10  7  4  6


Warum ist also die Zahl 24 in deiner Matrix "rot"? Da 24 in der 2.Reihe der Collatz-Matrix liegt, ist also dann $i=2$ und man muss nachsehen, ob bzw. wo $x=2i-1$, also dann 3, in der ersten Zeile unserer Logarithmentabelle vorkommt. Das ist hier tatsächlich der Fall und der (diskrete) Logarithmus von 3 ist 8, d.h., es gilt $2^8\equiv 3 \mod 23$. Aus $11-j=8$ kann man sich dann das $j=3$ leicht errechnen, d.h., die Zahl in der 2.Reihe und 3.Spalte muss eine Knotenzahl sein. Dagegen können in der 3. und 4. Reihe keine Knotenzahlen sein, da ja 5(=2*3-1) und 7(=2*4-1) in der ersten Zeile unserer Logarithmentabelle gar nicht vorkommen! Alles klar? Dann probier's doch gleich mal aus mit einer anderen Knotenzahl in der Matrix!  biggrin  

Guten Rutsch und weiterhin fröhliches Herumexperimentieren auch 2018!   wink  
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Ja, das hast Du sehr schön dargelegt... Danke...

Was noch bemerkenswert ist: Tendenziell entstehen für Primzahlen eher Muster! Anders herum: Die meisten ungeraden Zahlen die nicht prim sind haben auch kein erkennbares Muster... leider gibt es aber auch da Ausnahmen...

Guten Rutsch!


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juergen007
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2017-12-31 12:13 - weird in Beitrag No. 53 schreibt:
(2017-12-30 22:37 - juergen007 in <a
Tja, würde man hier konsequent mod $k$ für $k=23$ rechnen, was blindmessenger ja leider beharrlich nicht macht, wäre alles sonnenklar!   wink

Zunächst einmal braucht man für die erste Zeile die Ordnung von 2 mod 23. Dazu muss man Folgendes machen:

1. Bestimmung aller Teiler von $k-1$, also 22, das sind hier die Zahlen 1,2,11,22.

2. Überprüfung aller Teiler d in aufsteigender Reihenfolge, ob gilt

   $2^d\equiv 1 \mod k$

Das kleinste $d$ für welches dies zutrifft, ist dann die Ordnung von 2 mod 23. Das ist hier $d=11$ und damit ist dann auch $n=11$ die Anzahl der Spalten der Matrix.
Prima Tip, Thx.


Für mich in Abweichung von dem, was auf den ersten Seiten seiner Arbeit steht, sind dann die Knotenzahlen, also dann die roten Zahlen, offenbar jene Zahlen der Bauart

$(2i-1)*2^j,\quad (i,j\in \mathbb N^*)$

für welche gilt

$(2i-1)*2^j \equiv 1 \mod k$

d.h., indem wir die Zweierpotenz auf die rechte Seite schaffen, muss also gelten $2i-1\equiv 2^{11-j} \mod k$

Wenn wir also die Menge $U$ der ersten Zeile der Matrix betrachten, aber mod 23(!) betrachten, das ist dann \(U=\{2,4,8,16,9,18,13,3,6,12,1\}\)


Die erste Zeile mit i=1 ist bei einer erzeugenden Primzahl k immer eine durch 2 erzeugte Untergruppe. Hier ist eben $k=23, U=\{2,4,8,16,9,18,13,3,6,12,1\}$

Die naechsten Zeilen sind eben \((2i-1)*2^{j-1}\), die 2te, 3te und so weiter Zeile erzeugt von 3,5,7, usw. zunaechst bis Zeile (p-1)/2.
Die 3 erzeugt hier keine andere Zeile als die 1 te, wenn man mod 23 rechnet, und die Reihenfolge ignoriert. Es ist $2^8 = 3*2^{1}.

Leider kommen wir an die Arbeit von blindmessenger nicht mehr ran, falls sich was neues ergibt würde ich evtl. eine neue schreiben.
Jedoch erstaunlich ist ohne je von endlcih erzeugten Gruppen nebenklassen etc. gehört zu haben durch pure Observation zu gewissen Erkenntnissen zu gelangen, die wir ueberprüfen können.

Erst Zeile 3 erzeugt mit der 5 ist eine andere Zeile als die 1.
Die weiteren 7,9,11,13,15,17,19,21 ensprechen entweder der 1ten oder 3ten Zeile. Die, welche der Zeile 3 gleichen, sind blau.Also "Eins-los".


So muss also dann $2i-1$ zu einer dieser 11 Zahlen mod 23 kongruent sein. Was man hier braucht, ist also eine Art "Logarithmentabelle" (in der ersten Zeile stehen der Größe nach geordnet die Potenzen $2^\ell \mod 23$, in der zweiten Zeile dann die zugehörigen Werte $\ell$, also dann die diskreten "Logarithmen" der darüber stehenden Zahlen für die Basis 2 und natürlich wieder alles mod 23).

Tabelle
x         1 2 3 4 6 8 9 12 13 16 18 
log_2 x   0 1 8 2 9 3 5 10  7  4  6

Warum ist also die Zahl 24 in deiner Matrix "rot"?
Da 24 in der 2.Reihe der Collatz-Matrix liegt, ist also dann $i=2$ und man muss nachsehen, ob bzw. wo $x=2i-1$, also dann 3, in der ersten Zeile unserer Logarithmentabelle vorkommt.
Das ist hier tatsächlich der Fall und der (diskrete) Logarithmus von 3 ist 8, d.h., es gilt $2^8\equiv 3 \mod 23$.
Aus $11-j=8$ kann man sich dann das $j=3$ leicht errechnen,
d.h., die Zahl in der 2.Reihe und 3.Spalte muss eine Knotenzahl sein.
Dagegen können in der 3. und 4. Reihe keine Knotenzahlen sein, da ja 5(=2*3-1) und 7(=2*4-1) in der ersten Zeile unserer Logarithmentabelle gar nicht vorkommen!

Guten Rutsch und weiterhin fröhliches Herumexperimentieren auch 2018!   wink  

Danke Dir auch, alles überstanden? So schlimm wars ja nicht oder biggrin
Verstehe aber nicht was an den roten einsen falsch ist? Die ja eins werden wenn wir modulo rechnen.
Es ist \(\displaystyle\mathbb H =Z_{23}^{2}=\{1,2,4,8,16,9,18,13,3,6,12\}\) der Ordnung 11.
5 ist der CosetLeader der einzigen Nebenklasse \(\displaystyle\{5,10,20,17,11,22,21,19,15,7,15,5\}\) der \(\displaystyle Z_{23}^{*}/Z_{23}^{2}\).

Die Tabelle
Tabelle
x         1 2 3 4 6 8 9 12 13 16 18 
log_2 x   0 1 8 2 9 3 5 10  7  4  6

schreibe ich mal andersrum:
Tabelle
x              0 1 2 3 4  5  6  7  8  9 10
exp(x) mod 23  1 2 4 8 16 9 18 13  3  6 12

In der Exponent-Zeile kommen die 11 anderen Elemete der \(\displaystyle Z_{23}^{*} , \mathbb H' =\{5,7,10,11,14,15,17,19,20,21,22\}\) nicht vor.
Sei \(\displaystyle\mathbb G = Z_{11} = \{0,1,2,..,20,21\}\) die durch 2 erzeugte Untergruppe der Ordnung 22.
Wir haben nun 2 abelsche Kategorien und einen Epimorphismus \(f:G \mapsto H\) durch den Exponenten.
Der \(Ker(f) = \mathbb K = \displaystyle \{0,11\}\) der Ordnung 2.
2 ist gleichzeitig der Rang der 23. denn 2 ist eine semiprimitive Wurzel mod 23.

Die Aussage:
Der \(\operatorname(Rang){p} = \operatorname{order}(Ker(f))\) ist wichtig, und gilt zumindest für alle echten Primzahlen.
 
Da $\displaystyle f\colon \left(G,+ \right)\to \left(H,\star \right)$ ein Gruppenhomomorphismus ist und  der Kern $\displaystyle K\colon =\ker\left(f\right)$ ein Normalteiler von $\displaystyle G$, ist die Faktorgruppe \(\displaystyle G/K\) isomorph zum Bild $f\left(G\right) = \{1,2,4,8,16,9,18,13,3,6\}$.

Wir haben hier so meine ich eine kurze exakte Sequenz, denn
$\displaystyle G\;{\overset {g}{\longrightarrow }}\;H\longrightarrow 0$ ist genau dann exakt, wenn $\displaystyle g\colon G\to H$ ein Epimorphismus ist. Über letzteres bin ich aber nicht sehr sicher...

Es existiert aber eine exakte Sequenz, wie folgt: $\displaystyle 0\longrightarrow \ker f\longrightarrow G\longrightarrow H\longrightarrow \mathrm {coker} \,f\longrightarrow 0$ mit f der Exponentialfunktion.
Diese ist eine Retraktion, da sie ein Rechtsinverses besitzt.
Was aber Cokerne sind hab ich noch nicht verstanden.
Trotzdem Danke
Jürgen
Und das übliche Happy New Year smile
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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.56, eingetragen 2018-01-01 13:40

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2018-01-01 11:36 - juergen007 in Beitrag No. 55 schreibt:

Die erste Zeile mit i=1 ist bei einer erzeugenden Primzahl k immer eine durch 2 erzeugte Untergruppe. Hier ist eben $k=23, U=\{2,4,8,16,9,18,13,3,6,12,1\}$

Die naechsten Zeilen sind eben \((2i-1)*2^{j-1}\), die 2te, 3te und so weiter Zeile erzeugt von 3,5,7, usw. zunaechst bis Zeile (p-1)/2.
Die 3 erzeugt hier keine andere Zeile als die 1 te, wenn man mod 23 rechnet, und die Reihenfolge ignoriert. Es ist $2^8 = 3*2^{1}.

Leider reden wir wieder einmal hoffnungslos aneinander vorbei, daran hat sich offenbar auch im neuen Jahr nichts geändert.  frown

Zunächst einmal habe ich mich ausschließlich auf das Posting #51 und die dortige Matrix bezogen, welche ausschließlich gerade(!!!) Zahlen enthält. Wie du also auf die ungeraden Zahlen kommst, die sich aus deiner Darstellung

$(2i-1)2^{j-1}$

für $j=1$ ergeben, ist mir daher schleierhaft, offenbar hast du da eine ganz andere Tabelle im Kopf! Richtig ist die Darstellung

$(2i-1)2^j \quad (i,j\in\mathbb N^*)$

worin die positiven ganzen Zahlen $i$ und $j$ die Zeilen- bzw. Spaltennnummer eines Tabelleneintrags bezeichnen. Da  wir also gleich von Anfang an "asynchron" arbeiten und daher meine ganzen Bezüge nicht mehr stimmen, was die Spaltennummern betrifft, ist mir schon klar, dass du mit meinem letzten Posting nicht wirklich etwas anfangen konntest.

Leider kommen wir an die Arbeit von blindmessenger nicht mehr ran, falls sich was neues ergibt würde ich evtl. eine neue schreiben.

Noch einmal, denn doppelt hält besser: Ich habe mich in allen Aussagen nur auf dein Posting #51 bezogen, die Arbeit von blindmessenger brauchst du dafür also nicht!

Erst Zeile 3 erzeugt mit der 5 ist eine andere Zeile als die 1.
Die weiteren 7,9,11,13,15,17,19,21 ensprechen entweder der 1ten oder 3ten Zeile. Die, welche der Zeile 3 gleichen, sind blau.Also "Eins-los".

Oh Gott, auch die Zeilennummern sind bei dir offenbar anders: Bei mir gibt es die Zeilen $i=1,2,3,4,5,...$, du redest aber da dauernd von Zeilen $1,3,5,7,...$, also dann den Zahlen $2i-1$. Das stimmt also dann alles hinten und vorne nicht zusammen! Die rote Zahl 24 steht also bei mir z.B. in der 2.Zeile und 3.Spalte, d.h., es gilt für sie $i=2$ und $j=3$. Keine Ahnung, wo sie für dich steht! Bitte schau dir also mein letzes Posting noch einmal an und leg dir am besten ein Printout von der Matrix in #51 daneben, damit wir wirklich von ein und derselben Sache reden, erst dann macht es Sinn, wenn wir hier ev. weitermachen!  
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.57, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-01 15:26

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Pardon
ich habe zu der Tabelle k =23 aus #51 mir eine Modulo 23 Tabelle gemacht schriftlich was recht schnell geht.
Ich arbeite noch an einem Prograamm was das automatisiert
Und in der  kommen tatsächlich ungerade Zahlen vor. Ja stimmt auch, dass ich die Zeilennummerierung und Spaltenummerierung bei 1 anfange, so dass \((2i-1)2^{j-1}\) das oberste linke Element in der modulo oder nicht modulo Version  gleich 2 ist.
Wie gesagt, ich will das "modularisieren" grafisch programmieren und mit Farben ala Jonas versehen. in Latex oder html, wie oben in #41.
Dauert noch was. Du sagtest ja auch, dass das effektiver ja obligatorisch  wäre? Und das ist auch meine Meinung.
Posting 51 ist ein Auszug aus seiner Arbeit. Und zeigt ein Beispiel wie blaue Linien zustandekommen.
Ich arbeite an dem "Wandel Collatzmatrizen in besser lesbare Primtabellen"- Programm um.
Für kleine Zahlen wie 23 kann man das auf Zettel. Und du auch.
Interssant ist es es für 43 mit dem Rang 3.

Nicht schimpfen  smile

Jürgen


Die Aussage:
Der (Rang)p=order(Ker(f)) ist wichtig, und gilt zumindest für alle echten Primzahlen. Stimmst du überein?
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.58, eingetragen 2018-01-01 18:38


2018-01-01 15:26 - juergen007 in Beitrag No. 57 schreibt:
Die Aussage:
Der (Rang)p=order(Ker(f)) ist wichtig, und gilt zumindest für alle echten Primzahlen. Stimmst du überein?

Diese Aussage ist für Primzahlen sicher richtig, inwiefern sie allerdings so wichtig sein soll, verstehe ich nicht ganz. Auch die effektive Bestimmung des Rangs ist ja so m.E. nicht einfacher geworden.

Schön wäre es, wenn du meine Ausführungen in #53 bez. der genauen Positionen der Knotenzahlen wirklich nachvollziehen könntest. Nach dem Lob von blindmessenger in #54 hatte ich nämlich den Eindruck, dass dies hier echt sehr zur Klarheit beiträgt. Und die Sache mit den diskreten Logarithmen ist jetzt nicht meine Idee, sondern das gibt es in der Zahlentheorie schon lange und sie sind auch für Zwecke der Kryptographie außerordentlich wichtig.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.59, eingetragen 2018-01-01 21:59


@weird

Ja, die effektive Bestimmung des Ranges ist wirklich ein Knackpunkt... Da zerbreche ich mir auch schon länger den Kopf...

Deine Ausführungen aus Beitrag 53 klingen vielversprechend... Leider kriege ich das nicht so schnell auf die Reihe. Da brauche ich etwas Zeit...




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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.60, eingetragen 2018-01-01 23:12

\(\begingroup\)
2018-01-01 21:59 - blindmessenger in Beitrag No. 59 schreibt:
@weird
Ja, die effektive Bestimmung des Ranges ist wirklich ein Knackpunkt... Da zerbreche ich mir auch schon länger den Kopf...

Ich hoffe, du hast das in #58 Gesagte jetzt nicht in der Weise missverstanden, dass die Bestimmung deines Rangs ein Problem wäre, ich meinte eigentlich nur, das die Überlegungen von juergen007 mit $Ker(f)$ diese nicht wirklich einfacher machen würden. Speziell für eine Primzahl $p$ ist der Rang ja nun wirklich ganz einfach der Quotient $(p-1)/ord_p(2)$, wobei $ord_p(2)$ einfach die Anzahl der verschiedenen Potenzen von $2 \mod p$ bezeichnet, welche stets ein Teiler von $p-1$ ist. Und wie man $ord_p(2)$ ganz einfach bestimmt, habe ich ja in #53 anhand eines Beispiels gleich zu Beginn angegeben.
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.61, eingetragen 2018-01-02 00:04


Zur Rangbestimmung braucht man glaube ich den diskreten Logarithmus... Für die Berechnung dieses diskreten Logarithmus sind bis jetzt nur "ineffektive Algorithmen" bekannt laut Wikipedia... Vielleicht lässt sich da durch die Kategorisierung dieser "Divisormatrizen" etwas gewinnen...


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\(\begingroup\)
2018-01-01 13:40 - weird in Beitrag No. 56 schreibt:

Oh Gott, auch die Zeilennummern sind bei dir offenbar anders: Bei mir gibt es die Zeilen $i=1,2,3,4,5,...$, du redest aber da dauernd von Zeilen $1,3,5,7,...$, also dann den Zahlen $2i-1$. Das stimmt also dann alles hinten und vorne nicht zusammen! Die rote Zahl 24 steht also bei mir z.B. in der 2.Zeile und 3.Spalte, d.h., es gilt für sie $i=2$ und $j=3$. Keine Ahnung, wo sie für dich steht! Bitte schau dir also mein letzes Posting noch einmal an und leg dir am besten ein Printout von der Matrix in #51 daneben, damit wir wirklich von ein und derselben Sache reden, erst dann macht es Sinn, wenn wir hier ev. weitermachen!  

Ja machte ich das ausdrucken meine ich wink
Zur Nummerierung: Wir brauchen an sich zur Klarheit:
0. Spalte: Nummerierung der Tabellenreihen  \(\{0,1,2,, p\}\), hier \(0..23\), wobei Reihe 12 dann Reihe 0 gleicht.
1. Spalte: Erzeugende 2i-1, oder wie du sagtest cosetLeader der Tabellenreihen i, also : \(\{1,3,5,,,2p-1\}\) hier \(\{1,3,5,,,45 \}\), wobei modulo 2 betrachtet Reihe 1 dann Reihe 7,13,14,15,16 gleicht und Reihe 3 entsprechend 4,6,8,9,10,11,12 gleicht.(Warum? dürfte mit den Mirroreigenschaften zusammenhängen Stichwort "Inverted mirror Matrix").

Diese 2 neuen Spalten muessten links von der Tabelle in #51 stehen etwa wie in #41.
Ich habe hier in den ersten beide Spalten keine  Zahlen farbig markiert. Später.
Es ist dann\(A_{i,j}=(2i-1)2^{j-1}\) also \(A_{2,4}=(2i-1)2^{j-1}=3*8\equiv 1 \mod 23\).

Wobei ich die 0te Spalte, die Nummerierung der Tabellenreihen ab 0  "Reihe" nenne um darin Klarheit zu schaffen
Wir haben eine 1 in Reihe 2 Spalte 4, oder in Reihe 1 Spalte 12.
In deiner Argumentation wo die einsen stehen, würden sich Indexe ändern.
Oder wir lassen Spalte 0 weg, dann passt s wieder.
Wie haetten Sie s denn gern? cool

etwa so..
oberste Zeile Spaltennummerierung.

\[\begin{pmatrix}
0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12 \\
1&1&2&4&8&16&32&64&128&256&512&1024&\color{red}{2048}\\
2&3&6&12&\color{red}{24}&48&96&192&384&768&1536&3072&6144\\
3&5&\color{blue}{10}&\color{blue}{20}&\color{blue}{40}&\color{blue}{80}&\color{blue}{160}&\color{blue}{320}&\color{blue}{640}&\color{blue}{1280}&\color{blue}{2560}&\color{blue}{5120}&\color{blue}{10240}\\
4&7&\color{blue}{14}&\color{blue}{28}&\color{blue}{56}&\color{blue}{112}&\color{blue}{224}&\color{blue}{448}&\color{blue}{896}&\color{blue}{1792}&\color{blue}{3584}&\color{blue}{7168}&\color{blue}{14336}\\
5&9&18&36&72&144&288&\color{red}{576}&1152&2304&4608&9216&18432\\
6&11&\color{blue}{22}&\color{blue}{44}&\color{blue}{88}&\color{blue}{176}&\color{blue}{352}&\color{blue}{704}&\color{blue}{1408}&\color{blue}{2816}&\color{blue}{5632}&\color{blue}{11264}&\color{blue}{22528}\\
7&12&26&52&104&\color{red}{208}&416&832&1664&3328&6656&13312&26624\\
8&15&\color{blue}{30}&\color{blue}{60}&\color{blue}{120}&\color{blue}{240}&\color{blue}{480}&\color{blue}{960}&\color{blue}{1920}&\color{blue}{3840}&\color{blue}{7680}&\color{blue}{15360}&\color{blue}{30720}\\
9&17&\color{blue}{34}&\color{blue}{68}&\color{blue}{136}&\color{blue}{272}&\color{blue}{544}&\color{blue}{1088}&\color{blue}{2176}&\color{blue}{4352}&\color{blue}{8704}&\color{blue}{17408}&\color{blue}{34816}\\
10&19&\color{blue}{38}&\color{blue}{76}&\color{blue}{152}&\color{blue}{304}&\color{blue}{608}&\color{blue}{1216}&\color{blue}{2432}&\color{blue}{4864}&\color{blue}{9728}&\color{blue}{19456}&\color{blue}{38912}\\
11&21&\color{blue}{42}&\color{blue}{84}&\color{blue}{168}&\color{blue}{336}&\color{blue}{672}&\color{blue}{1344}&\color{blue}{2688}&\color{blue}{5376}&\color{blue}{10752}&\color{blue}{21504}&\color{blue}{43008}\\
12&23&\color{blue}{46}&\color{blue}{92}&\color{blue}{184}&\color{blue}{368}&\color{blue}{736}&\color{blue}{1472}&\color{blue}{2944}&\color{blue}{5888}&\color{blue}{11776}&\color{blue}{23552}&\color{blue}{47104}\\
13&25&50&100&200&400&800&1600&3200&6400&12800&\color{red}{25600}&51200\\
14&27&54&108&216&432&864&1728&3456&6912&\color{red}{13824}&27648&55296\\
15&29&58&\color{red}{116}&232&464&928&1856&3712&7424&14848&29696&59392\\
16&31&62&124&248&496&992&1984&3968&\color{red}{7936}&15872&31744&63488\\
17&33&\color{blue}{66}&\color{blue}{132}&\color{blue}{264}&\color{blue}{528}&\color{blue}{1056}&\color{blue}{2112}&\color{blue}{4224}&\color{blue}{8448}&\color{blue}{16896}&\color{blue}{33792}&\color{blue}{76584}\\
18&35&\color{red}{70}&140&280&560&1120&2240&4480&8960&17920&35840&71680\\
19&37&\color{blue}{74}&\color{blue}{145}&\color{blue}{296}&\color{blue}{592}&\color{blue}{1184}&\color{blue}{2368}&\color{blue}{4736}&\color{blue}{9472}&\color{blue}{18944}&\color{blue}{37888}&\color{blue}{75776}\\
20&39&78&156&312&624&1248&2496&\color{red}{4992}&9984&19968&39936&79872\\
21&41&82&164&328&656&\color{red}{1312}&2624&5248&10496&20992&41984&83968\\
22&43&\color{blue}{86}&\color{blue}{172}&\color{blue}{344}&\color{blue}{688}&\color{blue}{1376}&\color{blue}{2752}&\color{blue}{5504}&\color{blue}{11008}&\color{blue}{22016}&\color{blue}{44032}&\color{blue}{88064}\\
23&45&\color{blue}{90}&\color{blue}{180}&\color{blue}{360}&\color{blue}{720}&\color{blue}{1440}&\color{blue}{2880}&\color{blue}{5760}&\color{blue}{11520}&\color{blue}{23040}&\color{blue}{46080}&\color{blue}{ 92160}\\
\end{pmatrix}\]
Oder ich lass das ganz, wenn ich immer nur angenöhlt werde.(bockig) biggrin
Besteht noch Interesse Blindmessenger?

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2018-01-02 03:34 - juergen007 in Beitrag No. 62 schreibt:
Oder ich lass das ganz, wenn ich immer nur angenöhlt werde.(bockig) biggrin
Besteht noch Interesse Blindmessenger?

Ok, es ist vielleicht wirklich das Beste, wenn wir es dann einfach lassen, da mein Versuch in #53 auf der Basis der Matrix in #51 etwas Ordnung in die Sache hineinzubringen nun wohl endgültig als gescheitert angesehen werden muss. In deinem letzten Posting gehst nicht nur mit keinem Wort darauf ein, sondern führst auch eine komplett neue Art der Nummerierung ein, womit insbesondere die Matrix in #51 statt 11 wie bisher dann plötzlich 13(!) Spalten hat. Damit sind dann natürlich auch alle Bezeichnungen in der Arbeit von blindmessenger mit einem Schlag obsolet. Man kann also gespannt sein, was er zu diesem neuen Bezeichnungsmodus sagt.  biggrin



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juergen007
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2017-12-31 12:13 - weird in Beitrag No. 53 schreibt:

Warum ist also die Zahl 24 in deiner Matrix "rot"? Da 24 in der 2.Reihe der Collatz-Matrix liegt, ist also dann $i=2$ und man muss nachsehen, ob bzw. wo $x=2i-1$, also dann 3, in der ersten Zeile unserer Logarithmentabelle vorkommt. Das ist hier tatsächlich der Fall und der (diskrete) Logarithmus von 3 ist 8, d.h., es gilt $2^8\equiv 3 \mod 23$. Aus $11-j=8$ kann man sich dann das $j=3$ leicht errechnen, d.h., die Zahl in der 2.Reihe und 3.Spalte muss eine Knotenzahl sein. Dagegen können in der 3. und 4. Reihe keine Knotenzahlen sein, da ja 5(=2*3-1) und 7(=2*4-1) in der ersten Zeile unserer Logarithmentabelle gar nicht vorkommen! Alles klar? Dann probier's doch gleich mal aus mit einer anderen Knotenzahl in der Matrix!  biggrin  


Ich habe in dem Abschnitt das mit der $11-j=8$ nicht verstanden gebe ich zu, und ging deswegen nicht darauf ein.
An der Nummerierung soll es nicht scheitern. Ich wollte bloss deine Fragen bez. meiner Liniennummervergabe klären.

Also können wir zur Nummerierung wie in #51 zurückehren.
Dass 5 und 7 nicht als diskreter Logarithmus auftauchen, liegt halt  daran, dass diese sowie 10,20,17,11,22,21,19,15,14 nicht in \(Z_{23}^2\) vorkommen, da eben 2 keine Primitivwurzel mod 23 ist.

Danke
Piece

Jürgen
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weird
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2018-01-02 10:29 - juergen007 in Beitrag No. 64 schreibt:
Ich habe in dem Abschnitt das mit der $11-j=8$ nicht verstanden gebe ich zu, und ging deswegen nicht darauf ein.
An der Nummerierung soll es nicht scheitern. Ich wollte bloss deine Fragen bez. meiner Liniennummervergabe klären.

Also können wir zur Nummerierung wie in #51 zurückehren.

Ok, ich denke das ist tatsächlich besser so, da ja Zeilen-und Spaltennummern in einer Matrix üblicherweise nicht mitangeführt werden, sondern sich von selbst verstehen.  smile


Dass 5 und 7 nicht als diskreter Logarithmus auftauchen, liegt halt  daran, dass diese sowie 10,20,17,11,22,21,19,15,14 nicht in \(Z_{23}^2\) vorkommen, da eben 2 keine Primitivwurzel mod 23 ist.

Ja, dies sind nur zwei verschiedene Sichtweisen von ein und derselben Sache. Auf jeden Fall ist damit das "Geheimnis der unverzweigten Zeilen" gelöst: Die $i$-te Zeile der Matrix in #51 ist genau dann "unverzweigt", d.h., sie enthält keine Knotenzahlen, wenn $2i-1$ nicht unter den 11 Potenzen $2^\ell\mod 23\ (\ell=0,1,2,..,10)$ vorkommt, also der "diskrete Logarithmus" von $2i-1$ hier nicht existiert.
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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.66, eingetragen 2018-01-02 20:24

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In dem Artikel "Divisormatrizen" habe ich das nochmal alles etwas umgemodelt... Inhaltlich hat sich aber nichts verändert, dass heisst die Erklärungen aus Beitrag 53 sind auch darauf anwendbar...

Diese Mersennematrix ist halt einfach eine Anordnung von ungeraden Zahlen welche dividiert durch eine andere ungerade Zahl eine "Divisormatrix" erzeugt, die genau die gleichen "Ganzzahlmuster" erzeugt wie in Beitrag 53 erklärt. Ich halte diese Divisormatrizen für "anwenderfreundlicher" weil man sofort durch die übriggebliebenen ganzen Zahlen das Muster erkennen kann. Und für die Bildung dieser Muster steht nun eine klare Matrixoperation zu Grunde nämlich:

$M_{di}(m)=M_{M} \cdot \frac{1}{m}$

Versteht Ihr was ich meine?

Sowas hier

$\begin{pmatrix}
2&\color{red}{4}\\
\color{blue}{6}&\color{blue}{12}\\
\color{red}{10}&20\\
\end{pmatrix}
$

ist also so zu sagen gleichbedeutend mit dem hier

$M_{di}(3)=M_M \cdot \frac{1}{3}=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{3}&\color{red}{1}\\
\color{blue}{\frac{5}{3}}&\color{blue}{\frac{11}{3}}\\
\color{red}{3}&\frac{19}{3}\\
\end{pmatrix}
$

nur anders verpackt...



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.67, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-03 19:24

\(\begingroup\)
Tag!
Ich gehe da eben nicht drauf ein , bleibe noch bei den "Inverted Mirror Matritzen".

In #51 betrachte die Zeilen beginnend mit
50
54
58
62
64,
erzeugt von z.B.
25
27
29
31
33


Und alle bis auf die letzte werden erzeugt von 2, was man an den "knot numbers" erkennt.
Wenn 1 in der Zeile vorkommt, dann auch 2. Alle diese 4 Zeilen sind mod 23 gesehen genau die durch 2 erzeugte Untergruppe $Z_{p}^2$.
Z.B.
\(\displaystyle
25\mod23=2,
27\mod23=4,
29\mod23=6,
31\mod23=8,
33\mod23=10\).
\(\{2,4,6,8\}\) sind in der $Z_{p}^2$, 10 nicht, denn es gibt kein l, so dass  \(2^l \mod 23 = 10\).
Betrachten wir die Zeilen rückwärts von der Mittellinie 23:
21,42..
19,38..
17,34..
15,30..
13,26..
\(21\mod23=-2,19\mod23=-4,17\mod23=-6,15\mod23=-8,13\mod23=-10\).
\(\{-2,-4,-6,-8,-10\}\), so werden diese bis auf die -10 = 13 von -2 erzeugt. Es kommt in diese Zeilen keine 1 vor sie sind also "unbranched". Das nennst du dann "inverted mirror".
Deren Geheimnis erscheint mir gelöst:)

Ich will mich von dem Begriff Matrix verabschieden, Matrizen sind Morphismen aus der linearen Algebra, die auch einen "Rang" haben, aber keine abelschen Kategorien sind.

Die 2 ist eine Semiprimitivwurzel mod 23 und 2 hat Ordnung 11 in $Z_{p}^2$.
Die nächste ist 47. Siehe Diese Reihe.

Da steht auch in den Kommentaren:
"If p is a prime, then we call r a semiprimitive root if it has order \((p-1)/2\) and there is no x for which \(a^x\) is congruent to -1 (mod p).  So \(\pm  r^k, 0 <= k <= (p-3)/2\) is a complete set of nonzero residues (mod p).
If r=2, then \((-1/p)=-1\) and, consequently, \(a(n) = -1 \mod 4\)."

Ich kann das noch naeher erläutern bei Bedarf.

J.

P.S. Super, dass du einen Artikel schriebst!
Dass der "genehmigt" wurde, (wurde er?, von wem?) zeigt mir dass es zumindest "richtig" ist.
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.68, eingetragen 2018-01-03 22:25

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2018-01-03 19:24 - juergen007 in Beitrag No. 67 schreibt:
"If p is a prime, then we call r a semiprimitive root if it has order \((p-1)/2\) and there is no x for which \(a^x\) is congruent to -1 (mod p).  So \(\pm  r^k, 0 <= k <= (p-3)/2\) is a complete set of nonzero residues (mod p).
If r=2, then \((-1/p)=-1\) and, consequently, \(a(n) = -1 \mod 4\)."

Ja, für diese überaus spezielle Klasse von Primzahlen $p$ stimmen  deine Beobachtungen tatsächlich, genauer: Ist die Zeile mit der Nummer $i$ branched/unbranched, so gilt für die Zeile mit der Nummer $(p+1)-i$ dann das genaue Gegenteil. Wie du aber selber schon angedeutet hast, lässt sich das aber sehr leicht aus den obigen Eigenschaften dieser Primzahlen ableiten.
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.69, eingetragen 2018-01-03 22:49

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8
2018-01-03 22:25 - weird in Beitrag No. 68 schreibt:
2018-01-03 19:24 - juergen007 in Beitrag No. 67 schreibt:
"If p is a prime, then we call r a semiprimitive root if it has order \((p-1)/2\) and there is no x for which \(a^x\) is congruent to -1 (mod p).  So \(\pm  r^k, 0 <= k <= (p-3)/2\) is a complete set of nonzero residues (mod p).
If r=2, then \((-1/p)=-1\) and, consequently, \(a(n) = -1 \mod 4\)."

Ja, für diese überaus spezielle Klasse von Primzahlen $p$ stimmen  deine Beobachtungen tatsächlich, genauer: Ist die Zeile mit der Nummer $i$ branched/unbranched, so gilt für die Zeile mit der Nummer $(p+1)-i$ dann das genaue Gegenteil. Wie du aber selber schon angedeutet hast, lässt sich das aber sehr leicht aus den obigen Eigenschaften dieser Primzahlen ableiten.

Und genau hier sollten wir ansetzen: Wenn wir wissen, dass diese Art von Primzahlen immer diese Muster erzeugen, dann sollten wir die Muster genauer betrachten, insbesondere die genaue Position der ganzen Zahlen. Z.B.liegt die ganze Zahl der ersten Spalte (also in diesem Fall die 70 aus Beitrag 51...) bei diesen Divisormatrizen immer an der gleichen Stelle:

Die Reihe $l$ in der diese ganze Zahl steht wird dann wie folgt berechnet:

$l=\frac{3}{4} \cdot (m+1)$

(Wobei dies auch für einige andere Matrizen gilt, was uns daher hier nicht viel weiter bringt, aber das sollte auch nur ein Beispiel sein...)


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2018-01-03 22:49 - blindmessenger in Beitrag No. 69 schreibt:
Die Reihe $l$ in der diese ganze Zahl steht wird dann wie folgt berechnet:

$l=\frac{3}{4} \cdot (m+1)$

(Wobei dies auch für einige andere Matrizen gilt, was uns daher hier nicht viel weiter bringt, aber das sollte auch nur ein Beispiel sein...)

Wenn du mit $m$ die Primzahl $p$ meinst, dann stimmt das zwar, aber ich frage mich - und mit mir wohl viele andere auch, die das lesen - was diese Erkenntnis bringen soll? Aber dies ist wohl generell sowas wie eine "Schwachstelle" deiner Untersuchungen, dass außer dir und vielleicht juergen007 sich niemand wirklich dafür begeistern kann, weil man überhaupt nicht sieht, welchen Nutzen sie eigentlich haben sollen.  eek
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2018-01-04 08:25 - weird in Beitrag No. 70 schreibt:
2018-01-03 22:49 - blindmessenger in Beitrag No. 69 schreibt:
Die Reihe $l$ in der diese ganze Zahl steht wird dann wie folgt berechnet:

$l=\frac{3}{4} \cdot (m+1)$

(Wobei dies auch für einige andere Matrizen gilt, was uns daher hier nicht viel weiter bringt, aber das sollte auch nur ein Beispiel sein...)

Wenn du mit $m$ die Primzahl $p$ meinst, dann stimmt das zwar, aber ich frage mich - und mit mir wohl viele andere auch, die das lesen - was diese Erkenntnis bringen soll? Aber dies ist wohl generell sowas wie eine "Schwachstelle" deiner Untersuchungen, dass außer dir und vielleicht juergen007 sich niemand wirklich dafür begeistern kann, weil man überhaupt nicht sieht, welchen Nutzen sie eigentlich haben sollen.  eek

Es geht letztendlich doch immer darum das "Primzahlgeheimnis" zu lüften...  wink

ABer ich habe das auch nicht ganz zu Ende geführt:

Nehmen wir also an diese besonderen Primzahlen mit diesem Muster haben als Alleinstellungsmerkmal, dass immer genau an dieser Stelle

$l=\frac{3}{4} \cdot (m+1)$

eine ganze Zahl liegt. Dann hätte man gleichzeitig auch einen Primzahlgenerator für diese Art von Primzahlen gefunden. Leider ist das nicht der Fall weil wie schon gesagt einige andere Matrizen auch an dieser Stelle eine ganze Zahl haben...

Zugegeben: Ich habe schon ziemlich viel durchforstet von diesen Matrizen und noch nichts gefunden, aber man soll ja nie aufgeben...



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