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Funktionentheorie » klassische Funktionen » Komplexe Analysis/Fehlerfunktion
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Universität/Hochschule J Komplexe Analysis/Fehlerfunktion
Gandalph
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-12-14

\(\begingroup\)
Hallo,

ich möchte das folgende Integral berechnen, habe aber Zweifel, ob es überhaupt existiert. $a$ und $b$ sind jeweils beliebige komplexe Zahlen. Eine analytische Lösung scheint es m.M. nach nicht zu geben:

fed-Code einblenden
Entscheidend scheint mir der Realteil von $a$ für die Existenz zu sein, wobei ich glaube, dass für $Re(a) < 0$ das Integral auf jeden Fall nicht zu existieren scheint (andere Szenarien mal außen vor gelassen).

Als Referenzwert wurde $\frac{1}{\sqrt{a}} erf(\sqrt{a}b)$ angegeben, wobei mit $erf$ die komplexe Fehlerfunktion bezeichnet wird.

Das kann m.M. nach nicht stimmen, schon deshalb nicht, weil das doch offenbar immer existiert (angenommen $a \neq 0$) und das obere nicht.

Vielen Dank für Eure Hinweise,
Gandalph
\(\endgroup\)


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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-12-14


Hi Gandalph,
es ist richtig, dass das Integral für Re(a) < 0 nicht existiert.
Für Re(a) > 0 ist der Wert gleich
fed-Code einblenden
Gruß Buri



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Gandalph
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-15

\(\begingroup\)
Super, vielen Dank für die rasche Hilfe.

Ich möchte gerne verstehen, wie man auf dieses Ergebnis kommt. Falls $a$ & $b$ beide reell sind und $a>0$ gilt, ist es mir klar:

fed-Code einblenden

Das entspricht (Beziehung zur Standardormalverteilung)

fed-Code einblenden

Im Komplexen ist mir aber unklar, ob das alles so glatt durchläuft. Ab der ersten Integration bekomme ich doch i.A. ein komplexes Kurvenintegral und die Substitution $y = \sqrt{a}x$ ändert unter Umständen dessen Orientierung?
Ist die komplexe Fehlerfunktion einfach als komplexes Kurvenintegral über einen komplexwertigen Integranden zu verstehen?
\(\endgroup\)


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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-12-16


Hi Gandalph,
beide Seiten der Gleichung sind holomorphe Funktionen für Re(a) > 0.
Aus der Gültigkeit für reelle a > 0 kann man mit dem Prinzip der analytischen Fortsetzung, auch bekannt als Prinzip über die Ausdehnung von Identitäten, die Gültigkeit für alle a mit Re(a) > 0 folgern.
Durch eine komplexe Substitution ändert sich der Integrationsweg.
Mit dem Integralsatz von Cauchy kann man diesen Integrationsweg in ein Integral über reelle Zahlen umformen, wobei man für die Teile des geschlossenen Integrationswegs, die ins Unendliche streben, die Konvergenz gegen 0 beweisen muss.
Die Funktion e-x2 ist eine ganze Funktion, und sie besitzt wie jede ganze Funktion eine Stammfunktion, die ebenfalls ganz ist.
Die Fehlerfunktion ist also auf dieselbe Weise definiert wie im Reellen, aber mit einem Integrationsweg im Komplexen.
Gruß Buri



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Gandalph
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-20


Ok, danke nochmal.
Dann werde ich mich mal mit Funktionentheorie befassen. Begriffe wie "Ausdehnung der Identitäten" sagen mir leider (noch) nichts.

Der Thread kann geschlossen werden.

Gruß, Gandalph



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