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Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Voller Rang einer quadratischen Matrix
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Autor
Universität/Hochschule J Voller Rang einer quadratischen Matrix
kingdingeling
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.09.2017
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-12-15


Hallo liebe Mitglieder,

meine zweite Frage heute, ich hoffe dass es ok ist (versprochen dass es die letzte bleibt):



Ich weiß bei dieser Aufgabe weder ein noch aus. Wie finde ich einen Zugang zu der Lösung? Muss ich mit der lineare Unabhängigkeit der Zeilen/Spalten arbeiten, der Dimension des Bildes der korrespondierenden Abb. oder der ZSF? Ich weiß nicht mehr weiter... Ein Hinweis für den Weg wäre schon sehr nett.

Grüße



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Dune
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.03.2009
Mitteilungen: 2927
Aus: Rostock
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-12-15

\(\begingroup\)
Klingt für mich nach einer Anwendung der geometrischen Reihe. Es gilt \( \| I_n-A \| < 1 \), daher ist die Matrix \( S = \sum_{i=0}^\infty (I_n-A)^i \) definiert. Man kann nun nachrechnen, dass S die zu A inverse Matrix ist.
\(\endgroup\)


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kurtg
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.08.2008
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-12-15


Sollte auch mit Gerschgorin-Kreisen gehen.



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kingdingeling
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.09.2017
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-15


Hi, danke für deine Antwort.

Wenn ich das gezeigt habe gilt ja, dass A invertierbar ist und dass A somit durch Zeilentransformation in die ZSF zur Einheitsmatrix "gemacht" werden kann und die Einheitsmatrix hat den vollen Rang. Richtig?

In diesem Zusammenhang noch eine Frage: Was meinst du mit "∥In−A∥<1", das hatten wir so bislang noch nicht, deswegen frage ich...

Gruß

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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kingdingeling
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Dabei seit: 24.09.2017
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-15


Danke für eure Antworten,

beide Wege wirken "kompliziert". Gibt es vielleicht einen simpleren Weg?

Grüße

P.S.: Ich finde diese Aufgabe echt schwer...



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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-12-15


Was für eine Vorlesung ist das? Was macht ihr gerade?



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kingdingeling
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-15


Ich muss LinA I wiederholen, da ich von Physik in Mathe gewechselt bin und die das nicht anerkannt haben, also LinA I ist das :)

Achso und im Moment machen wir Rang einer Matrix, Inverse einer Matrix, LGS



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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-12-15


Vielleicht kann man ja einen Ansatz Ax = 0 machen. Probier das doch einmal mit n = 2,3 aus.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



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kingdingeling
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-15


2017-12-15 16:50 - kurtg in Beitrag No. 7 schreibt:
Vielleicht kann man ja einen Ansatz Ax = 0 machen. Probier das doch einmal mit n = 2,3 aus.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]

Danke für den Tipp. Ich versuche mich einmal daran!

Gruß



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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
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Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-12-15


Hi kingdingeling,
die Aussage ist äquivalent dazu, dass A invertierbar (regulär) ist, und dies ist bekanntlich äquivalent dazu, dass das homogene lineare Gleichungssystem Ax = 0 nur die triviale Lösung x = 0 hat.
Das wird mit einem Widerspruchsbeweis bewiesen.
Man nimmt an, es wäre Ax = 0 und x ≠ 0.
fed-Code einblenden
Die genannte Bedingung (ohne die zur Vereinfachung eingeführte Voraussetzung aii = 1) ist als Zeilensummenkriterium bekannt.
Gruß Buri

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]



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kingdingeling
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-15


Vielen Dank für eure Hinweise! Große Hilfe!



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kingdingeling
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-16


Habe bei der Gleichung den Teil mit der Summe auf die rechte Seite gezogen und dann die Ungleichheit gezeigt mit i, ii und der Ungleichung von oben. Vielen Dank nochmals für die Hilfe, es klingt vielleicht lächerlich bei einer solchen Aufgabe die vielen leicht fällt, aber ich finde dass das ein sehr schöner Beweis war.

Grüße



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