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Analysis » Funktionalanalysis » Stetigkeit der schwachen Ableitung
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Universität/Hochschule J Stetigkeit der schwachen Ableitung
Newmath2012
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-12 02:22


Hallo Community,

folgende Aussage möchte ich beweisen und mir fehlt dazu leider jede Idee:

Durch eine schwache Ableitung <math>D_i, 1 \leq i \leq n</math> ist eine stetige Funktion des Sobolevraumes <math>W^{m,p}(\mathbb R^n)</math> auf <math>W^{m-1, p}(\mathbb R^n)</math> gegeben.

Ich hoffe, ihr könnt mir helfen, ich wäre sehr dankbar!



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Newmath2012
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-13 00:43


Kann man das vielleicht irgendwie damit zeigen, dass <math>C_c^{\infty}(\mathbb R^n)</math> dicht in den Sobolevräumen ist?



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-01-13 00:51


Nein, benutz einfach die Definitionen. Bedenke, dass diese Funktion linear ist



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Newmath2012
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-13 03:43


Danke für deinen Beitrag, Kampfpudel, aber ich weiß noch nicht, worauf du mit den Definitionen hinaus willst.
Also, dass die schwache Ableitung in <math>W^{m-1,p}</math> liegen muss, wird mit der Definition klar, weil in <math>W^{m,p}</math> ja jene Funktionen liegen, deren m-te schwache Ableitung noch in <math>L^p</math> ist und daher für die schwache Ableitung einer solchen Funktionen nur mehr die m-1-te schwache Ableitung in <math>L^p</math> ist.
Aber wie hilft uns die Definition bei der Stetigkeit?



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sbechtel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-01-13 09:28


Um Stetigkeit zu zeigen, musst du die (m-1),p Norm der Ableitung durch die m,p Norm der Funktion abschätzen. Wenn du beide Normen mal hinschreibst, siehst du das direkt.



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Newmath2012
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-13 17:15


Hallo sbechtel, danke für deine Beteiligung.

Die Definition der Sobolevnorm lautet: <math>||f||_{m,p}:= \left(\sum_{|\alpha|\leq m}||D^{\alpha}f||_p^p\right)^{\frac{1}{p}</math>.
Darin einzusetzen, um das Gewünschte zu zeigen, habe ich aber nicht geschafft. Wie genau meinst du denn?

Mir ist aber noch eine andere Idee gekommen:
Kann man nicht eine Funktion g aus <math>C_c^{\infty}</math> wählen mit <math>||g(x)-Df(x)||<\epsilon/3</math> (so ein g exisitert, weil der Raum dicht im Sobolevraum liegt) und dann für x,y so, dass für |x-y|<<math>\delta</math>gilt: <math>||g(x)-g(y)|| < \epsilon/3</math> folgern:
<math>||Df(x)-Df(y)||\leq ||Df(x)-g(x)||+||g(x)-g(y)||+||g(y)-Df(y)||\leq 2\cdot \epsilon/3 + ||\tau_{x-y}g(x) - \tau_{x-y}Df(x)|| \leq 3\cdot \epsilon/3</math>, wobei <math>\tau</math> die Translation bezeichnet, weil die Lp-Norm ja invariant bzgl. Translationen ist?

P.S.: Wir sind beide am selben Tag dem Forum beigetreten, sbechtel



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-01-14 13:22

\(\begingroup\)
Vergiss doch mal die Idee mit \(\mathcal{C}_c^{\infty}\) und versuch die Abschätzung \(\Vert D_i f \Vert_{m-1,p} \leq C \Vert f \Vert_{m,p} \) für eine Konstante \(C>0\) zu zeigen
\(\endgroup\)


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Newmath2012
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-15 17:32


Hallo ihr beiden,
ich glaube (hoffe), ich habe es nun geschafft:

Wir wollen zeigen: <math> \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0: ||f-g||_{m,p} \leq \delta \Rightarrow ||Df - Dg||_{m-1,p} \leq \epsilon.</math>

Es gilt:
<math>||Df - Dg||_{m-1,p} = ||D(f-g)||_{m-1,p} \leq ||D(f-g)||_{m-1,p} + ||f-g||_p^p =||f-g||_{m,p}</math>
Also kann man für jedes <math>\epsilon</math> f,g entsprechend wählen, dass die Stetigkeit erfüllt ist.

Ist das richtig?



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-01-15 18:01


Ja, so kann man es machen



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Newmath2012
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-16 03:25


Großartig, vielen Dank!



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