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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Für welche Werte p besitzt das LGS unendlich viele Lösungen?
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Universität/Hochschule Für welche Werte p besitzt das LGS unendlich viele Lösungen?
qwertbert
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-12 18:47


Hallo. Mir wird folgende Aufgabe gestellt:


fed-Code einblenden

Ich bin gerade ein bisschen Ratlos. Das Ganze ist doch schon ein paar Jahre her.

Mit Gauss komme ich nicht besonders weit.
Ich habe vertauschen versucht, doch dann bleibe ich stecken.
Mir fehlt wahrscheinlich gerade nur der erste Anstoß, wäre toll wenn mir da jemand helfen könnte.
Danke



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-12 18:55


Hallo,

du kannst zu erst die Matrizen multiplizieren.
Welche zwei Gleichungen erhältst du dann?



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qwertbert
Neu Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-12 19:12


Hallo PrinzessinEinhorn,

dann erhalte ich px -y = -4 und -4x + py = -8.
Das bringt mich leider aber aber noch nicht weiter.



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-01-12 20:08

\(\begingroup\)
Wir haben ja die Erweitertekoeffizientenmatrix

$\begin{pmatrix} p&-1&|-4\\-4&p&|-8\end{pmatrix}$

Nun löse dies so wie immer.

Wir hätten die Matrizen auch gar nicht ausmultiplizieren müssen. Ich dachte vielleicht hilft dir das...
Wenn du mit der Matrix nicht so gut zurecht kommst, kannst du es auch anders lösen.
\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-01-12 20:33


2018-01-12 19:12 - qwertbert in Beitrag No. 2 schreibt:
dann erhalte ich px -y = -4 und -4x + py = -8.
Das bringt mich leider aber aber noch nicht weiter.

Du musst die rechten Seiten der Gleichungen gleich machen, z.B. indem du die erste mit 2 multiplizierst, und dir dann überlegen, wann auch die linken Seiten gleich sind, womit also dann eine der beiden Gleichungen überflüssig ist.



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-01-13 00:13

\(\begingroup\)
2018-01-12 20:08 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 3 schreibt:
Nun löse dies so wie immer.
Aber genau daran scheint es ja zu hängen. Dieses „wie immer“ müßte heißen „wie damals“, und das ist offensichtlich schon zu lange her biggrin

$\begin{pmatrix} p&-1&|&-4\\-4&p&|&-8\end{pmatrix}$
Erste Zeile durch $p$ dividieren:
$\begin{pmatrix} 1&-\frac{1}{p}&|&-\frac{4}{p}\\-4&p&|&-8\end{pmatrix}$
Das 4-fache der ersten Zeile zur zweiten addieren:
$\begin{pmatrix} 1&-\frac{1}{p}&|&-\frac{4}{p}\\0&p-\frac{4}{p}&|&-8-\frac{16}{p}\end{pmatrix}$
Jetzt die zweite Zeile durch $p-\frac{4}{p}$ dividieren (ja, Bruchrechnung ist auch erlaubt biggrin ):
*** du bist dran ***

Oder erst die beiden Zeilen vertauschen, damit man nicht immer dieses $p$ im Nenner mit rumschleppt:
$\begin{pmatrix} p&-1&|&-4\\-4&p&|&-8\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -4&p&|&-8\\p&-1&|&-4\end{pmatrix}$
Zeile 1 durch $-4$ dividieren.
$\begin{pmatrix} 1&-\frac{p}{4}&|&2\\p&-1&|&-4\end{pmatrix}$
Jetzt das <math>p</math>-fache der ersten von der zweiten Zeile subtrahieren:
*** du bist dran ***

Wenn du fertig bist, und die Lösung $x=\dots$ und $y=\dots$ da stehen hast, dann erhebt sich die Frage, wie man damit die Aufgabenstellung beantwortet. Aber dazu kommen wir, wenn es soweit ist.

Gruß vom ¼


-----------------
Bild
\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-01-13 03:53

\(\begingroup\)
Ich glaube zwar immer noch, dass der von mir #4 skizzierte Weg begrifflich bei weitem der einfachste ist, wenn man aber unbedingt mit Matrizen rechnen will, dann wohl so, dass man sich überlegt, dass ein Gleichungssystem in Matrizenform

$A\vec x=\vec b$

für dessen Determinante $\det(A)$ gilt $\det(A)\ne 0$ ja stets eindeutig lösbar ist, da ja dann $A^{-1}$ existiert. Eine notwendige Bedingung dafür, dass es unendlich viele Lösungen gibt, ist somit ganz klar

$\begin{vmatrix}p&-1\\-4&p\end{vmatrix}=p^2-4=0$

Da diese Bedingung aber nicht zugleich hinreichend dafür ist, dass es unendliche viele Lösungen gibt, kommt man aber dann nicht darum herum, sich die zwei resultierenden Fälle für $p$ diesbezüglich noch im Detail anzusehen.
\(\endgroup\)


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qwertbert
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-13 12:00

\(\begingroup\)
Vielen Dank Euch allen!

Löse ich jetzt $p^2-4=0$ bin ich schon durch?

$(p-2)(p+2)=0$
$p=2\\
p=-2$

Auf die Idee die Determinante zu bestimmen bin ich gar nicht gekommen.
Das wäre ja in diesem Fall wesentlich einfacher als das Teil mit Gauss zu belästigen.
\(\endgroup\)


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-01-13 12:13

\(\begingroup\)
2018-01-13 12:00 - qwertbert in Beitrag No. 7 schreibt:
Löse ich jetzt $p^2-4=0$ bin ich schon durch?

Nein:

2018-01-13 03:53 - weird in Beitrag No. 6 schreibt:
Da diese Bedingung aber nicht zugleich hinreichend dafür ist, dass es unendliche viele Lösungen gibt, kommt man aber dann nicht darum herum, sich die zwei resultierenden Fälle für $p$ diesbezüglich noch im Detail anzusehen.
\(\endgroup\)


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