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Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Messwertes in einem Spinzustand
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Universität/Hochschule Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Messwertes in einem Spinzustand
NoNameTI-30x
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-13


Gegeben ist der Spinzustand fed-Code einblenden
Ich möchte jetzt wissen, entlang welcher Raumrichtung ich messen muss, um mit der Wahrscheinlichkeit 1 den Zustand fed-Code einblenden
zu messen.
Ich hab mir dazu viele Gedanken gemacht aber komme auf keine klare Lösung. Einerseits glaub ich zu wissen das fed-Code einblenden
ein Eigenwert von Sz ist. Das bedeutet aber denk ich nicht das ich fed-Code einblenden
im Zustand fed-Code einblenden
auch in der z-Ebene finde oder?
Außerdem weiß ich das die Wahrscheinlichkeit einen Zustand zu messen durch
fed-Code einblenden
gegeben ist aber das wäre ja unabhängig einer Raumrichtung.
Kann mir jemand einen Tipp geben wie das Beispiel zu lösen ist?



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-13

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Hallo NoNameTI-30x,

2018-01-13 13:01 - NoNameTI-30x im Themenstart schreibt:
Einerseits glaub ich zu wissen das   fed-Code einblenden
ein Eigenwert von Sz ist.

$\pm\hbar/2$ sind die Eigenwerte für jede Projektion ${\bf S}\cdot{\bf e}$ des Spinvektors ${\bf S}$ auf einen Einheitsvektor ${\bf e}$ (und damit auch für ${\bf S}\cdot{\bf e}_z=S_z$). Aber daraus, dass ${\bf S}\cdot{\bf e}$ diese Eigenwerte hat, folgt doch noch lange nicht, dass einer der beiden Eigenwerte mit Wahrscheinlichkeit 1 gemessen wird.

2018-01-13 13:01 - NoNameTI-30x im Themenstart schreibt:
Außerdem weiß ich das die Wahrscheinlichkeit einen Zustand zu messen durch
fed-Code einblenden

Was ist denn hier $a_n$? Ich habe keine Ahnung, was diese Formel bedeuten soll.

2018-01-13 13:01 - NoNameTI-30x im Themenstart schreibt:
Kann mir jemand einen Tipp geben wie das Beispiel zu lösen ist?

Rechne ${\bf S}\cdot{\bf e}\;|\chi\rangle$ erstmal allgemein aus und wähle dann ${\bf e}$ so, dass

    $\displaystyle
{\bf S}\cdot{\bf e}\;|\chi\rangle={\hbar\over2}\,|\chi\rangle$

wird.

Wenn Du weißt, wie Drehmatrizen in der Basis $\bigl\{|\mathord\uparrow\rangle,|\mathord\downarrow\rangle\bigr\}$ aussehen, kannst Du dieses Wissen dabei einsetzen.

Grüße,
dromedar
\(\endgroup\)


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NoNameTI-30x
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-14


Mich verwirrt bei der Rechnung der Spinvektor. Ich habe gelesen das dieser den Wert 1/2 hat und die Gestalt:
fed-Code einblenden
Stimmt das?
Wobei ja gilt fed-Code einblenden
Das würde mich dann auf die Gleichung bringen:
fed-Code einblenden
Was ja von den Dimensionen schon gar nicht passt.



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-01-14

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2018-01-14 18:23 - NoNameTI-30x in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich habe gelesen das dieser den Wert 1/2 hat und die Gestalt:
fed-Code einblenden

Dass ${\bf S}$ ein Vektor mit den drei Komponenten $S_x$, $S_y$ und $S_z$ ist, stimmt.

Die Aussage, dass dieser Vektor "den Wert 1/2 hat", ergibt keinen Sinn. Was dieser Aussage nahekommt, ist, dass ${\bf S}^2$ ein Vielfaches des Einheitsoperators ist,

    $\displaystyle {\bf S}^2=\hbar^2\,{3\over4}\,1$  ,

und dass man den Faktor ${3\over4}$ als $j(j+1)$ mit $j={1\over2}$ schreiben kann.

2018-01-14 18:23 - NoNameTI-30x in Beitrag No. 2 schreibt:
fed-Code einblenden
Was ja von den Dimensionen schon gar nicht passt.

Du musst Dir klar machen, was hier wie multipliziert wird. ${\bf S}\cdot{\bf e}$ ist ein Skalarprodukt:

    ${\bf S}\cdot{\bf e}=
S_x\,e_x+S_y\,e_y+S_z\,e_z$

Und wegen $S_i={\hbar\over2}\sigma_i$ ist das Ergebnis dieses Skalarprodukts wie die Pauli-Matrizen eine $2\times2$-Matrix. Und mit dieser $2\times2$-Matrix wird der 2-komponentige Spaltenvektor $|\chi\rangle$ multipliziert.
\(\endgroup\)


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NoNameTI-30x
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-15


Ok, das heißt ich komme auf das allgemeine Ergebnis fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
.
Du hast in Beitrag #1 die Drehmatrizen erwähnt. Diese müsste ich ja anstelle meines Einheitsvektors schreiben können. Die einzelnen Matrizen habe ich hier
her.
Ich komme somit (wenn ich mich nicht verrechnet habe auf:
fed-Code einblenden
Damit die Gleichung erfüllt ist muss meine Matrix gleich der Einheitsmatrix sein oder?



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-01-15

\(\begingroup\)
2018-01-15 12:23 - NoNameTI-30x in Beitrag No. 4 schreibt:
Ok, das heißt ich komme auf das allgemeine Ergebnis fed-Code einblenden

Hier hast Du zweimal das falsche Vorzeichen ausgerechnet und einmal $1$ und $i$ vertauscht.

2018-01-15 12:23 - NoNameTI-30x in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich komme somit (wenn ich mich nicht verrechnet habe auf:
fed-Code einblenden

Die Spinor-Drehmatrizen kommen ins Spiel, indem man nach einer Matrix $D$ mit $D\,|\!\uparrow\rangle = |\chi\rangle$ sucht. Mit einer solchen Matrix ist nämlich zum einen

    $\displaystyle
D\,({\bf S}\cdot{\bf e}_z)\,D^+\;|\chi\rangle=
D\,S_z\,D^+\;|\chi\rangle=
D\,S_z\;|\!\uparrow\rangle=
D\,{\hbar\over2}\,|\!\uparrow\rangle=
{\hbar\over2}\,|\chi\rangle$

und zum anderen

    $D\,({\bf S}\cdot{\bf e}_z)\,D^+=
{\bf S}\cdot(\tilde D\,{\bf e}_z)$  ,

wobei $\tilde D$ die $D$ entsprechende Vektor-Drehmatrix ist.

Wenn also eine Spinor-Drehung $|\!\uparrow\rangle$ in $|\chi\rangle$ überführt, überführt die entsprechende Vektor-Drehung ${\bf e}_z$ in den gesuchten Vektor ${\bf e}$.
\(\endgroup\)


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NoNameTI-30x
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-15

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Ich muss leider gestehen das ich das nicht wirklich verstehe. Ich weiß das ich eine Matrix suche die mir multipliziert mit einem Spin up zustand meinen Spinzustand liefert.Ich verstehe auch das mir die entsprechende Vektor Drehmatrix meinen gesuchten Vektor liefert.
Ich weiß allerdings nicht wie? Über Drehmatrizen ist in meinem Skriptum nicht wirklich etwas zu finden. Wie kann ich D berechnen und was bedeutet \(D^{+}\)?
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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-01-16

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2018-01-15 23:47 - NoNameTI-30x in Beitrag No. 6 schreibt:
Ich muss leider gestehen das ich das nicht wirklich verstehe.

Der Weg über Drehmatrizen ist nur eine Option, um Rechenaufwand zu sparen. Du kannst die Aufgabe auch ohne Weiteres ohne lösen, indem Du mit der Gleichung ${\bf S}\cdot{\bf e}\,|\chi\rangle={\hbar\over2}|\chi\rangle$ weitermachst.
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NoNameTI-30x
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-16

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Gut. Nachdem ich die Gleichung nochmals gerechnet habe komme ich auf:
fed-Code einblenden
Ich werde das Gleichungssystem nicht ohne weiteres lösen könne da ich 3 unbekannte Variablen habe. Für \(e_z = 1\) und \(e_x = e_y = 0\) würde bis auf den Vorfaktor von i die Gleichung erfüllt sein. Hilft es mir etwas das ich jetzt weiß, dass ich für \(e_z = 1\) den Vektor fed-Code einblenden
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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-01-16

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2018-01-16 01:21 - NoNameTI-30x in Beitrag No. 8 schreibt:
Ich werde das Gleichungssystem nicht ohne weiteres lösen könne da ich 3 unbekannte Variablen habe.

Du hast 2 komplexe Gleichungen für drei reelle Variablen, die auch noch der Nebenbedingung $e_x^2+e_y^2+e_z^2=1$ genügen. Das reicht also auf jeden Fall, um eine Lösung eindeutig festzulegen.
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NoNameTI-30x
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-16

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Nachdem ich das jetzt zum 3.mal gerechnet habe kommt zumindest ein teilweise reelles Ergebnis raus.
fed-Code einblenden
Kannst du das bestätigen bzw kann das theoretisch stimmen? Was bedeutet es das \(e_x\) imaginär ist, nachdem ja nur reelle Messwerte physikalisch sinnvoll sind?
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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-01-16

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2018-01-16 18:06 - NoNameTI-30x in Beitrag No. 10 schreibt:
[...] kann das theoretisch stimmen?

Das kann natürlich nicht stimmen. Es müssen $e_x$, $e_y$ und $e_z$ die Komponenten eines rellen Einheitsvektors sein, also reelle Zahlen mit $e_x^2+e_y^2+e_z^2=1$.

Allein schon aus der Tatsache, dass diese Zahlen reell sind, folgt durch scharfes Hinsehen, dass $e_x=0$ sein muss. Für die beiden übrigen Komponenten ergibt sich daraus die Parametrisierung

    $e_y=\cos\alpha\;,\quad e_z=\sin\alpha$  .

Jetzt musst Du nur noch den Winkel ausrechnen.
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NoNameTI-30x
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-18


Danke ich habe das Beispiel schon gelöst.



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dromedar
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2018-01-18 22:19 - NoNameTI-30x in Beitrag No. 12 schreibt:
Danke ich habe das Beispiel schon gelöst.

Für den Fall, dass dieser Thread irgendwann einmal von irgendwem gelesen wird, der sich nicht nur dafür, sondern auch für das Ergebnis interessiert: Es ist

    $\displaystyle {\bf e}=
\begin{pmatrix}0&-{\sqrt3\over2}&\hphantom-{1\over2}\end{pmatrix}^T$  ,

und man erhält diesen Vektor, indem man ${\bf e}_z$ um $60^\circ$ um die $x$-Achse dreht,

    ${\bf e} =
\tilde D_x\left({\pi\over3}\right)\,{\bf e}_z$    mit    $\displaystyle \tilde D_x(\varphi)=
\begin{pmatrix}1\\&\cos\varphi&-\sin\varphi\\
&\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix}$  .

Darauf kommt man entweder durch eine direkte Rechnung oder dadurch, dass man feststellt, dass $|\chi\rangle$ durch eine ebensolche Drehung aus $|\mathord\uparrow\rangle$ entsteht,

    $|\chi\rangle =
D_x\left({\pi\over3}\right)\,|\mathord\uparrow\rangle$    mit    $\displaystyle D_x(\varphi)=
\begin{pmatrix}\cos{\varphi\over2}&-i\sin{\varphi\over2}\\
-i\sin{\varphi\over2}&\cos{\varphi\over2}\end{pmatrix}$  .
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