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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Gruppen » Untergruppe von (Z,+) ist isomorph zu (Z,+)
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Universität/Hochschule Untergruppe von (Z,+) ist isomorph zu (Z,+)
alrb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-17


Hallo!

Ich habe folgende Aufgabe:

Sei G die Gruppe ( fed-Code einblenden , +). Zeigen Sie, dass jede Untergruppe U von G, die nicht nur die 0 fed-Code einblenden fed-Code einblenden enthält, isomorph zu G ist.

Vielen Dank im Voraus für jegliche Hilfe!



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-17


Was hast du dir schon überlegt? Wo kommst du nicht weiter?


[Verschoben aus Forum 'Strukturen und Algebra' in Forum 'Gruppen' von ligning]


-----------------
⊗ ⊗ ⊗



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alrb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-17


Also ich hatte mir überlegt, das Z abzählbar unendlich ist, also gibt es abzählbar unendliche Elemente. Und eine Untergruppe von Z, die nicht nur die 0, also das neutrale Element von Z enthält, enthält ebenfalls von 0 verschiedene Elemente aus Z. Also kann man das erste Element der Untergruppe von Z auf das erste Element von Z abbilden, das zweite Element der Untergruppe auf das zweite Element der Gruppe usw. (isomorph)

Ich denke aber für den formalen Beweis reicht dies nicht.



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-01-17


Das ist ja schonmal eine Idee. Aber was soll das "erste" Element einer Untergruppe bzw. von Z sein?

Was für nichttriviale Untergruppen von Z fallen dir eigentlich so sein?



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alrb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-17


Vielleicht das neutrale Element 0? Da es ja ein beiden Gruppen vorhanden ist und somit auch das "erste" Element?

Mir fallen gerade nur triviale Gruppen von Z ein



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-01-17


2018-01-17 17:38 - alrb in Beitrag No. 4 schreibt:
Vielleicht das neutrale Element 0? Da es ja ein beiden Gruppen vorhanden ist und somit auch das "erste" Element?
Na von mir aus, und was ist dann das "zweite"? Also das "erste" was nicht Null ist? Ich will nur, dass du deine Intuition formalisierst.


Mir fallen gerade nur triviale Gruppen von Z ein
Das kann ich kaum glauben. Zur Erinnerung, die triviale Untergruppe ist {0}.



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alrb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-17


Ich würde schätzen, das neutrale Element +1, als drittes Element das neutrale Element +2 usw.

Ah okay. Dann ist z. B. eine nicht-triviale Untergruppe von Z: nZ, wobei n eine natürliche Zahl ist. Zum Verständnis des zu trivialen und nicht-trivialen Untergruppen: Alles von der trivialen Untergruppe {0} verschiedenen Untergruppen sind nicht-triviale Untergruppen von Z?



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alrb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-17


Nochmal zu 1. Formalisieren mit einem Isomorphismus vielleicht?



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-01-17

\(\begingroup\)
2018-01-17 17:41 - ligning in Beitrag No. 5 schreibt:


Mir fallen gerade nur triviale Gruppen von Z ein
Das kann ich kaum glauben. Zur Erinnerung, die triviale Untergruppe ist {0}.

Alle Ideale im Ring Z sind Unterringe oder alle ($n\mathbb Z,+)$ in der Gruppe ($\mathbb Z,+)$ sind Untergruppen mit 0 als Nullelement, und nicht trivial, meine ich.
Und dann einen Isomorphismus von $(\mathbb Z,+) \Leftrightarrow (n\mathbb Z,+)$ zu definieren ist nicht so schwer oder.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
\(\endgroup\)


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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-01-17


2018-01-17 17:46 - alrb in Beitrag No. 6 schreibt:
Ich würde schätzen, das neutrale Element +1, als drittes Element das neutrale Element +2 usw.
0+1 = 1, was hat das mit dem "ersten" Element einer Untergruppe zu tun?

Ich glaube der Gedanke führt vorerst nicht weiter :/


Ah okay. Dann ist z. B. eine nicht-triviale Untergruppe von Z: nZ, wobei n eine natürliche Zahl ist.
Ja. Das sind alle Untergruppen. Zeige also, dass es zu einer beliebigen gegebenen Untergruppe U so ein n gibt, so dass U = nZ.


 Zum Verständnis des zu trivialen und nicht-trivialen Untergruppen: Alles von der trivialen Untergruppe {0} verschiedenen Untergruppen sind nicht-triviale Untergruppen von Z?
Ja.



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-01-17

\(\begingroup\)
2018-01-17 18:04 - ligning in Beitrag No. 9 schreibt:
Zum Verständnis des zu trivialen und nicht-trivialen Untergruppen: Alles von der trivialen Untergruppe {0} verschiedenen Untergruppen sind nicht-triviale Untergruppen von Z?
Ja.

Nach meinem Verständnis ist allerdings auch noch $\mathbb Z$ eine triviale Untergruppe (s. hier).
\(\endgroup\)


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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-01-17


@weird

OK, da ist die Terminologie wohl nicht einheitlich. Lang nennt nur die Untergruppe {0} trivial, genauso wie die englische Wikipedia.



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alrb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-17


Ich tue mich mit Algebra noch einwenig schwer, mag es aber trotzdem versuchen, weil ich es auch verstehen möchte.

Eine Frage noch, reicht es hier in dem Fall einen Isomorphismus zu definieren? Dies wäre ja ein bijektiver Homomorphismus und da in einer (echten) Untergruppe von Z weniger Elemente vorhanden sind, geht das dann überhaupt?



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-01-17

\(\begingroup\)
2018-01-17 18:14 - weird in Beitrag No. 10 schreibt:
Nach meinem Verständnis ist allerdings auch noch $\mathbb Z$ eine triviale Untergruppe ...
Hi weird,
ich sehe es so, wie es in dem englischen Wikipedia-Artikel erklärt ist, dort heißt es:

The trivial subgroup of any group is the subgroup {e} consisting of just the identity element.
Wenn man von einer trivialen (im Sinne von ≠ {e} und ≠ G) Untergruppe sprechen will, dann sollte man die Formulierung "nichttriviale echte Untergruppe" benutzen, das ist unmissverständlich.
Gruß Buri
\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2018-01-17

\(\begingroup\)
2018-01-17 20:31 - Buri in Beitrag No. 13 schreibt:
ich sehe es so, wie es in dem englischen Wikipedia-Artikel erklärt ist, dort heißt es:

The trivial subgroup of any group is the subgroup {e} consisting of just the identity element.


Ja, auf diesen Artikel hatte mich auch schon ligning oben hingewiesen.  wink

Schade eigentlich, das es diesbezüglich so einen Begriffswirrwarr in der Literatur gibt, auf den ich hier in dieser Sache zum ersten Mal gestoßen bin. Vom Wortsinne her erscheint es mir aber nach wie vor natürlicher zu sein, die beiden Untergruppen einer Gruppe $G$ mit Einselement $e$, welche es immer gibt, also dann $\{e\}$ und $G$, als "trivial" zu bezeichnen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Bai
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2018-01-17


2018-01-17 20:29 - alrb in Beitrag No. 12 schreibt:
Eine Frage noch, reicht es hier in dem Fall einen Isomorphismus zu definieren? Dies wäre ja ein bijektiver Homomorphismus und da in einer (echten) Untergruppe von Z weniger Elemente vorhanden sind, geht das dann überhaupt?

Unendliche Mengen sind gerade so charakterisiert, dass sie zu echten Teilmengen gleichmächtig sind.



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alrb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-17


fed-Code einblenden
Dies hier als Isomorphismus vielleicht?



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Bai
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2018-01-17


2018-01-17 21:32 - alrb in Beitrag No. 17 schreibt:
fed-Code einblenden
Dies hier als Isomorphismus vielleicht?


Was du damit meinst, wird hier wohl keiner verstehen.



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2018-01-17

\(\begingroup\)
@alrb:

Einen Isomorphismus $\IZ\to n\IZ$ anzugeben sollte nicht so schwierig sein. Das schwere hier ist zu beweisen, dass jede Untergruppe von der Form $n\IZ$ ist.
\(\endgroup\)


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alrb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-17


Ich meine damit, dass es einen Isomorphismus gibt, der die Gruppe Z auf nZ abbildet, wobei n eine natürliche Zahl ist.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.18 begonnen.]



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alrb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-17


Hm. Ich würde wahrscheinlich erstmal n genauer definieren. Da n eine natürliche Zahl ist, ist diese auch durch natürliche Zahlen a, b darstellbar, also n = a*b. Aber ich weiß nicht, ob es hier etwas bringt.



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2018-01-17

\(\begingroup\)
2018-01-17 22:04 - ligning in Beitrag No. 19 schreibt:
@alrb:

Einen Isomorphismus $\IZ\to n\IZ$ anzugeben sollte nicht so schwierig sein. Das schwere hier ist zu beweisen, dass jede Untergruppe von der Form $n\IZ$ ist.
Du nimmst einfach jede Zahl aus Z und multiplizierst sie mit irgendeinem fest gewählten a aus Z. Nehme a=3:
\(\{..,-1,0,1,2...\}\) mal 3 ergibt \(\{..,-3,0,3,6...\}\). Zeige, dass das ein Homomorphismus ist. Ist er injektiv und surjektiv?
Finde die Umkehrabbildung.
Die andere Richtung wie oben erwähnt ist etwas schwieriger..
Man könnte so als Idee sagen, wenn die Untergruppe nicht nur die 0 enthält, gibt es auch noch irgendein $a \ne 0 \in \mathbb Z$ und damit auch $a+a, a+a+a, -a,...$

\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2018-01-18

\(\begingroup\)
2018-01-17 23:15 - juergen007 in Beitrag No. 22 schreibt:
Man könnte so als Idee sagen, wenn die Untergruppe nicht nur die 0 enthält, gibt es auch noch irgendein $a \ne 0 \in \mathbb Z$ und damit auch $a+a, a+a+a, -a,...$

Diese "Idee" funktioniert nur, wenn

1. $a$ in der Untergruppe liegt, nicht wie bei dir einfach in $\mathbb Z$
2. $a$ die kleinste(!) positive (oder wahlweise auch größte negative) Zahl in der Untergruppe ist

d.h., du hast da gleich zwei ganz wichtige Bedingungen unterschlagen!  eek
\(\endgroup\)


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alrb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-18


Okay. Es gibt also folgenden Gruppenisomorphismus:

fed-Code einblenden

Jedes u aus U lässt sich darstellen als: u = z * n. Wenn man darauf den Isomorphismus anwendet, bekommt man:

fed-Code einblenden

Wenn man dies umstellt, ergibt sich:

fed-Code einblenden

Was dann z ergibt, welches aus den ganzen Zahlen kommt. Soweit wäre ich dann  eek



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2018-01-18


Hi alrb,
es ist unklar, was U bedeuten soll, wahrscheinlich meinst du U = nZ.
Dann schreibe es auch so.
Du hast deinen Isomorphismus φ überhaupt nicht definiert.
Es muss so lauten: φ(n·z) = z.
Es ist nicht erforderlich, mit Division zu arbeiten, aber, wenn du es unbedingt willst, kannst du
fed-Code einblenden
Gruß Buri



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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2018-01-18

\(\begingroup\)
Hi alrb,

wie ligning schon angemerkt, es ist viel interessanter zu zeigen, dass jede Untergruppe von $\IZ$ von der Form $n\IZ$ ist mit einem $n\in\IN_0$. Einen vollständigen Beweis findest du im (klassischen) Algebra-Buch von S. Bosch, Lemma 1.3/4. (Du solltest/könntest die Aussage ein bisschen nachdenken bevor du das Buch aufmachst.)

P.S. Eine Beweisidee steht in Beitrag #22.

\(\endgroup\)


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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, eingetragen 2018-01-19


2018-01-18 20:35 - Buri in Beitrag No. 24 schreibt:
Es muss so lauten: φ(n·z) = z.
Es ist nicht erforderlich, mit Division zu arbeiten, aber, wenn du es unbedingt willst, kannst du
fed-Code einblenden
Gruß Buri

huhu!
sry dass ich mich hier kurz einmische, wie anders als durch Division kann man φ(n·z) = z. umkehren?
Thx



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