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Analysis » Funktionen » Nicht-Injektivität von Kompositionen nicht-injektiver Funktionen
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Universität/Hochschule Nicht-Injektivität von Kompositionen nicht-injektiver Funktionen
IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-18


Hallo,

die Elementaren Funktionen sind fast überall analytisch. Ist meine folgende Behauptung wahr, und wenn ja, wie kann man das beweisen?

Behauptung:
Die Komposition zweier fast überall analytischer Funktionen, von denen die innere Funktion nicht injektiv ist, ist nicht injektiv.

Für ganze Funktionen dürfte die Behauptung wahr sein und sich leicht zeigen lassen.

Sind diese beiden Sätze vielleicht schon allgemein bekannt, haben sie einen Namen, oder gibt es Literaturstellen dazu?

(Ich bin kein Mathematiker.)

Vielen vielen Dank.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-18


Hallo IVmath,

es gilt Folgendes

Die Komposition zweier Funktionen, von denen die innere Funktion nicht injektiv ist, ist nicht injektiv.

Beantwortet das deine Frage?



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-19


Eine Komposition <math>f\circ g</math> ist wohl nur so definiert, daß der Definitionsbereich von <math>f</math> die ganze Bildmenge von <math>g</math> enthält.

Dann meine ich keine Komposition, sondern die Hintereinanderausführung von <math>g</math> und <math>f</math>: der Definitionsbereich von <math>f</math> braucht die Bildmenge von <math>g</math> nicht oder nicht vollständig enthalten.

Die Behauptung "Die Hintereinanderausführung zweier Funktionen, von denen die innere Funktion nicht injektiv ist, ist nicht injektiv." ist nicht wahr, wenn die innere Funktion zwar nicht injektiv, auf dem Definitionsbereich der äußern Funktion aber injektiv ist.

Heißt "fast überall analytisch" "im gesamten <math>\mathbb{R}</math> bzw. <math>\mathbb{C}</math> analytisch", oder "im gesamten Definitionsbereich analytisch"?

Wie kann man für die fast überall analytischen Funktionen zeigen, daß, wenn sie injektiv sind, ihre Injektivitätsstellen(?) nicht isoliert von anderen Injektivitäststellen sein können?



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-01-21

\(\begingroup\)
2018-01-19 20:00 - IVmath in Beitrag No. 2 schreibt:
Dann meine ich keine Komposition, sondern die Hintereinanderausführung von <math>g</math> und <math>f</math>: der Definitionsbereich von <math>f</math> braucht die Bildmenge von <math>g</math> nicht oder nicht vollständig enthalten.

Die Behauptung "Die Hintereinanderausführung zweier Funktionen, von denen die innere Funktion nicht injektiv ist, ist nicht injektiv." ist nicht wahr, wenn die innere Funktion zwar nicht injektiv, auf dem Definitionsbereich der äußern Funktion aber injektiv ist.

Ich nehme mal an, du möchtest g nicht auf den Definitionsbereich \(D_f\) der äußeren Funktion f sondern auf \(g^{-1}(D_f)\) einschränken. Dort soll g also injektiv sein. Dann behauptest du aber, dass f°g nicht injektiv ist.

Irgendwie verstehe ich nicht ganz, worauf du hinaus möchtest. Vielleicht erläuterst du das ganze mal an ein paar Beispielen.
\(\endgroup\)


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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-21


1.)

Sei <math>f</math> eine Funktion mit <math>f\colon D_f\rightarrow W_f,\ x\mapsto f(x)</math>, und sei <math>g</math> eine Funktion mit <math>g\colon D_g\rightarrow W_g,\ x\mapsto g(x)</math>.

Wenn <math>W_g\cap D_f=\{\}</math>, dann ist der Wertebereich der Anwendung von <math>f</math> auf <math>g</math> die Leere Menge. Kann diese Hintereinanderausführung "nicht injektiv" sein?

Wenn <math>W_g\cap D_f\neq\{\}</math> und <math>\exists x\colon x \in W_g\land x\notin D_f</math>, dann wird nur die Nichtinjektivität von <math>g</math> durch <math>f</math> weitertransportiert, die in <math>W_g\cap D_f</math> liegt.


2.)

Eine stetige Funktion <math>g</math> mit dem Funktionsgraphen

          *
         *
  ****
 *
*

ist nicht injektiv. Die Nichtinjektivität betrifft jedoch nur einen einzigen ihrer Funktionswerte. Kann solch eine Funktion fast überall analytisch sein?



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-01-21


1) Ist zwar etwas holprig ausgedrückt, aber ich kann ungefähr verstehen, was du meinst.

2) Dein Beispiel ist hier die "Verklebung" dreier linearer Funktionen. Außerhalb der Klebepunkte handelt es sich also um lineare Funktionen, die analytisch sind. Somit ist die Funktion fast überall (nämlich hier in allen bis auf endlich vielen Punkten) analytisch. Was hat das mit der Hintereinanderausführung von Funktionen zu tun?

Worauf du hinaus möchtest, verstehe ich aber immer noch nicht. Bring doch mal ein paar Beispiele, die deine Intention motivieren.



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-22


zu 1.)

Ich denke, ich konnte das Problem jetzt klären. Siehe dazu das folgende Bild aus: Lexikon der Mathematik, Bibliographisches Institut Leipzig, 1985 - Funktion I.



Bei meiner Problemstellung geht es um Folgendes.

Die Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> sind gegeben. Von ihnen ist bekannt, ob sie injektiv oder surjektiv sind.

Durch das Anwenden der Funktion <math>g</math> auf die Funktion <math>f</math> wird jedoch <math>X</math> auf <math>Z</math>, und <math>Z</math> auf <math>Y</math> abgebildet. Zwei Funktionen können nur dann identisch sein, wenn sie denselben Definitionsbereich haben. Die <math>X</math> auf <math>Z</math> abbildende Funktion ist im allgemeinen Fall also eine andere als die Funktion <math>f</math>, und die <math>Z</math> auf <math>Y</math> abbildende Funktion ist im allgemeinen Fall eine andere als die Funktion <math>g</math>.

Nennen wir die Einschränkung von <math>f</math> auf <math>X</math> <math>f_1</math>, und die Einschränkung von <math>g</math> auf <math>Z</math> <math>g_1</math>. Dann können zwar <math>f</math> und/oder <math>g</math> injektiv sein, <math>f_1</math> und/oder <math>g_1</math> müssen es dann aber nicht zwangsläufig.

Die bekannten Sätze über Kompositionen gelten für die in meiner Problemstellung zunächst unbekannten Funktionen <math>f_1</math> und <math>g_1</math>, für die bekannten Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> muß man erst Sätze herleiten.

Der Satz über die Nicht-Injektivität von Kompositionen ist interessant für mich, hilft mir aber nicht weiter wenn ich nur die Eigenschaften von <math>f</math> und <math>g</math> kenne, denn er bezieht sich auf <math>f_1</math> und <math>g_1</math>.

Vielleicht könnt Ihr mir ja solche Sätze, die die Injektivität, Surjektivität und/oder Bijektivität der Funktionen <math>f</math>, <math>g</math> und ihrer Verkettung beinhalten, nennen?



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-22


zu 2.)

Bis eben hatte ich ja noch geglaubt, eine nicht konstante Elementare Funktion (bzw. eine nicht konstante, fast überall analytische Funktion) könne keinen Funktionsgraphen mit konstanten Abschnitten haben.

Der waagerechte Abschnitt des Funktionsgraphen der inneren Funktion einer Verkettung führt zur Nicht-Injektivität der Komposition - wenn der Funktionswert, der zu diesem waagerechten Abschnitt gehört, nicht einer singulären Stelle der äußeren fast überall analytischen Funktion entspricht.


   



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IVmath
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2018-01-22 20:05 - IVmath in Beitrag No. 6 schreibt:
Bei meiner Problemstellung geht es um Folgendes.
Die Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> sind gegeben. Von ihnen ist bekannt, ob sie injektiv oder surjektiv sind.
...
Die bekannten Sätze über Kompositionen gelten für die in meiner Problemstellung zunächst unbekannten Funktionen <math>f_1</math> und <math>g_1</math>, für die bekannten Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> muß man erst Sätze herleiten.
Der Satz über die Nicht-Injektivität von Kompositionen ist interessant für mich, hilft mir aber nicht weiter wenn ich nur die Eigenschaften von <math>f</math> und <math>g</math> kenne, denn er bezieht sich auf <math>f_1</math> und <math>g_1</math>.
Vielleicht könnt Ihr mir ja solche Sätze, die die Injektivität, Surjektivität und/oder Bijektivität der Funktionen <math>f</math>, <math>g</math> und ihrer Verkettung beinhalten, nennen?

Einen solchen Satz für die Bijektivität konnte ich jetzt hier in Matroids Matheplanet: "Bijektivität der tatsächlich abbildenden Glieder bijektiver Kompositionen" geben.

Könnt Ihr weitere solcher Sätze formulieren?

Wie könnte man diese "tatsächlich abbildenden", surjektiven, Glieder in Funktionskompositionen nennen?



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