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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Mathematik » Analysis » Kegelschnitt: x = (cos(t))^2 & y = cos(t)*sin(t)
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Autor
Universität/Hochschule J Kegelschnitt: x = (cos(t))^2 & y = cos(t)*sin(t)
Najeb
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 19.01.2018
Mitteilungen: 24
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-19


Hallo,
ich habe eine Aufgabe zu einem Kegelschnitt gegeben:

Der Kegelschnitt lautet x = (cos(t))^2 und y = cos(t) * sin(t).
Ich soll nun diesen Kegelschnitt in eine implizite Zordnungsvorschrift umwandeln, die Lage des Kegelschnittes im Koordinatensystem einzeichen und den Kegelschnitt skizzieren.

Das Problem ist, dass ich nichtmal wirklich einen Ansatz habe.
Ich kenne die Kegelschnitte (Kreis, Ellipse, Hyperbel und Parabel) und kenne die Normalformen dieser Kegelschnitte. Bei einfachen Aufgaben weiß ich auch, wie ich die Gleichungen in die Normalform überführe (mit quadratischer Ergänzung etc.).

Bitte um Ansatz (wenn es geht auch kompletten Lösungsweg).



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gonz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 2703
Aus: Oberharz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-19


Hallo Najeb,

und herzlich willkommen auf dem Matheplaneten!

um die Gleichung aus der gegebenen parametrisierten Darstellung in die dir bekannte Normalform zu überführen, musst du den Parameter eliminieren, um aus den beiden Gleichungen mit Variablen x,y,t eine Gleichung nur noch in x und y zu erhalten.

Dazu ist es gut zu wissen, wie man den Sinus durch den Kosinus darstellt (hier etwas schlampig ohne die Argumente notiert):

fed-Code einblenden

Damit müsstest du nach folgendem Rezept weiterkommen:

- in der zweiten Gleichung (y=...) den sin durch einen cos ersetzen, was einfacher geht, wenn du die Gleichung vorab quadrierst,
- dann die erste Gleichung (x=...) benutzen, um in der zweiten Gleichung den verbliebenen cos durch x zu ersetzen.

Mit ggf. ein paar weiteren Umformungen dürftest du dann bei deiner Normalform angekommen sein :)

Probier doch einfach mal und lass uns wissen wie weit du damit kommst!

Grüsse aus dem Harz
gonz



-----------------
to fight! (Don Quijote de la Mancha)



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cis
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Dabei seit: 03.08.2002
Mitteilungen: 14292
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-01-19

\(\begingroup\)
Trägt zwar zur Lösung der Aufgabe nichts bei, aber hier mal ein schlichter Plot.

<math>

\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
trig format plots=rad,
axis equal,
axis lines=middle,
xlabel=$x(t)$,
ylabel=$y(t)$,
]
\addplot [domain=0:2*pi,samples=500, red] ({cos(x)^2}, {cos(x)*sin(x)});
\end{axis}
\end{tikzpicture}

</math>


-----------------
Wenn man alles ausgeschaltet hat, was unmöglich ist, bleibt am Ende etwas übrig, das die Wahrheit enthalten muß - mag es auch noch so unwahrscheinlich sein...
(Sherlock Holmes)
·
\(\endgroup\)


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gonz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 2703
Aus: Oberharz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-01-19


2018-01-19 12:18 - cis in Beitrag No. 2 schreibt:
Trägt zwar zur Lösung der Aufgabe nichts bei, aber hier mal ein schlichter Plot.


Naja doch, weil man daraus die Lösung in der von Najeb angestrebten Normalform ablesen kann. Also recht hilfreich, um das Ergebnis zu kontrollieren.


-----------------
to fight! (Don Quijote de la Mancha)



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Najeb
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 19.01.2018
Mitteilungen: 24
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-19


Danke für eure Antworten.

Also:
fed-Code einblenden

fed-Code einblenden
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fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

Sollte richtig sein, oder? Entspricht der Normalform des Kreises mit dem Mittelpunkt M(0,5|0) & r=sqrt(0,25)=0,5. Passt auch zu dem Plot.



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gonz
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Mitteilungen: 2703
Aus: Oberharz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-01-21


Hallo Najeb,

ja, das sieht gut aus! Du kannst dann hier vielleicht noch abhaken. Viel Erfolg weiterhin und Spass am Studium.

gonz


-----------------
to fight! (Don Quijote de la Mancha)



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