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Analysis » Grenzwerte » Limes bestimmen
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Universität/Hochschule Limes bestimmen
Schokopudding
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-20


Hey,

ich versuche,
<math>\displaystyle
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{\log n}{n}\right)^n
</math>

zu bestimmen, aber bin gerade etwas ratlos.

Erinnert mich natürlich irgendwie an
<math>\displaystyle
x=\exp(\log x)=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{\log x}{n}\right)^n,
</math>
aber hier ist halt zusätzlich noch <math>x=n</math>.

Vielleicht mag jemand helfen?

Grüße!



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-20

\(\begingroup\)
2018-01-20 12:13 - Schokopudding im Themenstart schreibt:
ich versuche,
<math>\displaystyle
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{\log n}{n}\right)^n
</math>

zu bestimmen, aber bin gerade etwas ratlos.

Der fragliche Grenzwert ist ident mit

$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\left(1+\frac{\log n}{n}\right)^\frac n{\log n}\right)^{\log n}$

und der sollte dich eigentlich an etwas anderes "erinnern".  biggrin

\(\endgroup\)


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Schokopudding
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-20


Hallo, weird,

ich fühle mich gerade leider an nichts erinnert.
 confused

Ein kleiner Hinweis vielleicht?



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-01-20

\(\begingroup\)
Ok, dann noch ein Hinweis: Was ist

$\lim\limits_{n \to \infty} (1+z_n)^{\frac1{z_n}}$

wobei $(z_n)$ irgendeine Nullfolge bezeichnet? Noch ein weiterer Wink mit dem Zaunpfahl: Die von mir so hochgeschätzten Didaktiker fühlen sich da meist noch bemüssigt, eine spezielle Nullfolge wie $z_n=\frac 1n$ zu nehmen, um die Sache scheinbar einfacher zu machen, mit fatalen Folgen, wie man gerade hier sehr schön sieht.   biggrin
\(\endgroup\)


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Schokopudding
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-20

\(\begingroup\)
2018-01-20 12:47 - weird in Beitrag No. 3 schreibt:
Ok, dann noch ein Hinweis: Was ist

<math>\lim\limits_{n \to \infty} (1+z_n)^{\frac1{z_n}}</math>

wobei <math>(z_n)</math> irgendeine Nullfolge bezeichnet?

Für <math>z_n=1/n</math>, er gibt sich als Limes <math>e</math>.


Allgemein weiß ich es nicht.

Wenn $z_n$ eine Nullfolge ist, geht jedenfalls der Exponent $1/z_n$ gegen unendlich.
\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-01-20


2018-01-20 13:05 - Schokopudding in Beitrag No. 4 schreibt:
Für <math>z_n=1/n</math>, er gibt sich als Limes <math>e</math>.


Allgemein weiß ich es nicht.

Ja, damit bist du leider nicht allein. Und das ist es ja gerade, was ich oben kritisiert habe...  frown



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Schokopudding
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-20


Ja, was machen wir da?  biggrin

Intuitiv würde ich sagen, der Grenzwert ist 1, denn <math>1+z_n</math> geht gegen 1 und der exponent gegen unendlich.



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-01-20

\(\begingroup\)
2018-01-20 13:12 - Schokopudding in Beitrag No. 6 schreibt:
Ja, was machen wir da?  biggrin

Intuitiv würde ich sagen, der Grenzwert ist 1, denn <math>1+z_n</math> geht gegen 1 und der exponent gegen unendlich.

Aha, und das obwohl du selbst vorher gesagt hast, dass für $z_n=\frac1n$ der Grenzwert $e$ ist.  confused

Oh Gott, oh Gott, irgendjemand hat kürzlich meine Geduld sehr gelobt, aber du stellst sie da auf eine verdammt harte Probe.  frown Bitte lies mein Posting #3 noch einmal aufmerksam durch, insbesondere die Stelle, wo es heißt, dass man für den Grenzwert irgendeine(!) Nullfolge $(z_n)$ nehmen darf.
\(\endgroup\)


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Schokopudding
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-20


Ich bin nicht hier, um mich herunterputzen zu lassen.
Dann eben nicht!



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Tirpitz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-01-20


Hallo!

weird's Hilfestellungen sind allerdings etwas "weird". Mach dir Nichts draus, ich habe auch keinen Schimmer, worauf er hinaus will.

Hast du denn eine Vermutung, ob die Folge konvergent oder divergent ist?
Fangen wir mal ganz schnöde an: ist die Folge nach unten beschränkt? Wie sieht ihr Monotonie-Verhalten aus? Kannst du auch eine obere Schranke finden?

Eine ganz wesentliche Ingredienz wird die Bernoulli-Ungleichung sein.



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-01-20


2018-01-20 14:12 - Schokopudding in Beitrag No. 8 schreibt:
Ich bin nicht hier, um mich herunterputzen zu lassen.
Dann eben nicht!

Kein Problem! Und viel Glück bei der Suche nach jemanden mit noch mehr Geduld, die wird er/sie auch brauchen!  biggrin

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-01-20


2018-01-20 14:12 - Schokopudding in Beitrag No. 8 schreibt:
Ich bin nicht hier, um mich herunterputzen zu lassen.
Hi Schokopudding,
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Gruß Buri

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-01-20


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-----------------
Primzahlen sind auch nur Zahlen



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-01-20

\(\begingroup\)
2018-01-20 14:28 - Buri in Beitrag No. 11 schreibt:
Es gilt sogar für alle Nullfolgen, weil auch der linksseitige Grenzwert lim(x->-0,(1+x)^(1/x))=\ee ist.

Danke, dass du dich der Sache hier annimmst, besser hätte es der TS nicht treffen können.  wink

Ich glaube aber, dass man den Fall $z_n=0$ für fast alle Folgenglieder der Nullfolge $(z_n)$ tatsächlich ausschließen muss. Ansonsten machen Folgenglieder mit Wert 0 keine Probleme, wenn man sie bei der Grenzwertbildung (wie üblich?) ausschließt.
\(\endgroup\)


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Tirpitz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-01-20

\(\begingroup\)
Das sind doch alles keine hilfreichen Kommentare.  frown Was nützt es denn Schokopudding, wenn es in ein paar Tagen einen Artikel dazu gibt?  eek Von Senioren würde ich mir wirklich Besseres erhoffen, zumal die Lösung deutlich einfacher zu finden ist.

@ Buri: Hilf mir bitte auf die Sprünge. Wenn ich jetzt \( z_n \) einsetze, erhalte ich \( \lim\limits_{n\to\infty} (1+\frac{\log n}{n})^\frac{n}{\log n} \), was \( \mathrm e \) ergibt. Aber was hat diese Folge mit \( (1+\frac{\log n}{n})^n \) zu tun? Was nützt die Kenntnis des Grenzwerts dieser Folge, um \( \lim\limits_{n\to\infty} \left((1+\frac{\log n}{n})^\frac{n}{\log n}\right)^{\log n} \) zu berechnen?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]
\(\endgroup\)


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wessi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2018-01-20


Naja, eigentlich ist man dann relativ zügig fertig. Es geht ja <math>\log(n)\to\infty</math> hingegen geht der Term in der Klammer gegen <math>e</math>. Insbesondere ist er also ab einem hinreichend großen <math>n</math> größer als 2. Ich kann das ganze also von unten durch <math>2^{\log(n)}</math> abschätzen, und somit divergiert die Folge.

Das ganze muss man nun nur noch mathematisch sauber aufschreiben. Im Übrigen finde ich das schon ziemlich straight forward und simpel. Viel leichter geht es denke ich nicht.



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wessi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2018-01-20


@weird: Das ist falsch, du kannst da nicht partiell den Grenzwert auswerten.



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Tirpitz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2018-01-20

\(\begingroup\)
Es ist \( \frac{\log n}{n} > 0\quad\forall n\ge 1\). Aus der Bernoulli-Ungleichung \(\left(1+\frac{\log n}{n}\right)^n \ge 1+\log n\quad\forall n \) folgt sofort, wie die Folge von unten beschränkt wird. Da aber \( \log n \) nach oben unbeschränkt ist, divergiert die Folge.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.15 begonnen.]
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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2018-01-20

\(\begingroup\)
2018-01-20 14:52 - Tirpitz in Beitrag No. 14 schreibt:
Was nützt die Kenntnis des Grenzwerts dieser Folge, um \( \lim\limits_{n\to\infty} \left((1+\frac{\log n}{n})^\frac{n}{\log n}\right)^{\log n} \) zu berechnen?

Hier ein weiterer meiner "wenig hilfreichen" Tipps:

$\lim\limits_{n\to\infty} \left((1+\frac{\log n}{n})^\frac{n}{\log n}\right)^{\log n}= \left(\lim\limits_{n\to\infty}\left((1+\frac{\log n}{n})^\frac{n}{\log n}\right)\right)^{\log n}=\lim\limits_{n\to\infty}e^{\log n}=\lim\limits_{n\to\infty}n=\infty $

Teilst du mir dafür deinen "einfacheren" Lösungsweg mit?  :-D

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.14 begonnen.]

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.17 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Tirpitz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2018-01-20

\(\begingroup\)
2018-01-20 15:39 - weird in Beitrag No. 18 schreibt:
2018-01-20 14:52 - Tirpitz in Beitrag No. 14 schreibt:
Was nützt die Kenntnis des Grenzwerts dieser Folge, um \( \lim\limits_{n\to\infty} \left((1+\frac{\log n}{n})^\frac{n}{\log n}\right)^{\log n} \) zu berechnen?

Hier ein weiterer meiner "wenig hilfreichen" Tipps:

$\lim\limits_{n\to\infty} \left((1+\frac{\log n}{n})^\frac{n}{\log n}\right)^{\log n}= \left(\lim\limits_{n\to\infty}\left((1+\frac{\log n}{n})^\frac{n}{\log n}\right)\right)^{\log n}=\lim\limits_{n\to\infty}e^{\log n}=\lim\limits_{n\to\infty}n=\infty $

Teilst du mir dafür deinen "einfacheren" Lösungsweg mit?  :-D

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.14 begonnen.]

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.17 begonnen.]

Das ist falsch und sogar ein ziemlicher Anfängerfehler in Analysis 1. Der Ausdruck \(\left(\lim\limits_{n\to\infty}\left((1+\frac{\log n}{n})^\frac{n}{\log n}\right)\right)^{\log n}\) ergibt syntaktisch überhaupt keinen Sinn. Mein Lösungsweg steht einen Beitrag über Deinem.
\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2018-01-20

\(\begingroup\)
2018-01-20 15:43 - Tirpitz in Beitrag No. 19 schreibt:
Das ist falsch und sogar ein ziemlicher Anfängerfehler. Der Ausdruck \(\left(\lim\limits_{n\to\infty}\left((1+\frac{\log n}{n})^\frac{n}{\log n}\right)\right)^{\log n}\) ergibt syntaktisch überhaupt keinen Sinn.

Ok, ich hab mich da vertan (in erster Linie beim Eintippen in LaTeX, auch wenn du es nicht glaubst), und dir damit offenbar eine große Freude bereitet. Ist das nichts?  biggrin
\(\endgroup\)


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Tirpitz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2018-01-20

\(\begingroup\)
2018-01-20 15:48 - weird in Beitrag No. 20 schreibt:
2018-01-20 15:43 - Tirpitz in Beitrag No. 19 schreibt:
Das ist falsch und sogar ein ziemlicher Anfängerfehler. Der Ausdruck \(\left(\lim\limits_{n\to\infty}\left((1+\frac{\log n}{n})^\frac{n}{\log n}\right)\right)^{\log n}\) ergibt syntaktisch überhaupt keinen Sinn.

Ok, ich hab mich da vertan (in erster Linie beim Eintippen in LaTeX, auch wenn du es nicht glaubst), und dir damit offenbar eine große Freude bereitet. Ist das nichts?  biggrin

Das ist mehr als nur ein Tippfehler. Wie würde es denn richtig lauten?
\(\endgroup\)


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Marbin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2018-01-20

\(\begingroup\)
\[\left (1+\frac{\ln (n)}{n}  \right )^{n}=\frac{\left (n+\ln (n)  \right )^{n}}{n^{n}}=e^{\ln \left (\frac{\left (n+\ln (n)  \right )^{n}}{n^{n}}  \right )}=e^{n\cdot \left (\ln\left ( n+\ln(n) \right )-\ln(n)  \right )}\]
\[\ln\left ( n+\ln(n) \right )>\ln(n)\quad\forall n>1\]
Daraus folgt:

\[\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{\ln (n)}{n} \right )^{n}=\infty\]
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]


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"I'm an explorer okay, I get curious about everything and I want to investigate all kinds of stuff." (Richard Phillips Feynman)
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Tirpitz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2018-01-20

\(\begingroup\)
@ Marbin:

Aus \(\log(n+\log n)>\log n\) folgt höchstens \(\mathrm e^{n(\log(n+\log n)-\log n)}\ge\mathrm e^{n(\log n - \log n)}=\mathrm e^0=1\) und \(\lim\limits_{n\to\infty} 1=1\). Diese Abschätzung ist also leider zu grob, um Divergenz zu beweisen.
\(\endgroup\)


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Marbin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2018-01-20

\(\begingroup\)
\(\ln \left ( n+\ln(n) \right )-\ln(n)>0\) für \(n>1\). Nun wird der Ausdruck \(\ln \left ( n+\ln(n) \right )-\ln(n)\), der für \(n>1\) stets größer 0 ist, noch mit \(n\) multipliziert, das gegen unendlich strebt.


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Tirpitz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2018-01-20

\(\begingroup\)
2018-01-20 16:10 - Marbin in Beitrag No. 24 schreibt:
\(\ln \left ( n+\ln(n) \right )-\ln(n)>0\) für \(n>1\). Nun wird der Ausdruck \(\ln \left ( n+\ln(n) \right )-\ln(n)\), der für \(n>1\) stets größer 0 ist, noch mit \(n\) multipliziert, das gegen unendlich strebt.
So argumentiert ist das in der Tat korrekt. Dein \( \Rightarrow n>1\) in Beitrag 22 ist aber verwirrend, da du wohl \( \forall n>1\) meintest.
\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, eingetragen 2018-01-20

\(\begingroup\)
2018-01-20 15:49 - Tirpitz in Beitrag No. 21 schreibt:
Das ist mehr als nur ein Tippfehler. Wie würde es denn richtig lauten?

Die Folge

$x_n:=(1+\frac{\log n}n)^{\frac n{\log n}} \quad (n>1)$

konvergiert wie gesagt gegen $e$, ist also ab irgendeinem Index $n_0$ z.B. sicher immer >2. Damit erhält man für $n\ge n_0$ dann die Abschätzung

$x_n^{\log n}>2^{\log n}$

was die Divergenz der gegebenen Folge beweist.

Und ja, ich gebe zu, dass es mehr als nur ein Tippfehler war, weil ich von dem ganzen Threadverlauf hier schon etwas genervt war.  frown

Edit: Sehe erst jetzt, dass wessi90 in #15 exakt gleich argumentiert hat. Dies ist für mich zumindestens der Beweis, dass obiges Argument schlüssig und wohl auch naheliegend ist.  wink
\(\endgroup\)


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Marbin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, eingetragen 2018-01-20

\(\begingroup\)

So argumentiert ist das in der Tat korrekt. Dein \( \Rightarrow n>1\) in Beitrag 22 ist aber verwirrend, da du wohl \( \forall n>1\) meintest.

Danke, habe es ausgebessert.

PS:


Es ist \( \frac{\log n}{n} > 0\quad\forall n\ge 1\).
\[\frac{\log n}{n} > 0\quad\forall n> 1\]
Vermutlich auch ein Tippfehler  smile


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, eingetragen 2018-01-20

\(\begingroup\)
Ich hatte jetzt erst Zeit, mir den den ganzen Thread noch einmal genau durchzulesen und das Ganze im Kopf etwas zu ordnen. Zunächst gab es ja zu Beginn diese Kontroverse zwischen mir und dem TS, wo dieser einen für mich doch sehr einfachen Sachverhalt, wo es um die Definition der eulerschen Zahl $e$ ging, nicht und nicht kapieren wollte, worauf wir wohl beide die Contenance verloren haben, was natürlich immer ein Fehler ist. Sorry von meiner Seite deswegen!  wink

Des weiteren möchte ich die Gelegenheit wahrnehmen und mich ausdrücklich noch einmal bei wessi90 bedanken, der in Beitrag #15 mit

Naja, eigentlich ist man dann relativ zügig fertig. Es geht ja <math>\log(n)\to\infty</math> hingegen geht der Term in der Klammer gegen <math>e</math>. Insbesondere ist er also ab einem hinreichend großen <math>n</math> größer als 2. Ich kann das ganze also von unten durch <math>2^{\log(n)}</math> abschätzen, und somit divergiert die Folge.

sofort richtig erkannt hat, dass mein Beweisgedanke bis dahin klarerweise korrekt war und sich auch auf eine sehr einfache und naheliegende Weise zu Ende führen lässt, wie ich dies später dann auch selbst gemacht habe. Ich hatte diesen seinen Beitrag leider zunächst übersehen (ein einfacher Verweis darauf hätte mir viel Kummer erspart!), wofür ich mich jetzt an dieser Stelle ausdrücklich entschuldigen möchte.

Ich erwähne das auch deshalb, weil diese einfache Beweisführung auch ganz offensichtlich Tirpitz entgangen war, als er - noch vorher und an den TS gerichtet - eine wenig schmeichelhafte Beurteilung meiner Hilfestellung bis dahin abgab, nämlich

2018-01-20 14:23 - Tirpitz in Beitrag No. 9 schreibt:
weird's Hilfestellungen sind allerdings etwas "weird". Mach dir Nichts draus, ich habe auch keinen Schimmer, worauf er hinaus will.

so nach dem Motto: Mach dir nichts draus, wenn ich es selbst nicht einmal verstehe, kann es eigentlich nur Unsinn sein!  eek

Leider beging ich - wie um seine Einschätzung noch nachträglich zu rechtfertigen - dann in #18 in der ganzen Hektik einen ziemlich dummen, wenngleich offensichtlichen Fehler, in dem Bestreben, einen vorher von mir selbst gelöschten, weil fehlerhaften Beitrag möglichst rasch wiederherzustellen, was Tirpitz Gelegenheit gab, nochmals nachzulegen und von einem Zitat: "ziemlichen Anfängerfehler in Analysis 1" zu sprechen und das, obwohl er sich eben selbst noch (s.o.) jetzt nicht gerade mit Ruhm bekleckert hatte! Schade eigentlich, dass sich solche abwertenden Bemerkungen offenbar nicht vermeiden lassen, wo es doch eigentlich vorrangig um einen friedlichen Wettstreit der Ideen gehen sollte! In diesem Sinne und abschließend auch danke an alle anderen, die ich jetzt noch nicht erwähnt habe, obwohl sie hier ebenfalls wertvolle Beiträge geliefert haben, insbesondere an Wauzi, Buri und Marbin! wink
\(\endgroup\)


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Gestath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, eingetragen 2018-01-21 09:16


Hi,

eine andere Möglichkeit (+eine Variation davon) wäre:

1) binomische Formel anwenden und abschätzen
2) Bernoullische Ungleichung (de.wikipedia.org/wiki/Bernoullische_Ungleichung) anwenden

MfG
Gestath

Edit: Das wurde schon einmal in Beitrag 17 gesagt.



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.30, eingetragen 2018-01-21 09:54


2018-01-21 09:16 - Gestath in Beitrag No. 29 schreibt:
Edit: Das wurde schon einmal in Beitrag 17 gesagt.

Ja, diese Lösung ist auch Tirpitz vorgeschwebt, als er meine Ausführungen einfach nur "weird" fand und "keinen Schimmer" hatte, worauf ich die ganze Zeit hinauswollte (s. #9). Durchaus möglich, dass er seine Meinung dazu inzwischen geändert hat, aber das werden wir wohl nie erfahren, da er sich diesbezüglich nicht mehr geäußert, sondern sich stattdessen über einen anderen dummen Fehler von mir genüsslich hergemacht hat.  frown



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Schokopudding
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.31, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-08 12:26


Wie wäre es mit

<math>
\left(1+\frac{\log x}{x}\right)^x=e^{x\log\left(1+\frac{\log x}{x}\right)}\sim e^{x\frac{\log x}{x}}=x, x\to\infty</math>

PS. Wenn ich gewusst hätte, was ich hier auslöse, hätte ich die Frage nie gestellt.



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.32, eingetragen 2018-02-08 13:11

\(\begingroup\)
2018-01-20 16:10 - Marbin in Beitrag No. 24 schreibt:
\(\ln \left ( n+\ln(n) \right )-\ln(n)>0\) für \(n>1\). Nun wird der Ausdruck \(\ln \left ( n+\ln(n) \right )-\ln(n)\), der für \(n>1\) stets größer 0 ist, noch mit \(n\) multipliziert, das gegen unendlich strebt.

Hey,
also das würde ich nicht so stehen lassen. Der Ausdruck kannst sich wie 1/n verhalten, sodass er mit n multipliziert nahezu nichts verändert. Du müsstest also noch zeigen, dass dieser Ausdruck größer als 1 wird für fast alle natürlichen Zahlen.



2018-02-08 12:26 - Schokopudding in Beitrag No. 31 schreibt:
Wie wäre es mit

<math>
\left(1+\frac{\log x}{x}\right)^x=e^{x\log\left(1+\frac{\log x}{x}\right)}\sim e^{x\frac{\log x}{x}}=x, x\to\infty</math>

Das Zeichen ~ ist etwas unpräzise in meinen Augen  biggrin Du könntest es einfach nach unten abschätzen, indem du die 1 weglässt, da ja exp, log und x streng monoton steigend sind (Hier noch zur Sicherheit x>1 voraussetzen, damit der Ausdruck wohldefiniert ist, da log als Definitionsmenge nur positive Zahlen hat)
Edit: Ich sehe gerade, dass dies nichts bringt ^^ Vielleicht wäre L'Hospital im Exponenten angebracht (als weitere Lösungsmethode) :S


PS. Wenn ich gewusst hätte, was ich hier auslöse, hätte ich die Frage nie gestellt.

Sag sowas doch nicht! Also ich fand es amüsant  biggrin Außerdem kamen so viele Beweisideen zusammen und man konnte auch sehen, dass sogar gute Mathematiker auch kleine Fehler machen, woraus man sicherlich lernen kann. Also dieser Thread hier vermittelt dir bestimmt ein tieferes Einsehen in die Aufgabenstellung und wie man solche Aufgaben angeht.

Red
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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.33, eingetragen 2018-02-08 13:18

\(\begingroup\)
2018-02-08 12:26 - Schokopudding in Beitrag No. 31 schreibt:
Wie wäre es mit

<math>
\left(1+\frac{\log x}{x}\right)^x=e^{x\log\left(1+\frac{\log x}{x}\right)}\sim e^{x\frac{\log x}{x}}=x, x\to\infty</math>

PS. Wenn ich gewusst hätte, was ich hier auslöse, hätte ich die Frage nie gestellt.

Naja, das Stellen der Aufgabe war jetzt sicher noch kein Fehler und auch der Thread selbst hat ja dann gleich mehrere interessante Lösungswege aufgezeigt. Der von dir oben skizzierte gefällt mir da allerdings noch am wenigsten, da man dazu dort wo es um die asymptotische Gleichheit geht, diese ja noch zeigen müsste, was in meinen Augen dann eigentlich genau so schwer (oder leicht!) wie die ursprüngliche Aufgabe ist.  

Was du dir aber wirklich von dieser Aufgabe "mitnehmen" solltest, ist die Definition der Eulerschen Zahl $e$ mittels Nullfolgen, wie wir sie zu Beginn des Threads diskutiert hatten, da man diese auch sonst oft brauchen kann und ihre Kenntnis einfach zur mathematischen Allgemeinbildung gehört!  wink

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.31 begonnen.]
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