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Universität/Hochschule Grenzwert
kaotisch
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-08


Hey,

eine elementare Frage!

Angenommen, ich habe eine Folge <math>(x_n)</math> mit <math>x_n\in (1,1+z_n)</math>, wobei <math>(z_n)</math> eine Nullfolge ist.

Gilt dann <math>\lim_{n\to\infty}x_n=1</math>?

Meine Antwort ist: ja und mein Beweis dieser hier:

Sei <math>\varepsilon>0</math> beliebig. Dann existiert nach Annahme ein <math>N\in\mathbb{N}</math>, sodass <math>\lvert z_n\rvert < \varepsilon~\forall n\geq N</math>.

Da <math>x_n\in (1,1+z_n)</math> gilt <math>\displaystyle
\lvert x_n-1\rvert < \lvert 1+z_n-1\rvert=\lvert z_n\rvert</math>.

Also existiert auch zu beliebigem <math>\varepsilon >0</math> ein <math>N\in\mathbb{N}</math>, sodass <math>\lvert x_n-1\rvert < \varepsilon~\forall n\geq N.</math>

Das ist aber gerade die Definition davon, dass <math>(x_n)</math> gegen 1 konvergiert.


Okay?


Ciao!



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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 5317
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-08


An Details kann man noch feilen, aber die Beweisidee ist richtig.



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lula
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Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 10772
Aus: Sankt Augustin NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-02-08


Hallo
 deine Ungleichung ist so noch falsch für z_n<0 die ja auch ne Nullfolge bilden können.
bis dabb, lula


-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 5317
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-02-09


@lula: Ich würde sagen, wenn zn<0 ist, dann ist das Intervall (1, 1+zn) leer.
Wenn man in diesem Fall stattdessen das Intervall (1+zn, 1) betrachtet, bleiben alle gemachten Aussagen richtig.
Wo siehst Du ein Problem?



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kaotisch
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Mitteilungen: 911
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-11


Hi, Kitaktus!

Welche Details meinst du zum Beispiel?
Mich würde interessieren, an was sich feilen lässt.


Grüße



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 5317
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-02-13


2018-02-11 20:04 - kaotisch in Beitrag No. 4 schreibt:
Welche Details meinst du zum Beispiel?
Mich würde interessieren, an was sich feilen lässt.

Die Zeile:
Da <math>x_n\in (1,1+z_n)</math> gilt <math>\displaystyle
\lvert x_n-1\rvert < \lvert 1+z_n-1\rvert=\lvert z_n\rvert</math>.

Kann man noch etwas besser machen:
Da <math>x_n\in (1,1+z_n)</math> gilt <math>\displaystyle 0=1-1<x_n-1<1+z_n-1=z_n </math> und daher
<math>\lvert x_n-1\rvert < \lvert z_n\rvert <\varepsilon </math> für alle <math> n\geq N</math>.
Außerdem würde ich <math>\forall</math> durchgehend durch "für alle" ersetzen.

Aber das sind nur Details.



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