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Lineare Algebra » Eigenwerte » Diagonalisierbarkeit einer Matrix mit einer Variable vermeiden
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Universität/Hochschule J Diagonalisierbarkeit einer Matrix mit einer Variable vermeiden
Kecksbox
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Dabei seit: 08.02.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-09 17:30


Hallo,

Ich habe folgende Aufgabe:

Geben Sie eine reele Zahl b an, so dass die Matrix ((2 b) (3 1)) (2x2-Matrix) über R nicht diagonalisierbar ist.

Antwort: b aus R mit b > -1/12

Die Idee war das charak. Polynom der zugehörigen lin. Abb. 0 zusetzen und zusehen welche Form b dann haben muss. Das habe ich gelöst, möglicher Weise nicht korrekt, kann aber wenig damit anfangen.                    
(b = (x^2/3) - x + 2/3 , mit x aus R)
Mich interessiert wie man zu der Erkenntnis in der Lösung gelangt.



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-09 17:33


Hi Kecksbox,
Die Matrix ist für fast alle komplexen b diagonalisierbar, das heißt, für alle mit nur endlich vielen (hier: nur einer) Ausnahme.
Für die Diagonalisierbarkeit muss man unter anderem feststellen, wann die Eigenwerte reell sind. Deine Antwort ist richtig.
Man muss das Minimalpolynom betrachten, oder, was noch besser geht, die Eiegnvektoren und Eigenwerte.
Um nicht diagonalisierbar zu sein, muss die Matrix einen zweifachen Eigenwert haben, oder di Eigenwerte müssen nicht-reell sein.
Gruß Buri



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-02-09 17:44

\(\begingroup\)
Hallo Buri,

2018-02-09 17:33 - Buri in Beitrag No. 1 schreibt:
Die Matrix ist für fast alle b diagonalisierbar, das heißt, für alle mit nur endlich vielen (hier: nur einer) Ausnahme.

Es war nach der Diagonalisierbarkeit über $\Bbb R$ gefragt.

Grüße,
dromedar
\(\endgroup\)


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Buri
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Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-02-09 17:55

\(\begingroup\)
2018-02-09 17:44 - dromedar in Beitrag No. 2 schreibt:
... Es war nach der Diagonalisierbarkeit über $\Bbb R$ gefragt.
Hi dromedar,
stimmt, die Diagonalisierbarkeit gilt dann nicht für fast alle reellen b, sondern nur für b > \(-\frac1{12}\).
Es ist immer unnatürlich, die Diagonalisierbarkeit über einem nicht algebraisch abgeschlossenen Körper (hier über ℝ) zu betrachten.
In diesem Fall schlägt die Diagonalisierbarkeit bereits dann fehl, wenn die Eigenwerte nicht im Körper liegen, obwohl die Matrix nichts Übles verbrochen hat.
Der natürliche Begriff für nicht algebraisch abgeschlossene Körper ist die Halbeinfachheit, zum Beispiel sind Drehungsmatrizen im ℝ2 und im ℝ3 halbeinfach, aber außer in Sonderfällen (180°-Drehung) nicht diagonalisierbar.
Gruß Buri
\(\endgroup\)


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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-02-09 17:59


2018-02-09 17:55 - Buri in Beitrag No. 3 schreibt:
Es ist immer unnatürlich, die Diagonalisierbarkeit über einem nicht algebraisch abgeschlossenen Körper (hier über ℝ) zu betrachten.

Ich möchte Dir bei dieser Einschätzung nicht widersprechen, aber es ist nunmal die Frage, um die es im Startbeitrag geht...



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-02-09 18:07


2018-02-09 17:59 - dromedar in Beitrag No. 4 schreibt:
... aber es ist nunmal die Frage, um die es im Startbeitrag geht...
Hi dromedar,
das macht doch nichts. Es bedeutet nicht, dass man die Untersuchung des Problems verweigern muss. Es gibt immer gute und schlechte Fragen, solche, die den Kenntnisstand erweitern, und solche, die das weniger tun, indem sie den Kenntnisstand nur prüfen.
Das gilt besonders für Fragen, die zur absichtlichen Verwirrung gedacht sind, aber das liegt hier nicht vor.
Gruß Buri



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