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Moderiert von Buri Gockel
Mathematik » Strukturen und Algebra » Intervall in einer Booleschen Algebra ist eine Boolesche Algebra
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Autor
Universität/Hochschule Intervall in einer Booleschen Algebra ist eine Boolesche Algebra
WalterSobchak
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.02.2018
Mitteilungen: 8
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-09 18:02

\(\begingroup\)
Hallo liebe Leute,
ich hoffe ihr könnt mir helfen. es sollte eigentlich nicht allzu schwierig sein.


Sei B eine Boolesche Algebra. $a,b\in B$ sodass $a \leq b$.
[a,b] = $\{ x \in B : a\leq x \leq b \}$ .
zeigen sie, dass [a,b] eine Boolesche Algebra ist.

mein Ansatz wäre:

1. b ist natürlich größtes Element (also 1) und a kleinstes.
 Somit ist b'=a und a'=b

2.für $x,y \in [a,b]$ folgt aus $x \land y =x $ dass $x\leq y$. und aus $x \lor y = y$ folgt$ x \leq y $

damit lassen sich dann $x \land y = y \land x$ und
$ x \land a = a $ sowie $x \lor b = b$
sehr einfach zeigen.
diese Klammerungsgeschichte ist auch einfach.. Probleme habe ich beim inversen element.

es müsste ja gelten, dass $x \land x' = b$ da kann ich aber nicht das normale inverse aus der ursprünglichen Booleschen Algebra nehmen. da käme ja 1 raus und nicht b. wie definiere ich mir das inverse in [a,b] ?
oder ist der Ansatz komplett falsch ?
\(\endgroup\)


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WalterSobchak
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.02.2018
Mitteilungen: 8
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-09 18:46

\(\begingroup\)
ich habe noch ein bisschen weiter gedacht..
für $x \in [a,b]$ müsste das x', dass in [a,b] invers zu x ist (nennen wir es x'' ) entweder das kleinste element in [a,b] sein, das größer ist als x' ( also das zu x in der Ursprünglichen Booleschen Algebra inverse), oder genauch anders herum. je nach fall. ich hab da keinen beweis für es ist nur eine vermutung die ich aus dem verband für die Potenzmenge einer 3 elementigen menge (dieser ist ja eine Boolesche Algebra) hergeleitet habe.
somit sollte der ansatz ja zumindest stimmen und ich bin nicht komplett auf dem holzweg, oder ?

lg
Jannis =)
\(\endgroup\)


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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45270
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-02-09 18:50


Hi WalterSobchak,
versuche es mit (x' ∨ b) ∧ a.
/EDIT: Es muss (x' ∨ a) ∧ b heißen, siehe Beitrag #4.
In Booleschen Algebren gilt die Modular-Identität, da sie sogar distributive Verbände sind.
Gruß Buri



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WalterSobchak
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.02.2018
Mitteilungen: 8
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-10 12:48


hmm. danke erstmal für die schnelle antwort.

wenn ich allerdings nachrechne gilt:
(x' ∨ b) ∧ a = (x' ∧ a) v (b ∧ a) = (x' ∧ a) v a = a
analog beim 2. Term
(x' ∧ a) v b = ... = b

aber ich verstehe leider auch nicht, was es mir bringen würde wenn dort gleichheit gilt?
ich hoffe ich habe dich richtig verstanden
LG



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tactac
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 976
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-02-10 13:00


Buri hat sich vertippt. Nimm (x' ∨ a) ∧ b. Das Komplement soll ja schließlich im Intervall liegen, und meistens sogar echt.



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WalterSobchak
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.02.2018
Mitteilungen: 8
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-10 13:16


ahh, danke. ich denke so klappts!
super, dass ihr mir geholfen habt :)



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