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Analysis » Folgen und Reihen » Verstehe eine Abschätzung nicht! (Folgen)
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Universität/Hochschule Verstehe eine Abschätzung nicht! (Folgen)
tip
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 09.02.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-09









Hallo ich habe eine verständnisfrage zu einer Abschätzung! Die Aufgabe ist mit Lösung also keine Hausaufgabe oder sonstiges.

Die Konvergenz gegen 9 zu beweisen verstehe ich!
Diesen Abschnitt verstehe ich nicht!
Die letzte Ungleichung zeigt, wie ein mögliches n0 bestimmt werden kann, sodass die Folgenglieder an für n ≥ n0 um weniger als 10^-4 vom Grenzwert 9 abweichen. Für n0 = 40·10^4 ist aufgrund von 36 /n0 = 36/ 40 · 10^-4 < 10^-4 und obiger Rechnung |an - 9| < 10^-4 für alle natürlichen Zahlen n ≥ 400000.

Wie kommt man auf Lösung n ≥ 400000 ?? . Verstehe das grad gar nicht, wäre echt super nett wenn es mir mal jemand erklären könnte! Bitte für Einsteiger erklären.


Bitte damit es keine Missverständnisse gibt, ich möchte keine alternative Erklärung, falls möglich genau Anhand des Bsp. erklärt bekommen!


Bedanke mich im voraus!



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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-09

\(\begingroup\)
Hallo,


Wie kommt man auf Lösung n ≥ 400000 ??

Schau in die Definition für Folgenkonvergenz. Die besagt, dass eine Folge $(a_n)$ gegen einen Grenzwert $a$ konvergiert, wenn

für alle $\varepsilon>0$ existiert ein $n_0\in\mathbb{N}$ so, dass für alle $n\geq n_0$ der Abstand $|a_n-a|<\varepsilon$ gilt.

Hier berechnet man, dass für $\varepsilon=10^{-4}$ ein solches $n_0$ durch $400000$ gegeben ist. Nun gilt $n\geq 400000$.
\(\endgroup\)


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tip
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 09.02.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-10


Danke erst mal für deine Antwort !

geht es evtl. etwas ausführlicher ??

Vor allem wieso n=400000 und nicht n= 370000 z.B.

E=0.0001

36/n0 < E = 36/ n0 < 0.0001 = 36/ 0.0001 < n0 = 360000 < n0 (hier fängt meine Schwierigkeit der Abschätzung an) 360000 < n0 < 370000 = n



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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 1273
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-02-10

\(\begingroup\)

geht es evtl. etwas ausführlicher ??

Wenn ich dein genaues Verständnisproblem verstanden haben, kann ich auch eine ausführlichere Antwort geben. Bisher ist dies noch nicht der Fall, bzw. sehe ich noch nicht die Notwendigkeit für eine übermäßig ausführliche Antwort.

Kannst du dein Problem also genauer beschreiben?


Vor allem wieso n=400000 und nicht n= 370000 z.B.

Wie in der Lösung beschrieben zeigt die Rechnung, wie ein mögliches(!) $n_0$ für ein gegebenes $\varepsilon$ von $10^{-4}$ bestimmt werden kann.

Es gilt nach der gefundenen Abschätzung:

$\frac{36}{n_0}<10^{-4}$. Dies stellen wir nach $n_0$ um. Dazu bilden wir den Kehrwert. Dabei dreht sich das Relationszeichen um. Nun multiplizieren wir 36 und haben $n_0$ isoliert. So erhalten wir:

$n_0>36\cdot 10^4=360000$

Die Definition des Grenzwertes sieht nur vor, dass für ein beliebiges $\varepsilon$ eine solche Grenze $n_0$ existieren muss so, dass für jedes weitere $n$ der Abstand klein wird. Diese Grenze könnte man auch kleiner wählen mit 360000 anstelle von 400000.

Es ist eigentlich nur wichtig, dass es sie gibt und man sie nicht zu klein wählt. Wenn man das tut kann es vorkommen, dass nicht alle Folgeglieder in dem "$\varepsilon$-Schlauch" liegen.

Obige Rechnung zeigt, dass es für $n\geq 360000$ auf jeden Fall gilt.
Die 36 wurde lediglich durch 40 nach oben abgeschätzt. So kommt man auf die 400000.
Das ist aber egal.
Größer geht immer. Nur wenn man kleiner wird, kann das Probleme machen.
\(\endgroup\)


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tip
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 09.02.2018
Mitteilungen: 4
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-10


Danke das war die Antwort die ich gesucht habe!

vielen vielen DANK!!



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JoeM
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.10.2015
Mitteilungen: 307
Aus: Oberpfalz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-02-10


Hallo tip,

ich würde Teil 1 der Aufgabe wie folgt >erschlagen< :

Einfach Zähler und Nenner mit n^2 dividieren; dann erhält man ....


viele Grüße

JoeM



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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 1273
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-02-10


Das geht jedoch nur, wenn die Grenzwertsätze bekannt sind und man weiß, dass die auftretenden Folgen Nullfolgen sind.

Ansonsten ist das natürlich die Standardmethode. (Kürzen der höchsten n-Potenz)



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tip
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 09.02.2018
Mitteilungen: 4
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-11


Ja diese Methode ist mir bekannt, allerdings wird in den Klausuren verlangt das wir den langen weg gehen! So sei es...

Der lange weg muss auch verstanden sein damit man sein Handwerk beherrscht.



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 1273
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-02-11



Ja diese Methode ist mir bekannt, allerdings wird in den Klausuren verlangt das wir den langen weg gehen! So sei es...

Grundsätzlich darfst du in der Klausur alles verwenden, was ihr in der Vorlesung, oder den Übungen bewiesen hast.
Dazu gehören sicherlich auch die Grenzwertsätze.

Wenn es nicht explizit gefordert ist, musst du es also im allgemeinen nicht mit der Definition zeigen. (Was in einer Klausur auch wohl relativ viel Zeit in Anspruch nehmen dürfte)



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JoeM
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.10.2015
Mitteilungen: 307
Aus: Oberpfalz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-02-11


Hallo tip,

Du schreibst .....

>Ja diese Methode ist mir bekannt, allerdings wird in den Klausuren verlangt das wir den langen weg gehen! So sei es...
Der lange weg muss auch verstanden sein damit man sein Handwerk beherrscht.<

Meine Meinung dazu: Das ist mir ein Rätsel. Warum sollte man eine Aufgabe >umständlich< lösen, wenn es >einfach< auch geht ? .....

Nach dem Motto > Dieser Weg wird kein leichter sein < ??!!

mfG. JoeM




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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-02-11

\(\begingroup\)
2018-02-11 04:52 - JoeM in Beitrag No. 9 schreibt:
Meine Meinung dazu: Das ist mir ein Rätsel. Warum sollte man eine Aufgabe >umständlich< lösen, wenn es >einfach< auch geht ? .....

Weil in der Aufgabenstellung (z.B. in der im Startbeitrag) explizit verlangt wird, dass man zu einem $\varepsilon$ ein $n_0$ mit den üblichen Eigenschaften suchen soll.

Die Grenzwertsätze liefern zwar die Aussage, dass die Folge konvergiert, aber eben nicht diese konkrete Abschätzung.
\(\endgroup\)


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