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Physik » Kontinua » Schallwellen in einem Behälter
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Universität/Hochschule J Schallwellen in einem Behälter
Euler2
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Aus: Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-09

\(\begingroup\)
Sehr geehrter Matroidplanet,


Aufgabe: Seien Gaswellen in einem Behälter gegeben mit einem Dichtefeld \(\rho(\vec{r},t)\), Druckfeld \(p(\vec{r},t)\) und Geschwindigkeitsfeld \(\vec{v}(\vec{r},t)\). Weiterhin sei die Ruhedichte \(\rho_0\). Des Weiteren wird angenommen, dass für das Gas die Gleichungen
 
\( \dot \rho + \rho_0 \nabla \cdot \vec{v} = 0\) und \( \rho \cdot  \dot{\vec{ v}} + \nabla \cdot p =0 \)  mit  \( p=\rho c^2 \) gelten.

Man zeige, dass \(\int_V 0.5 \cdot \frac{p^2}{\rho_0c^2} + 0.5 \rho \cdot v^2 dV\) eine Erhaltungsgröße ist. Dabei bezeichnet V das Volumen des Behälters.


Mein Versuch:
zweite Gleichung mit der Geschwindigkeit multiplizieren liefert \(\frac{\rho}{2} \partial_t (v_iv_i) + \partial_i(pv_i)-p \partial_i v_i\)=0.

erste Gleichung einsetzen
\(\frac{\rho}{2} \partial_t (v_iv_i) + \partial_i(pv_i)+p \frac{\dot p}{c^2\rho_0} =0.\)

Ein bischen "partial Integrieren" ergibt
\( \partial_t(\frac{\rho \cdot v^2}{2}+ \frac{p^2}{2\rho_0c^2}) - \frac{1}{2} v^2\cdot \partial_t \rho = -\nabla (p\vec{v}) \)

Nun bekomme ich leider den Problemterm \(\frac{1}{2} v^2\cdot \partial_t \rho\) nicht umgeschrieben als Divergenz oder kann zeigen, dass dieser Null ist.



Vielen Dank schonmal für die Hilfe.
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Euler2
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Aus: Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-10

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Sehr geehrter Matroidplanet,

Die Aufgabe hat sich erledigt, augrund eines  Aufgabenfehlers. Durch andere Quellen (z.B. [1, S.7]) stellt sich heraus, dass im zweiten Term \(\rho_0 \dot{\vec{v}}\) steht, womit der Problemterm wegfällt.



[1]: vento.pi.tu-berlin.de/STROEMUNGSAKUSTIK/formB/kapitel02.pdf
\(\endgroup\)


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Euler2 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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