Die Mathe-Redaktion - 23.02.2018 15:47 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
ListenpunktSchwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden oder den Newsletter bestellen.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 571 Gäste und 20 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Integration » Integration im IR^n » Laplace in Kugelkoordinaten
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Laplace in Kugelkoordinaten
Mathaholik
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 10.01.2018
Mitteilungen: 6
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-10 00:07

\(\begingroup\)
Habe Schwierigkeiten eine Aufgabe zu verstehen:
Gegeben ist eine Ladungsdichte \(\rho(\vec{r})=\rho(r)\) mit \(r=|\vec{r}|\) im Inneren einer Kugel mit Radius \(R\) und \(r<R\).
Ich möchte gerne die Herleitung mit Poisson in Kugelkoordinaten verstehen und hab mal meine fragen dazu an den stellen notiert:

\[\Delta_r \phi(r)=\frac{1}{r^2}\partial_r r^2\partial_r\phi(r)=-4\pi\rho(r)\] mit \(r^2\) multipliziert
\[\partial_r r^2\partial_r\phi(r)=-4\pi\rho(r)r^2\] wird jetzt einfach unbestimmt Integriert?
\[\int\partial_r r^2\partial_r\phi(r)\,\text{d}r=-4\pi\int\rho(r)r^2\,\text{d}r\] Ist hier \(\partial_x dx=1\) angenommen worden?
\[r^2\partial_r\phi(r)=-4\pi\int\rho(r)r^2\,\text{d}r\] Wenn ich jetzt durch \(r^2\) auf beiden Seiten Teile, darf ich dieses in den Integral ziehen?
\[\partial_r\phi(r)=-4\pi\frac{\int\rho(r)r^2\,\text{d}r}{r^2}=-4\pi\int\rho(r)\,\text{d}r\] und kann ich jetzt nochmal integrieren?
\[\phi(r)=-4\pi\int\int\rho(r)\,\text{d}r\,\text{d}r\]
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Tirpitz
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.01.2015
Mitteilungen: 521
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-10 01:24

\(\begingroup\)
Hallo!

Zunächst sollten wir einmal sauber die Ladungsdichtefunktion in Kugelkoordinaten definieren, z.B. mittels der Heaviside-Stufenfunktion: \(\rho(r)=\theta(r-R)f(r)\).
Erinnere dich an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
\(f(x)-f(0)=\int\limits_0^x f'(y)\mathrm dy\). Das heißt also, wir müssen die abgeleitete Funktion bis zum gewünschten Punkt x integrieren, um den Wert \(f(x)\) der gesuchten Funktion an eben dieser Stelle zu erfahren (minus einer Integrationskonstanten, die du anhand von Rand- und Anschlussbedingungen bestimmen musst).

Offensichtlich ist diese Ladungsdichtefunktion an der Kugeloberfläche unstetig (wenn wir einmal annehmen, dass \(f(r)\) stetig ist), d.h. du musst die Integration auftrennen, wenn du bis zu einem Punkt außerhalb der Kugel integrierst.

Fall 1: Du bist innerhalb der Kugel, d.h. \(r < R\). Was zu tun ist, ist dir klar?

Fall 2: Du bist außerhalb der Kugel \(r>R\). Die Integrale teilen sich auf in \(\int_0^R + \int_R^r\). Allerdings ist \(\int_R^r f(r')\theta(r'-R)\mathrm dr'=0\), also bleibt nur das erste Integral. Beachte, dass das Integrationsergebnis nicht von r abhängt, der Fall unterscheidet sich also quantitativ von Fall 1.


darf ich dieses in den Integral ziehen?

Nein, das darfst du nicht.

Liebe Grüße
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Mathaholik hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2018 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]